Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамика неравновесных процессов. Учебное пособие
.pdf
торые из малых возмущений, которые всегда существуют
вследствие флуктуаций, перестают затухать. Система теряет
устойчивость и переходит в новый периодический режим,
возникают вихреобразные структуры, устойчивые в течение
некоторого промежутка времени, однако, в дальнейшем распадающиеся. Примеры подобных структур представлены
на рис. 2.2 и 2.3.
Рис. 2.3. Диффузия дымового облака
Возникновение нового кинетического режима при больших отклонениях от равновесия называют бифуркацией.
Речь о том, что процессы в нелинейных системах могут
проходить через такие состояния, называемые точками би-
фуркации, когда дальнейший процесс может с некоторыми
вероятностями пойти разными (обычно двумя – «би») путями. Так что это – точка «раздвоения». Точка бифуркации
обладает одним замечательным свойством: она абсолютно
неустойчива, т.е. процессы обязательно пойдут какими-то
путями, а вот какими – предсказать нельзя, поскольку даже
в классическом приближении в этой точке бесконечно малое
влияние изменяет развитие системы. Простой пример - карандаш, поставленный на бесконечно тонкое острие строго
вертикально в вакууме. Он обязательно упадет, но неизвестно в какую сторону. Богатырь из старинных русских былин,
который то и дело встречает придорожный камень, гарантирующий ему разные неприятности, – неважно, пойдет
ли он направо, налево или продолжит путь прямо. Главный
герой рассказа О. Генри «Дороги судьбы» решает изменить
31
свою жизнь и уходит из родной деревни. «Три лье через туманную, залитую лунным светом равнину тянулась дорога,
прямая, как борозда, проведенная плугом пахаря. В деревне
считали, что дорога ведет, по крайней мере, в Париж; шагая
по ней, молодой поэт не раз шептал про себя это слово. Никогда еще Давид не уходил так далеко от Вернуа. Итак, три
лье тянулась дорога и вдруг озадачила его. Поперек ее пролегла другая дорога, большая и торная. Давид постоял в раздумье и повернул налево».
С точки зрения ученого, момент, когда Давид подошел
к пересекающей его путь дороге, а богатырь – к камню на перепутье, можно назвать точкой бифуркации. Иначе говоря,
в этот момент вместо одного устойчивого пути развития их
судеб, как это было раньше, до разветвления дороги, появилось несколько.
2.2. Универсальный критерий эволюции
Для стационарных неравновесных процессов Онзагер и
Пригожин установили физическую величину, которая имеет
экстремальное значение подобно тому, как равновесное состояние характеризуется максимальной энтропией.
Распространение принципа минимального производства
энтропии на нелинейные процессы привело к появлению
универсального критерия эволюции. Под нелинейными процессами в термодинамике понимают такие процессы, в кото-
рых связь между потоками (тепла, вещества, заряда), с одной стороны, и величинами, переносимыми этими потоками
(температурой, концентрацией молекул, электрическим потенциалом), с другой, нелинейна. Именно в сильнонеравновесных состояниях отклонения от линейных связей становятся наиболее ощутимыми.
P
Скорость изменения производства энтропии
означает производную по времени) или вторая производная
S
энтропии
значительных отклонениях от равновесия обусловлена вну-
, учитывая P = S/t, в открытых системах при
(штрих
32
трисистемным производством энтропии из-за изменения
термодинамических сил (
Для изолированной системы
го начала термодинамики,
S ) и потоковым слагаемым (
i
SSS. (2.2)
ei
0
S и, с учетом второ-
e
0
S . Применяя последнее
i
неравенство для открытых систем, полагая, что
SS, можем прийти к ситуации, когда полная энтропия
ei
в открытой системе уменьшается. Неравенство
0
P получило название универсального критерия эволю-
e
S или
e
S ):
e
0
S и
e
0
ции Гленсдорфа – Пригожина. Иначе говоря, процессы идут
так, что скорость изменения производства энтропии, связанная с изменением термодинамических сил, уменьшается.
Таким образом, в нелинейной области, вдали от состояния равновесия, если через систему проходят большие потоки, могут возникать состояния с убывающей энтропией и,
если эта убыль превышает критическое значение, может начаться формирование упорядоченных структур (диссипативных структур по Пригожину), неблагоприятных с термодинамической точки зрения, поскольку они обладают низкой
энтропией и высокой степенью организации. Малые флуктуации, которые в устойчивом случае неизбежно рассасываются, теперь приобретают тенденцию к усилению.
Привычная для устойчивого случая картина перехода
к бесструктурному (с макроскопической точки зрения) состоянию теперь уже не реализуется. Вместо этого мы можем
наблюдать самые разнообразные пространственно-временные структуры.
В неравновесной термодинамике самоорганизация является общим свойством открытых систем. При этом именно
неравновесность служит источником упорядоченности. Этот
вывод послужил отправной точкой для идей, выдвинутых
представителями Брюссельской школы во главе с И. Пригожиным.
