Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Оптика, специальная теория относительности, квантовая и ядерная физика. Учебное пособие
.pdf
21
достаточно найти изображение его крайних точек. Изображение в зеркале получается мнимое, в натуральную величину.
Рис. 10. Ход лучей при отражении от зеркальной поверхности
Вывод: после отражения от зеркальной поверхности расходящийся пучок
даёт мнимое изображение точечного источника, изображение предмета получается мнимым в натуральную величину.
2.4. Построение изображения в сферическом зеркале
Возможен случай, когда граница раздела сред имеет сферическую форму.
Все законы поведения световых лучей, рассмотренные ранее, сохраняются. Главное отличие заключается в технике построения изображений. Сферическое зеркало представляет собой часть сферической поверхности. Середину сферической
поверхности называют полюсом С (рис. 11). Оптическим центром является центр
соответствующей сферы О. Любая прямая, проходящая через точку О, называется оптической осью зеркала. Главная оптическая ось проходит через полюс С.
Рис. 11. Ход луча при отражении от вогнутой зеркальной поверхности
22
Пусть из точки S на зеркало в точке M падает луч SM║OC. После отражения возникает луч MF,
SMO= OMF.
Угол
MOC= SMO.
Опустим из точ-
ки F перпендикуляр FN,
.
cos2cos2
,
RMO
MFFOMFFNOFNM ====
Для не-
больших углов α
2
R
MF
. Точку F называют фокусом зеркала.
Аналогичные рассуждения применимы для выпуклого сферического зеркала (рис. 12).
Рис. 12. Ход луча при отражении от выпуклой зеркальной поверхности
На рис. 13 и 14 показано построение изображений точечного источника
в вогнутом и выпуклом зеркалах.
Рис. 13. Построение изображения точечного источника в вогнутом зеркале
23
Рис. 14. Построение изображения точечного источника в выпуклом зеркале
Выведем формулу сферического зеркала (рис. 15). Под формулой зеркала
понимают соотношение, которое связывает величины F, d и f, где F — фокусное расстояние, d — расстояние от предмета до зеркала, f — расстояние от зеркала до изображения. Направим из точки S два луча: SP ׀׀OC и SK, который про-
ходит через фокус, после отражения образуется луч KB ׀׀OC. Изображение S'
образуется в результате пересечения лучей PF и KB. Согласно рисунку, d = PS,
f = KS', F =
R
2
. Из точки S' опустим перпендикуляр на CO. Точку пересечения
обозначим N.
P
d
S
O
'S
BfF
M
CKN
Рис. 15. Ход лучей при выводе формулы сферического зеркала
24
Из подобия
SNF
и
f
Ff
PM
NS
FPM
−
=
. Из подобия
SOL
и
SON
'2
.
2
S N F f
SL d F
−
=
−
Учитывая, что PM = SL, можем записать
2 1 1 1
.
2
f F F f
F d f d f F
−−
= + =
−
Для выпуклого зеркала проводятся похожие рассуждения:
1 1 1
.
d f F
−=
Вывод: для сферического зеркала выполняется закон отражения; в случае
небольших углов параллельный пучок лучей после отражения проходит через
одну точку, которую называют фокусом (
2
R
F =
); луч, проходящий через центр
сферы, отражается в обратном направлении; это позволяет строить изображение
точечного источника в сферическом зеркале; для сферического зеркала справедлива формула:
1 1 1
.
d f F
=
2.5. Принцип Ферма
Исторически о световом луче сложилось представление как о физическом
объекте, который можно получить от точечного источника через небольшое отверстие в непрозрачном экране. В 1660 г. Пьер Ферма сформулировал принцип,
согласно которому из возможных траекторий между двумя точками луч выбирает такую, движение по которой происходит за наименьшее время. Точки могут
находиться в различных средах, тогда
12
1 2 1 2
SS
t t t n n
cc
= + = +
. Условием минималь-
ности t будет минимальность величины S1n1 + S2n2, где S1 и S2 — геометрические пути. Величина, равная произведению геометрического пути на показатель
преломления соответствующей среды, называется оптической длиной пути. Тогда
принцип Ферма можно сформулировать так: свет при распространении выбирает направление, в котором оптическая длина пути минимальна. Этот принцип
объясняет прямолинейность распространения света в однородной среде, позво-
25
ляет получить законы отражения и преломления. В качестве примера рассмотрим вывод закона преломления при переходе луча из среды I в среду II (рис. 16).
Рис. 16. Вывод закона преломления при переходе луча из среды I в среду II
Обозначим проекции точек А и В на ось иксов через А’ и В’. Из точки A
в точку В можно попасть различными путями. Возможные оптические пути отражает формула:
( )
2
2 2 2
1 1 2 1
.L n x AA n a x BB= + + − +
Для нахождения минимального пути возьмем от L производную по x и приравняем ее к нулю:
( )
( )
2
1
12
2 2 2
2
1
1
0 sin sin .
a x n
xn
nn
x AA
a x BB
−
− = =
+
−+
Вывод: свет — сложное физическое явление, описание которого возможно
в рамках различных физических моделей; одной из них является модель, основывающаяся на принципе Ферма, согласно которому из всех возможных траекторий, соединяющих две точки, световой луч будет распространяться по пути,
которому соответствует наименьшее время.
26
3. ТОНКАЯ ЛИНЗА
3.1. Ход светового луча в трехгранной призме
Будем рассматривать трехгранную призму, опирающуюся на одну из боковых граней. Пусть на одну из граней падает луч под углом α1 (рис. 17).
