Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория систем и системный анализ. Учебное пособие-1
.pdf
возможность для сравнения и выбора решений. В теории полезности показано, что функция полезности существует в виде
отображения упорядоченного множества альтернатив A в множество действительных чисел F при выполнении естественных
допущений относительно предпочтений ЛПР. Система предпочтений ЛПР формулируется в виде нескольких аксиом.
Сформулируем основные аксиомы теории полезности.
Аксиома 1. Измеримость
тиве (исходу) а
может быть поставлено в соответствие неот-
i
рицательное действительное число с
относительной полезности исхода а
альтернатив. Каждой альтерна-
, представляющее меру
i
, i = 1, 2, …, n, 0 ≤ сi ≤ 1.
i
Аксиома 2. Сравнимость альтернатив. Две любые альтер-
нативы а
и аj сравнимы в том смысле, что либо одна из них
i
предпочтительнее другой, либо они эквивалентны. Это означает, что при сравнении двух исходов возможен один из трех
выводов: предпочтительнее альтернатива а
альтернатива а
, альтернативы одинаково предпочтительны:
j
,:
aa A
ij
^`
aaaaaa x
ijjii j
, предпочтительнее
i
. (7.14)
Здесь следует добавить, что если одновременно истинны
высказывания: альтернатива а
а
, и, кроме того, альтернатива аj предпочтительнее альтернати-
j
вы а
то между альтернативами аi и аj имеет место отношение
i
безразличия: а
~ аj.
i
предпочтительнее альтернативы
i
Аксиома 3. Транзитивность альтернатив. Соотношения
предпочтения и эквивалентности исходов транзитивны: если
альтернатива а
тива а
предпочтительнее альтернативы аk, то альтернатива аi
j
тоже предпочтительнее альтернативы а
ход а
эквивалентен исходу аj, а исход аj эквивалентен исходу аk,
i
то исходы а
предпочтительнее альтернативы аj, а альтерна-
i
. Аналогично, если ис-
k
и аk тоже эквивалентны.
i
Аксиома 4. Коммутативность альтернатив. Предпочте-
ние альтернативы а
альтернативе аj не зависит от порядка их
i
предъявления.
Аксиома 5. Независимость альтернатив. Если альтернати-
ва а
предпочтительнее альтернативы аj и кроме того существует
i
альтернатива а
, которая не оценивается относительно альтерна-
k
171
тив (исходов) аi и аj, то смесь исходов аi и аk предпочтительнее
смеси исходов а
и аk. Смесь исходов представляет собой исход,
j
состоящий в появлении одного из исходов с вероятностью р, а
другого – с дополнительной вероятностью 1 – р. Иначе говоря,
считается, что отношение предпочтения (безразличия) между
двумя альтернативами не нарушается наличием третьей.
В теории полезности принято считать, что если в реальной
задаче оценивания альтернативных систем выполняются эти
пять
аксиом, то существует функция полезности, однозначно
определенная на множестве этих альтернатив с точностью до
монотонного строго возрастающего преобразования. Это означает, что показатели полезности измеряются на шкале интер-
валов. Следует подчеркнуть, что функция полезности характеризует относительную, а не абсолютную предпочтительность
альтернатив, поскольку присваиваемые исходам числа характеризуют их порядок, но
не то, насколько или во сколько раз одна
альтернатива превосходит другую.
Функция полезности представляет собой числовую ограниченную функцию F(a), определенную на множестве альтернатив A = {а
нативы эквивалентны (неразличимы), и F(а
когда альтернатива а
}, k = 1, 2, …, n так, что F(аi ) = F(аj ), когда альтер-
k
предпочтительнее альтернативы аj.
i
) > F(аj ), в случае,
i
7.6. Определение функции полезности
Прежде всего следует отметить, что существующие методы
определения функции полезности носят приближенный характер. Наиболее известные среди них следующие:
• Метод аппроксимации.
• Экспертное оценивание.
• Анализ влияния исходов операции на операцию более вы-
сокого уровня иерархии.
Методика определения функции полезности на основе ап-
проксимации заключается в следующем. При
анализе исходов
некоторой конкретной операции проводится поиск характерных точек функции полезности, как правило – ее экстремумов,
а неизвестные значения заменяются определенной известной
172
функцией. Вид такой функции выбирается в зависимости от
того, что известно ЛПР об ожидаемых исходах операции и показателях их полезности.
К наиболее простым и часто применяемым аппроксимациям относятся одноступенчатое, треугольное и косинусоидальное представления функции полезности (рис. 5).