Рассмотрим примеры того, как системы, полностью разупорядоченные в состоянии теплового равновесия, будучи
33
выведенными из состояния теплового равновесия, могут внезапно в высокой степени упорядочиваться.
2.3. Пространственные диссипативные
структуры
Классическим примером возникновения структуры
из полностью хаотической системы являются конвективные
ячейки Бенара. В 1900 г. была опубликована статья Х. Бенара с фотографией структуры, по виду напоминавшей пчелиные соты (рис. 2.4).
а б
Рис. 2.4. Фотографии ячейки Бенара:
а – вид сверху; б – увеличение в 25 раз
Анри Клод Бенар (Henri Claude Benard, 25 октября
1874 г. – 29 марта 1939 г.) – французский физик, наибо-
лее известным своими исследованиями конвекции в жид-
костях, которая теперь носят его имя – конвекция Бенара.
Родился и работал во Франции. Преподавал в университе-
тах Лиона, Бордо и Сорбонны в Париже. Бенар специали-
зировался в области экспериментальной гидродинамики и
использования оптических методов для ее изучения. Бенар
был избран президентом Французского общества физиков
(SFP) в 1929 г. В следующем году его сменил на посту пре-
зидента его друг и бывший учитель Жан Перрен.
34
Пространственная диссипативная структура образовалась в ртути, налитой в плоский широкий сосуд, подогреваемый снизу, после того как температурный градиент между
нижними и верхними слоями превысил некоторое критическое значение. Объемная схема структуры ячеек Бенара
представлена на рис. 2.5.
а б
Рис. 2.5. Схема ячеек Бенара:
а – общий вид структуры; б – отдельная ячейка
Весь слой ртути (или другой вязкой жидкости) распадается на одинаковые вертикальные шестиугольные призмы
с определенным соотношением между стороной и высотой
(ячейки Бенара). В центральной области призмы жидкость
поднимается, а вблизи вертикальных граней - опускается.
При нагревании системы снизу возникает разность температур Т между нижней (Т
ми: Т = Т
– Т1 > 0. Такой температурный градиент называ-
2
) и верхней (Т1) поверхностя-
2
ется инверсным градиентом, так как нижние слои жидкости
вследствие теплового расширения имеют меньшую плотность, чем верхние. Из-за наличия силы тяжести и архимедовой выталкивающей силы такая система оказывается
неустойчивой, поскольку легкий нижний слой и тяжелый
верхний стремятся поменяться местами.
35
При длительном подогреве, но при разности температур
меньше критической (Т < Т
), в системе устанавливает-
кр
ся простое и единственное состояние, в котором происходит
перенос тепла к верхней поверхности и передача его во внешнюю среду (рис. 2.6, участок а). Вследствие вязкости жидкости при небольших градиентах температуры движение
не возникает, и тепло передается только по механизму теплопроводности. Отличие этого состояния от равновесного
состояния заключается в том, что температура, плотность,
давление становятся неоднородными. Они приблизительно
линейно изменяются от теплой области к холодной.
q
Покоящаяся
жидкость
Рис. 2.6. Поток тепла q в тонком слое жидкости
Образование
ячеек
а
TT
в
б
неустойчивое
состояние
Увеличение температуры подогрева Т2, т.е. дальнейшее
отклонение системы от равновесия, приводит к тому, что
состояние неподвижной теплопроводящей жидкости становится неустойчивым (рис. 2.6, участок б). Из-за большой
разности температур Т возникают конвективные потоки.
Неустойчивое состояние может смениться устойчивым состоянием (рис. 2.6, участок в), характеризующимся образованием ячеек. При больших разностях температур покоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла,
жидкость «вынуждена» двигаться, причем кооперативным
(коллективным, согласованным) образом.
36
Управляющим параметром самоорганизации при возникновении ячеек Бенара служит градиент температуры Т
. Вследствие подогрева до Т2 = Ткр в первоначально
кр
однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры
по объему. В тонком слое при подогреве снизу образуются
ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых
жидкость поднимается по центру и опускается по граням
ячейки. И конвекция приводит к «рождению» пространственной диссипативной структуры – ячеек Бенара.
Таким образом, устойчивая диссипативная структура
возникает как результат конкуренции двух противоположных тенденций – стабилизирующих диссипативных эффектов, связанных с термодинамическими потоками и силами,
и дестабилизирующих конвективных эффектов. Наличие такой конкуренции – общее характерное свойство всех задач,
связанных с возникновением неустойчивости, что роднит их
с задачами о фазовых переходах.
По сравнению со слабо неоднородным распределением
параметров в покоящейся жидкости конвекционные ячейки являются более высокоорганизованной структурой, возникающей в результате коллективного движения молекул
в жидкости. Поскольку система обменивается со средой
только теплом и в стационарных условиях получает (при
температуре T
(при температуре T
ет энтропию среде (S = q/T
) такое же количество тепла q, что и отдает
2
> T1), то оказывается, что система отда-
2
) и q/T2 < 0. Иными словами,
1
внутренняя структура или самоорганизация поддерживается за счет поглощения отрицательной энтропии.
