Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория систем и системный анализ. Учебное пособие-1
.pdf
2. Критерий среднего выигрыша. Основу этого критерия составляет предположение: если о состояниях обстановки
ничего неизвестно, то вероятности этих состояний p
следует
i
задать или, попросту говоря, угадать. Эффективность систем
оценивается как математическое ожидание (среднее ожидаемое
значение) оценок эффективности по всем состояниям обстановки:
K(a
) = ∑ pi kij (i = 1, …, m). (8.6)
i
Оптимальной будет признана система с эффективностью
= maxi (∑ pi kij) (i = 1, …, m). (8.7)
K
опт
3. Критерий Вальда. Этот критерий, иначе называемый
критерием максимина, выбирает так называемый осторож-
ный наблюдатель, поскольку он гарантирует определенный
выигрыш при наихудшем состоянии обстановки или наилуч-
ший из худших результатов. В основе критерия Вальда лежит
принцип: при неизвестном априори состоянии обстановки следует «закладываться» на худший вариант развития событий
т.е. ориентироваться на минимальную эффективность каждой
системы. При этом выбираться должна система с максимальным значением минимальной эффективности. В этом и состоит
сущность критерия максимина.
В каждой строке матрицы эффективности выделяется минимальная оценка конкретной системы по всем состояниям обстановки
K(a
) = minj kij (i = 1, …, m; j = 1, …, k). (8.8)
i
Оптимальной по этому критерию признается система с максимальным значением минимальной эффективности:
,
= maxi (minj k
K
опт
) (i = 1, …, m; j = 1, …, k). (8.9)
ij
Выбор критерия Вальда направлен на исключение любых
элементов риска при принятии решения. Однако продолжением
этого достоинства является очевидный недостаток пессимистической по сути оценки ожидаемой ситуации.
4. Критерий максимакса, или «неограниченного опти-
мизма». Сторонник использования этого критерия выберет в
191
каждой строке матрицы эффективности систему с максимальным значением эффективности, а оптимальной посчитает систему с наибольшим значением максимума. Как и полагается
оптимисту, он будет ожидать, что состояние обстановки окажется самым удачным, т.е. именно таким, какому соответствует
выбранная система. Поэтому для него:
K(a
) = maxj kij (i = 1, …, m; j = 1, …, k) и (8.10)
i
= maxi (maxj kij) (i = 1, …, m; j = 1, …, k). (8.11)
K
опт
Естественно, сторонники выбора критерия максимакса обладают азартным характером и рискуют в наибольшей степени.
Следует, правда, отметить, что иногда возникают такие жизненные ситуации, что приходится отбросить всяческую осторожность – «или пан, или пропал».
5. Критерий взвешенного оптимизма (Гурвица). Нередко
этот критерий называют критерием обобщенного максимина
Важное достоинство этого критерия состоит в возможности
регулировать соотношение оптимизма и пессимизма, принимая
взвешенные решения.
С этой целью в рамках применения критерия вводится коэффициент оптимизма ω, определенный в интервале значений
0 ≤ ω ≤ 1. Этот коэффициент отражает соотношение азарта и
осторожности ЛПР. Эффективная система выбирается в результате процедуры взвешивания
максимальной и минимальной оце-
нок с помощью коэффициента ω:
.
) = ω maxj kij + (1 – ω) minj kij . (8.12)
K(a
i
Оптимальной будет признана система с максимальным значением взвешенного критерия:
= maxi ω[maxj kij + (1 – ω) minj kij], 0 ≤ ω ≤1. (8.13)
K
опт
Очевидно, что при ω = 0 критерий Гурвица трансформируется в критерий максимина Вальда, при ω = 1 – в критерий мак-
симакса. Поэтому весьма ответственной процедурой является
определение значения коэффициента ω. Нередко оно устанавливается средствами экспертного оценивания. На практике значения ω, как правило, выбираются в диапазоне 0,3÷0,7.
192
6. Критерий минимального риска (Сэвиджа). Этот крите-
рий, так же как и критерий Вальда, относится к критериям осторожного игрока. Правда, он несколько более оптимистичен, чем
критерий Вальда. По своей сути он отражает сожаление игрока
по поводу того, что выбранная система не оказалась наилучшей при наступившем состоянии обстановки. Для проведения
оценок по этому критерию привычная матрица эффективности
(таблица 8) преобразуется в матрицу потерь (риска). Каждый
элемент матрицы риска вводится как разность между максимальным и текущим значениями эффективности в столбце:
Δk
= maxi kij – k
ij
.
ij
Далее по отношению к матрице риска применяется крите-
рий минимакса, а именно:
) = maxj Δkij. (8.14)
K(a
i
Оптимальной признается система с минимальным значени-
ем потерь (риска)
K
= mini (maxj Δkij). (8.15)
опт
Итак, оценивание эффективности систем в условиях неопределенности может проводиться по различным критериям.