F(ak)
1
1,0
23
0 a
Рис. 5. Аппроксимации функции полезности
1 – одноступенчатая; 2 – треугольная; 3 – косинусоидальная
min
a
a
0
max
A
Одноступенчатую аппроксимацию целесообразно применять для операций, показателем исхода которых является срок
достижения цели, например срок завершения работ.
Треугольное и косинусоидальное представления функции
полезности применимы для операций, показателем исхода которых служит интервал времени, для которого определены
минимально и максимально допустимые отклонения от оптимального момента времени (t
< t0 < t
min
). Эти значения и вы-
max
бираются в качестве характерных точек. В зависимости от конкретной ситуации или предпочтений ЛПР функция полезности
будет представлять собой либо треугольник, либо отрезок косинусоиды, построенные по трем этим точкам.
Методы определения функции полезности на основе экс-
пертного оценивания базируются на предположении о том, что
знания,
практический опыт и интуиция человека-эксперта во
многих случаях полезнее формальных построений.
173
Независимо от выбранного способа проведения экспертизы
в нем присутствуют следующие характерные процедуры:
– ранжирование множества исходов операций по степени их
предпочтительности (a
– определение полезности каждого исхода F(a
► a2 ► …► an);
1
) с последую-
i
щей проверкой установленных оценок на предмет наличия возможных противоречий;
– устранение обнаруженных противоречий в оценках посредством корректировки варианта ранжирования и/или оценок
предпочтительности.
Следует отметить, что экспертные методы определения
функции полезности получили широкое развитие и активно используются при решении практических задач.
Анализ влияния исходов операции
на операцию более вы-
сокого уровня иерархии базируется на основополагающих
принципах системного анализа и поэтому может считаться
классическим. Действительно, как уже отмечалось, условия
функционирования системы задает надсистема, т.е. система
более высокого уровня иерархии. Поэтому естественным критерием эффективности системы является степень соответствия
выполняемых ею операций достижению цели вышестоящей
системы.
Будем
рассматривать показатель исхода операции исследуемой системы как один из управляемых параметров, обеспечивающих выполнение операции вышестоящей системы. Тогда
можно получить некоторую зависимость эффективности функционирования надсистемы от рассматриваемого показателя.
Эта зависимость и принимается в качестве функции полезности
исходов исследуемой операции.
Следует заметить, что такой подход особенно полезен
при оценивании
эффективности сложных организационных
и организационно-технических систем, в которых отдельные
структурные подразделения (подсистемы) могут преследовать
собственные цели, не совпадающие с внешними целями. Поэтому одной из важнейших функций управления является координация действий всех структурных подразделений со стороны
ЛПР верхнего уровня иерархии.
174
7.7. Методология векторной оптимизации
Методология векторной оптимизации составляет еще один
подход к разрешению проблемы корректности критерия превосходства. Она активно используется для оценивания сложных систем в условиях неопределенности.
Пусть K = (k
, k2, …, kn) – векторный критерий, представ-
1
ляющий собой отображение множества альтернатив A на множество шкальных значений R, т.е. K: A → R; K(а) – векторная
оценка альтернативы (элемента)
aAÎ , R – шкала. Тогда общая
задача векторной оптимизации может быть сформулирована в
виде:
K(а) → opt K(а), (7.15)
где opt – оператор, определяющий семантику векторной оптимизации.
В основе метода векторной оптимизации лежит принцип
Парето. Его идея состоит в том, что прежде всего следует исключить все наихудшие альтернативы, оставив для
выбора
только несравнимые альтернативы. Несравнимыми считаются
любые две альтернативы а
одной группе критериев (показателей), но при этом а
чтительнее а
по другой группе критериев. Даже если одна из
i
и аj, если аi предпочтительнее аj по
i
предпо-
j
пары альтернатив уступает другой только по одному критерию,
они все равно признаются несравнимыми.
Множество несравнимых альтернатив образует множество
Парето А*, которое называют также множеством компромис-
сов, или переговорным множеством. Множество A* задается
следующим образом:
*** *a A a A Ka Ka"Î $ Î ³ . (7.16)
()( )()()
()
Это означает, что множество Парето содержит альтернативы, которые всегда более предпочтительны по отношению к
любой альтернативе из множества A/A*.
Неравенство K(а*) ≥ K(а) показывает, что
k
(а*) ≥ k1(а); k2(а*) ≥ k2(а); …; kn(а*) ≥ kn(а), (7.17)
1
и при этом хотя бы одно из этих неравенств является строгим.