Задача о возникновении свободной конвекции в слое покоящейся жидкости с температурным градиентом при условиях, что слой жидкости – тонкий и расположен горизонтально, а жидкость – несжимаемая и нагревается снизу,
была решена разными исследователями, но даже в самом
37
простом приближении Буссинеска для решения требуется
использование вариационного исчисления и тензорного анализа. Поэтому здесь будет сформулирован только физический смысл гидродинамического и термодинамического условий устойчивости ячеек Бенара:
– гидродинамическое условие
h
0
2
() d 0;
ugwz (2.3)
ij
– термодинамическое условие
h
0
2
() d 0,
ij
wz (2.4)
где – коэффициент вязкости;
g = Fz, здесь F – вектор массовой силы; z – координата;
– коэффициент расширения при постоянном давлении,
= 10
–3
… 10–4 К–1;
– коэффициент теплопроводности;
uij = ij – малое возмущение горизонтальной скорости;
= T – малое возмущение температурного распределения;
w = z – малое возмущение вертикальной скорости;
– усреднение в горизонтальной плоскости;
d.
– температурный градиент.
dTz
Смысл первого условия следующий: минимальный перепад температуры, при котором возникает неустойчивость,
должен быть таким, чтобы возникал стационарный баланс
между вязкой диссипацией кинетической энергии и производством внутренней энергии за счет сил выталкивания. Таким образом, это условие является следствием конкуренции
между диссипацией кинетической энергии и возникновением внутренней энергии.
Смысл второго условия состоит в том, что минимальный
перепад температуры, при котором возникает неустойчивость, должен быть таким, чтобы стационарный баланс между производством энтропии за счет теплопроводности от тем-
38
пературных флуктуаций и потоком энтропии, переносимой
флуктуациями скорости, сохранялся.
Если поток энтропии превосходит производство энтропии за счет теплопроводности, то флуктуации начнут проникать глубоко в слой жидкости, и состояние покоя станет неустойчивым. Отметим, что оба условия выражают свойства
флуктуаций. Диссипация кинетической энергии в первом
условии связана с флуктуациями скорости, но поскольку
анализируется устойчивость состояния покоящейся жидкости, эта диссипация равна полной диссипации кинетической
энергии в системе. Напротив, производство энтропии в термодинамическом условии устойчивости, связанное с температурными флуктуациями, не следует путать с производством энтропии в результате перепада температур.
Наряду с ячейками Бенара имеются другие пространственные диссипативные структуры: пространственно-периодические вихри – вихри Тейлора, конвекция Марангони
и др. Эффект Марангони (Марангони – Гиббса) – это явление
переноса вещества вдоль границы раздела двух сред, возникающее вследствие наличия градиента поверхностного натяжения. Такая разновидность конвекции называется капил-
лярной, или конвекцией Марангони.
Наиболее известное проявление эффекта Марангони – «слезы вина» – является следствием того, что этанол имеет более
низкое, чем у воды, поверхностное натяжение. Если спирт смешивается с водой неоднородно, область с меньшей концентрацией алкоголя имеет больший коэффициент поверхностного
натяжения и стягивает окружающую жидкость сильнее, чем
область с более высокой концентрацией спирта. В результате
такая смесь имеет тенденцию перетекать в области, где концентрация алкоголя меньше. Такой областью является мениск
у стенки бокала, где испарение наиболее интенсивно.
Возникновение градиента поверхностного натяжения может быть вызвано градиентом концентрации или градиентом
температуры. В последнем случае помимо эффекта Марангони имеет место эффект Бенара, и такая конвекция называет-
39
ся термокапиллярной конвекцией (конвекция Бенара – Ма-
рангони). Чем больше у жидкости поверхностное натяжение,
тем с большей силой она стягивается. Поэтому при наличии
градиента поверхностного натяжения жидкость будет перемещаться в область с боCльшим значением коэффициента
поверхностного натяжения. Однако в большинстве случаев
эффект Марангони незначителен, поскольку обычно он перекрывается конвекцией жидкости под действием силы тяжести вдоль градиента плотности.
Вихри Тейлора представлены на рис. 2.7. Пусть между
длинным неподвижным внешним цилиндром и концентрическим по отношению к нему вращающимся внутренним
цилиндром находится слой жидкости. Если скорость вращения внутреннего цилиндра достаточно мала, то течение жидкости происходит вдоль круговых линий тока. Но если она
превосходит критическое значение, то вдоль аксиального
направления появляются пространственно-периодические
вихри – вихри Тейлора.
а б
Рис. 2.7. Вихри Тейлора: а – изображение, полученное
на компьютере; б – фотоснимок реального опыта
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]