Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория систем и системный анализ. Учебное пособие-1
.pdf
k(а) = ∑ δ1 ki (a) / ki0 , (7.21)
– нормирующий частный критерий.
где k
i0
Все такие критерии образуют группу аддитивных критериев. Поскольку речь идет о поиске оптимального компромисса,
для них принят принцип справедливой компенсации абсолют-
ных значений нормированных частных критериев, которому
должны соответствовать решения по изменению «уступок».
Справедливым признается компромисс, при котором суммарный уровень снижения значений одних критериев (показателей) не превышает суммарного уровня увеличения значений
других показателей.
Формально операция мультипликативной свертки дает
представление обобщенного скалярного критерия в виде произведения:
ka k a
G
i
. (7.22)
i
Как видим, мультипликативная свертка представляет собой
результат перемножения частных критериев k
в степень δ
, причем в этом случае критерии берутся ненорми-
i
(a), возведенных
i
рованными.
Компромисс в этом случае основывается на принципе спра-
ведливой относительной компенсации, при котором суммарный
уровень относительного снижения значений одних показателей
не должен превышать суммарного уровня относительного увеличения значений других показателей.
Выбор типа свертки зависит от того, что важнее для ЛПР, –
абсолютные
или относительные изменения значений частных
критериев. Однако следует отметить, что и та и другая свертки
представляют собой формальные математические приемы, при
выполнении которых варьирование значениями допустимых
отклонений может прийти в противоречие с объективной ролью частных критериев. Поэтому не существует четких условий и алгоритмов применения этих методов, поскольку при их
реализации существенная роль остается за эвристическими
процедурами.
Кроме того, результат выбора часто оказывается весьма
чувствительным даже к небольшим изменениям значения обоб-
181
щенного критерия, и оптимальная в новом смысле альтернатива
существенно отличается от прежней. Этими обстоятельствами
обусловлена широкая применимость аксиоматического подхода – теории полезности (см. раздел 7.5).
Вопросы и задания для самостоятельной работы
1. Дайте общее определение критерия.
2. Какие критерии используются при оценивании качества
систем?
3. Что представляет собой область адекватности?
4. Какие требования предъявляются
к показателю исхода
операции?
5. Как связаны требования полноты и неизбыточности?
6. Перечислите аксиомы теории полезности.
7. В чем состоит транзитивность множества?
8. Что представляет собой функция полезности?
9. Что понимается под смесью альтернатив?
10. Какие существуют способы определения функции
полезности?
11. Что представляет собой множество Парето?
12. Какие альтернативы считаются несравнимыми?
13. В чем
состоит проблема корректности критерия превос-
ходства?
14. Какие критерии используются при оценивании эффек-
тивности систем?
15. Как ставится задача многокритериальной оптимизации?
16. Что понимается под задачей векторной оптимизации?
17. Как применяется метод последовательных уступок?
18. Укажите достоинство человеко-машинных процедур
векторной оптимизации.
19. Как производится свертка векторного критерия?
20. Какие вам известны типы сверток?
182
ГЛАВА 8. ПРОБЛЕМА ВЫБОРА
В СИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ
8.1. Выбор в условиях риска
Начнем с определения понятия «риска». В литературе можно обнаружить весьма значительное количество определений
риска. Наиболее общей является, пожалуй, дефиниция риска
как опасности неблагоприятного исхода на одно ожидаемое событие. За меру риска принимается разница между ожидаемым
значением показателя эффективности и
тем его значением, которое оказалось реализованным. Этот подход к формализации
феномена риска был предложен в 1951 г. Л.Дж. Сэвиджем в
виде принципа минимаксного сожаления по поводу того, что
выбранное решение не оказалось наилучшим при реализованном состоянии обстановки.
Операции, выполняемые системами в условиях риска, но-
сят вероятностный характер, поскольку однозначные
(детерминированные) соответствия между системами и исходами
операций, типичные для условий определенности, нарушаются
случайным образом. Напомним, что такие операции относятся к стохастическим процессам с известным законом распределением вероятностей. Как уже отмечалось выше, знание закона распределения вероятностей позволяет ЛПР принимать
рациональные решения по прогнозированию наступающих
исходов.