Выбор определенного критерия зависит от ряда факторов. Укажем на основные из этих факторов:
• характер ЛПР (склонность к риску или, наоборот, осто-
рожность);
• источник неопределенности (нейтральная природа или со-
знательное активное противодействие);
• цель и значимость операции
(допустим ли определенный
риск или необходим гарантированный результат).
Ясно, что от выбора конкретного критерия существенным
образом зависит принимаемое решение, поэтому в одной и той
же ситуации разные ЛПР, руководствуясь разными критериями,
предпочтут разные системы.
Проиллюстрируем это на примере. Пусть имеются три системы и возможны четыре состояния обстановки. Построим
матрицу
эффективности с произвольно взятыми значениями
оценок эффективности (таблица 9).
193
Таблица 9
Матрица эффективности
k
a
i
a
1
a
2
a
3
k
1
k
2
0,5 0,3 0,1 0,2
0,2 0,1 0,6 0, 3
0,3 0,4 0,2 0,2
j
k
3
k
4
Применим последовательно приведенные выше критерии.
1. По критерию Лапласа:
K(a
) = 0,25 (0,5 + 0,3 + 0,1 + 0,2) = 0,275;
1
K(a
) = 0,3;
2
K(a
) = 0,275.
3
Оптимальное решение – выбор системы a
.
2
2. По критерию среднего выигрыша зададим следующие ве-
роятности наступления возможных состояний обстановки:
p
= 0,4; p2 = 0,2; p3 = 0,1; p4 = 0,5. Тогда:
1
K(a
) = 0,4∙ 0,5+0,2∙ 0,3+0,1∙ 0,1+0,5∙ 0,2 = 0,37;
1
K(a
) = 0,31;
2
K(a
) = 0,31.
3
Оптимальное решение – выбор системы a
.
1
3. По критерию Вальда:
K(a
) = min(0,5; 0,3; 0,1; 0,2) = 0,1;
1
K(a
) = 0,1;
2
K(a
) = 0,2.
3
Оптимальное решение – выбор системы a
.
3
4. По критерию максимакса:
K(a
) = max(0,5; 0,3; 0,1; 0,2) = 0,5;
1
K(a
) = 0,6;
2
K(a
) = 0,5.
3
Оптимальное решение – выбор системы a
.
2
5. По критерию Гурвица (зададим значение коэффициента
ω = 0,6):
K(a
) = 0,6∙0,5 + (1 – 0,6)∙0,1 = 0,34;
1
K(a
) = 0,4;
2
194
K(a3) = 0,38.
Оптимальное решение – выбор системы a
.
2
6. Для выбора по критерию Сэвиджа построим матрицу
риска:
Таблица 10
Матрица риска
k
a
i
a
1
a
2
a
3
k
1
k
2
0 0,2 0,4 0,3
0,4 0,5 0 0, 3
0,1 0 0,2 0,2
j
k
3
k
4
Тогда:
K(a
) = max (0; 0,2; 0,4; 0,3) = 0,4;
1
K(a
) = 0,5;
2
K(a
) = 0,2.
3
Оптимальное решение – выбор системы a
.
3
Таким образом, выбор того или иного критерия, в частности
выбор коэффициента оптимизма для критерия Гурвица, существенным образом влияет на результаты оценивания. В свою
очередь, на выбор критерия оказывает влияние целый ряд факторов – от природы неопределенности до характера лица, принимающего решение.
Обобщим для удобства сравнения результаты оценивания
эффективности
систем (таблица 11). Символом а* будем отме-
чать системы, оптимальные по соответствующим критериям.
Как нетрудно убедиться, по мере последовательной перемены критериев все системы побывали в статусе оптимальных,
что убедительно свидетельствует о сложности и неоднозначности выбора конкретного критерия. Поэтому при анализе и
синтезе сложных систем тип критерия должен быть заранее
оговорен
, согласован с заказывающей стороной и считаться за-
данным.