175
Процедура векторной оптимизации теперь будет заключаться в нахождении наилучшего (оптимального) компромисса
между альтернативами из множества Парето с учетом важности
(существенности) критериев.
В системном анализе разработана следующая последовательность действий в рамках процедуры векторной оптимизации. Вначале определяются частные показатели и критерии
эффективности. На втором этапе формируется множество Парето, после чего формулируется задача многокритериальной
оптимизации. Наконец, на третьем этапе эта задача решается
путем скаляризации компонентов векторного критерия. Под
скаляризацией понимается нахождение компромисса, при котором векторный характер связи можно не принимать во внимание, считая, что неоднородно связанные критерии (показатели)
имеют оптимальные значения.
7.8. Методы векторной оптимизации
На практике используется
несколько методов решения за-
дачи многокритериальной оптимизации. Наиболее простым из
них является метод выделения главного критерия. Выбирая
этот метод, ЛПР назначает наиболее важный для него критерий главным. Для остальных критериев указываются границы,
в пределах которых они могут находиться. Тем самым они выводятся в состав ограничений. Иными словами, для
наиболее
существенного показателя применяется критерий оптимальности, а для всех остальных устанавливаются границы пригодности. Очевидно, что достоинство метода состоит в его оперативности, а очевидный недостаток связан с невысокой точностью
оценивания.
Метод лексикографической оптимизации базируется на
проведении упорядочения (ранжирования) множества всех
критериев A по признаку абсолютной предпочтительности
(строгого порядка),
ся. На первом шаге отбирается подмножество альтернатив A
т.е. наличие эквивалентности исключает-
1
имеющих наилучшие показатели по наиболее важному (первому) критерию. Может случиться так, что в это подмножество
176
,
войдет единственная альтернатива, тогда она и признается наилучшей.
Если подмножество A
содержит более одной альтернативы,
1
то на втором шаге из входящих в него альтернатив формируется
подмножество A
альтернатив, имеющих наилучшие показатели
2
по второму критерию. Процедура продолжается до тех пор, пока
не будет отобрана наилучшая альтернатива. Как правило, наилучшая альтернатива отбирается на втором или третьем шаге.
Это значит, что не все критерии попадают на рассмотрение, а
только самые важные, что ограничивает точность выбора.
Это ограничение преодолевается методом
последователь-
ных уступок. Процедура этого метода отличается тем, что по-
сле проведения ранжирования критериев для каждого из них
назначается допустимое отклонение от наилучшего значения
(«уступка»). Далее на первом шаге формируется подмножество
A
альтернатив, для которых отклонение оценки по первому
1
критерию от наилучшего значения не превышает допустимого
отклонения. На втором шаге определяется подмножество A
по
2
второму критерию с учетом его «уступки» и так далее. При этом
соблюдаются условия, чтобы каждое очередное подмножество
содержало более одного элемента, поскольку в противном случае одноэлементного, или пустого, подмножества оптимизация
по остальным критериям окажется невозможной.
Отметим, что если потребовать, чтобы «уступка» по всем
критериям была бы равной нулю,
то метод последовательных
уступок автоматически трансформируется в метод лексикографической оптимизации.
Поскольку метод последовательных уступок связан с необходимостью периодически изменять величину допустимого отклонения с целью недопущения образования одноэлементных
множеств, что делает его весьма трудоемким, целесообразным
оказалось привлечение возможностей компьютерных технологий.
Человеко-машинные процедуры векторной оптимизации
позволяют успешно комбинировать
способность ЭВМ быстро
проводить громоздкие расчеты и возможности человека оперативно оценивать ситуацию в целом для принятия решений.
177
Алгоритм метода построен следующим образом. ЛПР задает свои предпочтения на множестве оценок альтернатив. ЭВМ
автоматически ограничивает исходное множество альтернатив,
формируя подмножество A
, и выдает соответствующие дан-
1
ные. ЛПР оценивает ситуацию и варьирует «уступки», указывая
допустимые уровни их снижения по одним критериям и увеличения по другим. ЭВМ снова выполняет расчетные процедуры и строит подмножество A
. Процесс продолжается вплоть
2
до завершения задачи выбора альтернатив. Естественно, выбор
ведется на множестве Парето.
7.9. Методы свертки векторного критерия
Решение задач однокритериального выбора методом теории
полезности состоит в том, что каждой альтернативе ставится
в соответствие определенное числовое значение, и сравнение
альтернатив сводится к сравнению соответствующих значений.