Иными словами,
ствует множество исходов {y
их проявления p(y
каждой системе (альтернативе) a
} с известными вероятностями
). Поэтому для оценивания эффективно-
k /ai
k
соответ-
i
сти систем в условиях риска находят математическое ожидание
функции полезности на множестве исходов K(a) = M
Пусть исходы y
(k = 1, 2, …, m) имеют дискретные значе-
k
(F(y)).
a
ния показателей, и каждый из них возникает с вероятностью
p(y
), обладая полезностью F(yk). Тогда математическое ожи-
k /ai
дание функции полезности выглядит следующим образом:
) = ∑ p(yk / ai) F(yk); i = 1, 2, …, n. (8.1)
K(a
i
183
Очевидно, что, положив вероятность определенного исхода
равной единице, а остальных – равными нулю, мы автоматически переходим к оценке для детерминированных операций.
Для анализа ситуации, когда показатели исходов вероятностной операции представляют собой дискретные величины,
удобно пользоваться табличным представлением (таблица 7).
Таблица 7
Оценивание систем в условиях риска
a
i
a
1
a
2
y
y
y
…
y
y
y
…
y
k
1
2
m
1
2
m
p(yk / ai) F(yk) K(a)
p(y1 / a1)
p(y2 / a1)
…
p(ym / a1)
p(y1 / a2)
p(y2 / a2)
…
p(ym / a2)
F(y1)
F(y2)
…
F(ym)
F(y1)
F(y2)
…
F(ym)
…
……… … …
a
n
y
y
…
y
1
2
m
p(y1 / an)
p(y2 / an)
…
p(ym / an)
F(y1)
F(y2)
…
F(ym)
…
Для исходов с непрерывными значениями показателей математическое ожидание имеет вид интеграла:
) = ∫ p(y / ai) F(y) dy, (8.2)
K(a
i
где p(y/a
) – плотность вероятностей исходов для одной альтер-
i
нативы, а интегрирование ведется по всей допустимой области
пространства исходов.
Теперь можно сформировать критерий оптимальности для
вероятностных операций:
K(a
) = max Ma (F(y) (i = 1, …, m). (8.3)
i
Согласно этому критерию оптимальной считается система,
184
для которой математическое ожидание функции полезности на
множестве исходов принимает максимальное значение.
Итак, последовательность действий по оцениванию эффективности систем в условиях риска следующая: определение исходов операций по каждой системе (альтернативе) → построение функции полезности на множестве исходов → нахождение
распределения вероятностей на множестве исходов → расчет
математического ожидания
функции полезности на множестве
исходов операции для каждой системы.
Совершенно очевидно, что выбор оптимальной системы, т.е.
безусловно рационального решения, не дает никаких гарантий.
Выбор может оказаться неудачным для конкретной реализации
состоявшейся операции. Рациональность решения состоит в
том, что при многократном повторении операции оптимальный
«в среднем» выбор решений обеспечит наибольший
успех. Это
прекрасно подтверждают профессиональные игроки в покер,
которые могут проиграть любителю на «короткой дистанции»,
но всегда выигрывают в продолжительном розыгрыше.
Поскольку в основе рассматриваемого подхода лежит понятийный и математический аппарат теории вероятностей, то
возможны и другие критерии оценивания, а именно:
• максимум вероятностной гарантии достижения результата
не ниже требуемого
уровня;
• минимум дисперсии исходов;
• максимум вероятности случайного события;
• минимум среднего риска.
Подчеркнем, что сведение задачи к вероятностному типу
целесообразно в тех случаях, когда:
• операции носят массовый характер;
• имеется возможность определить реальные показатели ис-
ходов;
• известны законы распределения вероятностей на множе-
стве исходов;
• известны вероятностные характеристики параметров об
становки.
Опыт принятия решений по выбору систем в условиях риска позволил заложить основы методологии оценивания систем
-
185
в условиях, когда закон распределения вероятности в стохастических процессах неизвестен или отсутствует в принципе.