Рис. 17. Ход луча в трехгранной призме
В точке O происходит преломление луча под углом β1 а в точке O' — под
углом β2. В четырехугольнике ONO'B два угла являются прямыми, поэтому
ONO'=180°−
. Угол называют углом преломления.
Для четырехугольника ONO'K выполняется соотношение:
21
(180 ) (180 ) 360
+ − + − + =
12
.
= + −
Учитывая, что
12
12
sin sin
;,
sin sin
nn
==
для случая малых углов можем запи-
сать
1 1 2 2
;,nn
==
тогда
1 2 1 2
( ) .n n n
= + − = + −
Из треугольника ONO':
12
ONO' 180
+ + =
12
180 ONO' .
+ = − =
В конечном итоге получаем
( 1).nn
= − = −
При уменьшении угла φ
уменьшается и угол δ, поэтому при прохождении через прозрачную пластину
с параллельными гранями выходящий луч будет параллелен падающему.
Вывод: при прохождении светового луча через трехгранную призму происходит отклонение луча в сторону основания под углом
( 1)n
=−
.
27
3.2. Виды линз
Линза — прозрачное тело, боковые поверхности которого имеют форму
либо двух сфер, либо форму сферы и плоскости. Примеры приводятся на
рис. 18 и 19.
Рис. 18. Две сферические поверхности
Рис. 19. Сфера и плоскость
Будем рассматривать только тонкие линзы. Прямая, проходящая через центры сфер O1 и O2, называется главной оптической осью. Если одной из поверх-
ностей является плоскость, то главная оптическая ось проходит через центр сферической поверхности перпендикулярно этой плоскости. В центральной части
линзы ограничивающие поверхности практически параллельны, поэтому луч не
отклоняется, а смещается на небольшое расстояние, которым можно пренебречь.
Эту область называют оптическим центром линзы O. В зависимости от формы
ограничивающих поверхностей можно получить шесть комбинаций:
а) двояковыпуклую;
б) плоско-выпуклую;
в) вогнуто-выпуклую;
г) двояковогнутую;
д) плоско-вогнутую;
е) выпукло-вогнутую (рис. 20).
Радиусам приписывается знак плюс, если линза находится внутри соответствующей сферы, и знак минус, если линза примыкает снаружи. Линзу называют
выпуклой, когда толщина ее середины больше толщины краев (а, б, в), и вогнутой в противоположном случае (г, д, е).
28
В зависимости от соотношения показателей преломления линзы n1 и сре-
ды n2 лучи могут отклоняться к оси или к краям линзы. При
1
2
1
n
n
линзы а, б, в
являются собирающими, а линзы г, д, е — рассеивающими. При
1
2
1
n
n
линзы
а, б, в становятся рассеивающими, а г, д, е — собирающими.
Рис. 20. Виды линз:
а — двояковыпуклая; б — плоско-выпуклая; в — вогнуто-выпуклая;
г — двояковогнутая; д — плоско-вогнутая; е — выпукло-вогнутая
Вывод: линза — один из возможных вариантов формы прозрачного тела;
ход лучей в линзе зависит от ее вида и соотношения показателей преломления
линзы и окружающей ее среды.
3.3. Главный и побочный фокус линзы
Покажем, что у собирающих линз параллельный пучок после преломления собирается в одну точку. На рис. 21 изображена такая ситуация. В точке падения луча D и точке выхода K проведем касательные BD и CK.
29
Рис. 21. Определение фокуса линзы
Обозначим угол KO1O2 через α1, тогда
1
OAC
=
. Аналогичные рассуж-
дения позволяют записать
2 1 2
DO O BAO .
= =
Фрагмент линзы в области па-
дения и выхода луча можно рассматривать как усеченную призму с углом преломления
12
,
=+
тогда
12
( 1)( ).n
= − +
Из соответствующих прямоугольных
треугольников можем записать:
12
12
, , .
KP MO NO
tg tg tg
PF O O OO
= = =
С учетом малости углов α1 и α2 можно полагать OO1 = R1, O2O = R2,
PF = OF = F, MO = NO = KP = h, тогда
12
12
, , ,
h h h
F R R
= = =
откуда
1 2 1 2
1 1 1 1 1
( 1) ( ) ( 1)( ).
h
n h n
F R R F R R
= − + = − +
Падающий луч 1 был выбран произвольно. Для других лучей, параллельных O1O2, расстояние OF будет таким же. Это означает, что все они пройдут
через одну точку F. Ее называют фокусом линзы.
Если параллельный пучок лучей направить справа налево, то в выводе
формулы ничего не изменится, а значит, левое и правое фокусные расстояния
30
одинаковы. Правая часть формулы может быть как положительной, так и отрицательной. Если n > 1, то у линз а, б, в величина
1
F
всегда положительная,
а при n < 1 — отрицательная. Для линз г, д, ж при n > 1 величина
1
F
будет от-
рицательной, а при
2
1
1
n
n
−
положительной. Положительное значение фокуса
соответствует собирающей линзе (рис. 22, а).
Рис. 22. Положение фокуса собирающей линзы (а) и рассеивающей линзы (б)
Отрицательное значение фокусного расстояния соответствует рассеивающей линзе. В фокусе пересекаются не сами лучи, а их воображаемые продолжения (рис. 22, б).
Для случая, когда параллельный пучок направлен вдоль побочной оси, составляющей небольшой угол с главной оптической осью, либо для линз с большим фокусным расстоянием вводится понятие фокальной плоскости. Это плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через главный
фокус. В этом случае параллельный пучок собирается в побочном фокусе F',
который находится в точке пересечения соответствующей побочной оси и фокальной плоскости (рис. 23).
Рис. 23. Нахождение побочного фокуса собирающей линзы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]