Наличие совпадений результатов выбора по нескольким
критериям, т.е. признак устойчивости выбранного решения,
дает основание считать это решение рациональным. В случае
195
отсутствия совпадений (при конкуренции альтернатив) возможно применение процедур мажоритарной обработки результатов
оценивания по простому большинству голосов заинтересованных лиц или привлеченных экспертов.
Таблица 11
Сравнение результатов оценивания
Аль-
терна-
тивы
а
1
а
2
а
3
Лапласа
а* а* а*
Оценки эффективности по критериям
Среднего
выигрыша
а*
Вальда
Макси-
макса
а* а*
Гурвица Сэвиджа
8.4. Выбор решений в конфликтных ситуациях
Решение многих практических задач связано с необходимостью анализа ситуации, в которых сталкиваются две (или более) противоборствующие стороны, преследующие собственные цели, причем результат любых действий каждой из сторон
зависит от образа действий, выбранных противником. Именно
такие ситуации и носят название конфликтных. Наиболее эф-
фективным
средством разрешения конфликтных ситуаций счи-
тается методология теории игр.
Классификация видов игр, как и любая классификация, зависит от выбора признака классификации: по числу игроков,
по количеству возможных стратегий, по свойствам функции
выигрыша, по наличию или отсутствию возможности предварительных переговоров и взаимодействия между участниками
игры (игроками) в процессе игры.
В зависимости от количества игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками
По числу стратегий игры могут быть конечные и бесконечные. В конечных играх игроки располагают ограниченным выбором числа возможных стратегий, в бесконечных играх количе-
ство возможных стратегий не ограничено. Примером конечной
196
игры может служить игра в орлянку, когда выбор ограничен
двумя стратегиями, примером бесконечной игры – ситуация
«продавец – покупатель», когда каждый игрок может называть
любую цену товара.
Важным отличительным признаком игры является характеристика функции выигрыша (платежной функции). Так, если
выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. очевиден конфликт
между игроками, игры называются антагони-
стическими, или играми с нулевой суммой. Противоположная
ситуация, когда игроки и выигрывают, и проигрывают сообща,
и поэтому для них выгодно сотрудничать, соответствует игре
с постоянной разностью. Между этими крайними случаями
существует множество возможных игр с ненулевой суммой, в
которых имеют место и антагонистические, и согласованные
действия
игроков.
Игры, условия которых допускают предварительные переговоры между игроками, принято называть кооперативными, и
наоборот, игры, в которых такая возможность исключается, –
некооперативными. Как видим, все антагонистические игры
относятся к некооперативным играм.
Введем основные понятия и определения теории игр.
Игры, в которых целью игроков является максимизация
выигрыша коалиции (коллектива игроков) без
его последующего разделения между игроками, называются коалиционными.
Игры, в которых действия каждого игрока направлены на достижение максимального индивидуального выигрыша, носят
название бескоалиционных.
Для формализации понятий обозначим символом I множество всех игроков, которое будем считать конечным. Игроков принято различать по номерам, поэтому считаем I =
= {1, 2, …, n}.
Бескоалиционная игра
. Пусть каждый игрок
полагает некоторым множеством S
стратегий (возможных дей-
i
iI
рас-
ствий). В процессе игры каждый игрок выбирает для себя ту
или иную стратегию
дывается система стратегий s = (s
sS
. В ходе каждой партии игры скла-
ii
, s2, …, sn), которая называется
1
ситуацией. Множество всех ситуаций есть произведение всех
197
Si . Выигрыш i-го игрока в ситуации s обозначим Ri(s). Функция R
определяется на множестве всех ситуаций и называется
i
функцией выигрыша i-го игрока.
С учетом этих обозначений бескоалиционной игрой являет-
ся кортеж (тройка):
где I,{S
В = <I,{S
} – множества, а Ri – функции на множестве, принимаю-
i
},{Ri}>, (8.16)
i
щие действительные значения.
Бескоалиционная игра называется игрой с постоянной сум-
мой, если существует C = const, такая, что
ɋ ()
Rs s S
i
. (8.17)
Ситуация, складывающаяся в игре, называется приемлемой для i-го игрока в случае, если, изменив свою стратегию на
какую-либо другую, он не сможет увеличить свой выигрыш.
Ситуация, приемлемая для всех игроков, называется равновес-
ной ситуацией (или ситуацией равновесия). В равновесных ситуациях (и только в них) ни один игрок
не заинтересован в отклонении от своей стратегии. Равновесной стратегией игрока в
бескоалиционной игре называется такая его стратегия, которая
входит хотя бы в одну из равновесных ситуаций игры.