8.2. Выбор в условиях неопределенности
Необходимость принятия решений и выбора в условиях неопределенности относится к извечным проблемам человечества. Превращение априорной энтропии в информацию (процесс познания) составляет, пожалуй, основной смысл его
жизнедеятельности. Окружающий мир постоянно
порождает
случайные события, закон распределения вероятностей которых нам неизвестен. Познавая мир, мы научились выявлять
наличие такого закона (если он объективно существует). Тем
самым удается перевести часть неопределенных процессов в
разряд вероятностных. Отсюда возникает статус эксперта –
опытного наблюдателя, обладающего богатым багажом эмпирических знаний в конкретной предметной области и, кроме
того, незаурядной интуицией.
Тем не менее, остается непрогнозируемым широкий круг
процессов, для которых распределение вероятностей отсутствует. Речь, следовательно, идет о событиях (исходах), равновероятных для ЛПР. Основным источником неопределенности
является окружающая среда, называемая обстановкой. Неопределенность, связанная с системой, как мы знаем, устраняется
посредством исследования «черного ящика». Целенаправленные
системы тем более хорошо известны ЛПР, хотя они и подвержены флуктуациям, порождающим частичную неопределенность.
Ранее нами рассматривалась процедура выбора в условиях,
при которых его последствия для ЛПР были известны. Поэтому
процедура сводилась к сравнению разных следствий, которые
и играли роль альтернатив. Однако на практике весьма часто
приходится принимать решение
в условиях, когда для каждой
альтернативы существует множество возможных исходов, из
которых будет реализован один, но какой именно – в момент
выбора неизвестно.
Поэтому, говоря о неопределенной операции, мы имеем в
186
виду такую ситуацию, когда известно множество возможных
состояний обстановки, а также эффективность имеющегося
множества систем для каждого из них, но неизвестно, с какой
вероятностью может возникнуть любое из этих состояний.
Задачи такого рода принято называть выбором в условиях
неопределенности с дискретным набором альтернатив и исходов. Основной вопрос: «Какую альтернативу выбрать
, не зная
заранее, какой из возможных исходов будет реализован?» В такой постановке для решения задачи оказался подходящим понятийный и математический аппарат теории игр.
Действительно, мы (один игрок) производим выбор на множестве альтернатив. Выбираемые альтернативы – это наши
ходы. Реализованные исходы (нам заранее неизвестные) будем
интерпретировать как ответные ходы
второго игрока, осуществляющего выбор на множестве исходов (своих альтернатив).
Совокупность наших ходов, т.е. решений по выбору альтернатив, будет отражать нашу стратегию игры. Естественно, речь
идет о выборе эффективной стратегии.
Все неопределенные операции естественным образом де-
лятся на два подмножества:
• статистически неопределенные операции;
• игровые операции.
Условия статистически неопределенных
операций диктует
объективная реальность, которую принято называть природой.
Природа считается нейтральной по отношению к ЛПР, случайным образом выбирающей состояние обстановки, т.е. свои
ходы. Статистически неопределенные операции принято также
называть «играми с природой».
В игровых операциях неопределенность создается активным противодействием со стороны других игроков (ЛПР) –
противников (конкурентов). Неопределенных
операций такого
рода существует множество: от шахматной партии до боевых
действий. Классический пример игровых операций – конкуренция в области экономики.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Когда речь идет об отношениях с конкретными конкурентами, то
это – игровые операции. Но если речь заходит об учете состоя-
187
ния общей рыночной конъюнктуры при принятии решения, то
это уже статистически неопределенная операция. Иными словами, мировая экономическая система подпадает под принятое
определение природы.
Следовательно, большинство современных организационно-технических и социально-экономических систем обладают
свойствами, которые не позволяют отнести выполняемые ими
операции к детерминированным или вероятностным. Перечислим основные из
этих их свойств.
1. Наличие в управляющей системе ЛПР, реализующего
функции управления на основе субъективных моделей, а в составе объекта управления – целенаправленных индивидов порождает огромное разнообразие поведения системы в целом.
2. Система, являющаяся объектом управления, часто пресле-
дует цели, не соответствующие целям управляющей системы.
3. В процессе принятия решений существенную
роль игра-
ют эвристические рассуждения ЛПР, не поддающиеся математической формализации.