При этом считается, что для
каждой альтернативы может быть
задана функция предпочтения (функция полезности, или критерий) k(a), которая и позволяет сравнивать альтернативы по
простому принципу: если k(a
) > k(a2), то a1 > a2 , и наоборот.
1
Если предположить, что выбор любой альтернативы приводит к
однозначным последствиям и присвоенный критерий выражает
в численном виде оценку этих последствий, то лучшей будет
признана альтернатива с наибольшим значением:
*
() aargmaxka
Aa
;
.
Следует отметить, что такая простая по постановке задача
нередко оказывается непростой для решения. Однако сложность выбора наилучшей альтернативы существенно возрастает, когда оценивание производится по нескольким качественно
разным критериям.
Задачи многокритериальной (векторной) оптимизации формулируются следующим образом. Пусть оценивание альтернатив проводится по нескольким критериям:
k
(a), k2(a), …, ki(a), …, kn(a); aAÎ (i = 1, …, n), (7.18)
1
178
где А – множество возможных альтернатив, n – число критериев. Необходимо определить альтернативу а*, наилучшим образом удовлетворяющую всем критериям, т.е.
*aAÎ : ki(a*) = k
(а), i = 1, …, n. (7.19)
опт
Именно к такому классу задач относятся методы свертки
векторного критерия.
Смысл этих методов состоит в преобразовании векторного
критерия в скалярный, который представляет собой некоторую
функцию от значений компонентов векторного критерия. С учетом перехода к скалярному критерию исходная задача заменяется новой, а именно:
k(
а) → extr k(а), (7.20)
где k(а) – скалярный критерий, представляющий cобой некоторую функцию от значений компонентов векторного критерия:
k(а) = f (k
(a), k2(a), …, kn(a)).
1
Цель рассматриваемого подхода состоит в получении функции f, которая называется сверткой. Для этого необходимо выполнить следующие операции.
1. Обоснование допустимости свертки. Речь идет о том,
что свертку можно проводить для однородных показателей. Известно, что показатели эффективности естественным образом
разделяются на три группы: показатели результативности, оперативности
и ресурсоемкости. Так вот, свертка отдельных показателей результативности, оперативности и ресурсоемкости
признана недопустимой, поскольку, как правило, приводит к
потере физического смысла.
Допустимо, например, проводить свертку таких показателей, как мобильность, быстродействие и производительность,
поскольку все они характеризуют оперативность. Однако свертка, скажем, управляемости, экономичности и быстродействия
не имеет смысла, поскольку
эти показатели относятся к разным
группам. Что же касается свертки обобщенных показателей от
каждой группы, то она, естественно, вполне допустима и даже
необходима, поскольку образует обобщенный показатель эффективности.
179
2. Нормировка критериев. Для проведения операции сверт-
ки необходимо привести все критерии к безразмерному виду,
иначе произойдет потеря физического смысла. Нормировка
критериев проводится подобно нормировке показателей с помощью нормирующего делителя, что обеспечивает перевод
критериев к безразмерной форме. Эта аналогия совершенно
естественна, поскольку между показателями и критериями существует тесная связь
, и нередко показатели выступают в роли
критериев. Отметим также, что в качестве нормирующего делителя при нормировке критерия берется, как правило, его максимальное значение.
3. Ранжирование приоритетности (степени важности)
критериев. Учет приоритетности критериев обеспечивает-
ся, как правило, заданием вектора коэффициентов их важности:
δ = (δ
, δ2, …, δn ), ∑ δi = 1,
1
– коэффициент важности i-го критерия, который обычно
где δ
i
берется равным коэффициенту значимости соответствующего
частного показателя.
Поскольку установление коэффициентов важности критериев связано с субъективными предпочтениями ЛПР, задача решается средствами экспертного оценивания.
Далее исходная векторная оценка K(a) альтернативы a заменяется новой векторной оценкой, получаемой на основе нормированных критериев:
k(а) = (δ
(a) – нормированный частный критерий.
где k
i
(a), δ2k2(a), …, δnkn(a)),
1k1
Теперь полученная векторная оценка преобразуется посредством операции свертки ее компонентов. На практике в основном используются два вида свертки: аддитивная и мультипликативная.
4. Свертка компонентов векторного критерия. Операция
аддитивной свертки позволяет представить обобщенный скалярный критерий в виде суммы взвешенных нормированных
частных критериев:
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]