Процесс нахождения равновесной ситуации в бескоалици-
онной игре принято называть решением игры.
Матричные игры. Антагонистические игры, в которых
каждый игрок имеет конечное множество
стратегий, называются матричными играми. Стратегии игроков в таких играх принято называть чистыми стратегиями. Процесс в матричной
игре выглядит следующим образом. Задается матрица потерь
(платежей) А = ||а
||, подобная изображенной в виде таблицы 10.
ij
Игроки 1 и 2 независимо друг от друга выбирают свои чистые
стратегии α
и βj. После того как выбор сделан, элемент матри-
i
цы А отражает размер выигрыша (проигрыша) игрока 1, если он
применяет чистую стратегию α
β
. Ситуацию в матричной игре составляет пара (αi , βj).
j
, а игрок 2 – чистую стратегию
i
Для того чтобы ситуация в матричной игре была равновес-
ной, необходимо и достаточно, чтобы
(minj аij) = minj (maxi аij). (8.18)
max
i
198
Равновесные стратегии игроков в антагонистической игре
являются их оптимальными стратегиями. Выбор игроком 1
оптимальной стратегии в соответствии с max
(minj а
i
) дает ему
ij
выигрыш не меньший, чем значение игры независимо от действий игрока 2. Соответственно, выбор игроком 2 оптимальной
стратегии в соответствии с min
(maxi а
j
) в любом случае при-
ij
несет ему проигрыш, не больший, чем значение игры, определяемое общим значением max
(minj а
i
) и minj (maxi а
ij
).
ij
Таким образом, исход матричной игры по существу оказывается предопределенным, поскольку зависит только от условий игры, определяемых заданием матрицы А.
Кооперативные игры. Кооперативной игрой называется
игра с ненулевой суммой, по условиям которой игрокам разрешается образовывать коалиции, т.е. обсуждать перед игрой свои
стратегии и договариваться о совместных действиях
. Основная цель кооперативной игры состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Наиболее сложной задачей
оказывается именно дележ выигрыша. Кооперативные игры,
в которых возможен раздел суммарного выигрыша в любых
пропорциях, получили название игр с трансферабельной полез-
ностью.
Идеальным решением кооперативной игры с трансфера-
бельной полезностью принято считать следующее
решение:
а) оно существует в любой игре;
б) с ним вынужден будет согласиться любой игрок;
в) оно предполагает минимальное множество дележей.
Следует подчеркнуть, что законченной теории кооператив-
ных игр до настоящего времени не создано. Считается, что для
этого необходима разработка новых, более совершенных понятий конфликтного равновесия, не требующих от игроков
каких-
либо искусственных норм поведения.
Завершая обсуждение проблемы принятия решений в усло-
виях неопределенности, сделаем одно замечание общего характера. При выборе решений необходимо отдавать себе отчет
в том, что снять неопределенность полностью невозможно в
принципе. Поэтому слишком высокие требования к точности
решения таких задач окажутся неуместными.
199
Целесообразно выделить определенную область приемлемых решений, которые окажутся несущественно хуже других независимо от выбранного подхода. Как видим, речь идет
о выделении множества Парето, т.е. множества несравнимых
альтернатив. Именно в пределах этого множества и должен
производиться окончательный выбор решения лицами, ответственными за этот выбор, т.е. ЛПР.
Следует
, однако, заметить, что в ходе проведения исследования и собственно операции выбора некоторые неопределенные
случайные факторы могут стать известными, что, безусловно,
должно быть использовано на этапе принятия решения.
8.5. Системы поддержки принятия решений
Жизнедеятельность современного человека протекает в
условиях информационного общества, для которого характерно стремительное развитие информационных технологий и их
внедрение в самые разнообразные сферы жизни.
Наиболее актуальной задачей современного этапа информационной революции становится задача автоматизации ин-
теллектуальной деятельности, в первую очередь – принятия
решений в условиях неполной определенности.
Усложнение процессов управления крупными организационными структурами, носящее объективный характер, приводит к необходимости решения следующих проблем:
– повышение оперативности управления;
–
снижение трудозатрат ЛПР на выполнение второстепен-
ных процедур;
– повышение степени научной обоснованности принимаемых решений.
В процессе приятия решений ЛПР выполняет упорядоченную последовательность процедур, относящихся к трем группам функций:
– функций обмена сообщениями (информацией) {f
};
о
– рутинные (вспомогательные) функции обработки сообщений {f
};
р
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]