4. Нередко ЛПР, оценивая ситуацию, руководствуется не ее
реальным состоянием, а принятой априори моделью управления объектом.
5. Как правило, отсутствует статистика поведения системы,
необходимая для выявления законов распределения вероятностей исходов вследствие конкретных решений, принятых ЛПР.
6. В процессе принятия
решений ЛПР использует логиче-
ские и эвристические процедуры, не допускающие формализации методами классической математики.
Выбор решений в условиях статистической неопределенности (играх с природой) целесообразно проводить, руководствуясь методами теории статистических решений. Для принятия
решений в условиях активного противодействия используются
методы теории игр.
В общем случае оценивание эффективности систем
для
неопределенных операций производят, сводя в таблицу 8 следующие показатели:
a
– вектор управляемых параметров, характеризующий
i
свойства системы (i = 1, …, m);
188
nj – вектор неуправляемых параметров, определяющий со-
стояние обстановки ( j = 1, …, k);
k
– эффективность системы ai при состоянии обстановки nj ;
ij
K(a
) – эффективность системы ai .
i
В каждой строке таблица содержит значения эффективности одной системы при всех состояниях обстановки, в каждом
столбце – значения эффективности всех систем для одного состояния обстановки. Такую таблицу принято называть матри-
цей эффективности. Она позволяет держать в поле зрения все
множество возможных ситуаций (сочетаний).
Таблица 8
Оценивание эффективности в условиях неопределенности
n
a
i
a
1
n
1
k
11
n
k
j
2
12
…
…
n
k
k
1k
K(ai )
a
…
a
2
m
k
…
k
21
m1
k
k
…
22
m2
…
…
…
k
…
k
2k
mk
Напомним, что при протекании неопределенной операции
(процесса) может быть известно, какие состояния обстановки
могут возникнуть и какова эффективность имеющихся систем
для каждой из них, но неизвестны вероятности, с которыми
можно ожидать появление того или иного состояния. Поэтому для уменьшения неопределенности при оценивании систем
приходится использовать субъективные предпочтения ЛПР или
экспертов.
8.3. Выбор в условиях статистической неопределенности
При выборе в условиях неопределенности центральным моментом является определение критерия для оценивания вариантов решения. В силу априорной неопределенности исходов
необходимо оценить сразу целую строку матрицы эффективно-
189
сти. Имея такие оценки для всех строк, можно сравнивать их
между собой и осуществлять выбор в соответствии с тем или
иным критерием.
Очевидно, что универсального критерия для оценивания эффективности в неопределенных операциях нет и быть не может.
Все зависит от характера предпочтений ЛПР. В зависимости от
отношения к выбору решения
в условиях неопределенности
(риска) он может проводиться с позиций либо объективиста,
либо субъективиста. В свою очередь, среди субъективистов
могут быть как лица, склонные к риску, или оптимисты, так
и склонные к осторожности, или пессимисты. Здесь уместно
дать определение экономического риска. Мы остановимся на
следующей дефиниции: экономический риск есть обобщенная
объективная характеристика ситуации принятия решений в
условиях неопределенности, отражающая возможность появления и значимость для ЛПР ущерба в результате последствий
выбранного решения.
В целом, в зависимости от характера ЛПР, в неопределенных операциях чаще всего применяются следующие критерии:
• Лапласа;
• среднего выигрыша;
• осторожного игрока (максиминный критерий Вальда);
• оптимистичного игрока (максимаксный
критерий);
• взвешенного оптимизма (критерий Гурвица);
• минимального риска (критерий Сэвиджа).
Рассмотрим перечисленные критерии и сравним результаты
их использования на конкретном примере.
1. Критерий Лапласа. Этот критерий базируется на широко известном предположении: если вероятности ожидаемых состояний обстановки неизвестны, следует считать их равновероятными. Тогда оценка эффективности системы будет:
K(
) = 1/n ∑ kij (i = 1, …, m). (8.4)
a
i
Оптимальной следует признать систему, для которой:
= maxi (1/n ∑ kij) (i = 1, …, m). (8.5)
K
опт
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]