Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Учебно-методическое пособие.pdf
Продолжение таблицы
6 2,5 0,500 0,470 0,480 0,535 0,480 0,460 0,725
7 3,0 0,596 0,565 0,575 0,625 0,575 0,555 0,805
8 3,5 0,680 0,645 0,655 0,700 0,655 0,640 0,863
9 4,0 0,755 0,745 0,720 0,760 0,720 0,710 0,905
10 4,5 0,810 0,775 0,775 0,810 0,775 0,770 0,935
11 0,860 0,820 0,820 0,850 0,820 0,820 0,955
12 5,5 0,895 0,860 0,860 0,885 0,860 0,860 0,970
13 6,0 0,925 0,890 0,885 0,910 0,885 0,895 0,979
14 6,5 0,945 0,915 0,910 0,930 0,910 0,920 0,987
15 7,0 0,965 0,935 0,930 0,945 0,930 0,940 0,992
16 7,5 0,975 0,950 0,945 0,955 0,945 0,955 0,995
17 8,0 0,985 0,960 0,955 0,965 0,955 0,965 0,997
18 8,5 0,990 0,970 0,965 0,975 0,965 0,975 0,998
19 9,0 0,995 0,980 0,975 0,980 0,975 0,985 0,999
20 9,5 0,997 0,985 0,980 0,985 0,980 0,990 1,000
21 10,0 1,000 0,985 0,985 0,990 0,985 0,992
22 10,5 0,990 0,990 0,995 0,990 0,995
23 11,0 0,995 0,992 0,998 1,000 1,000
24 11,5 0,998 0,993 0,999
25 12,0 1,000 0,995 1,000
26 12,5 0,996
27 13,0 0,997
28 13,5 1,000
29 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
30 1,0 0,065 0,143 0,138 0,139 0,165 0,113 0,160
31 2,0 0,175 0,314 0,306 0,300 0,544 0,403 0,343
32 3,0 0,295 0,474 0,465 0,452 0,785 0,640 0,508
33 4,0 0,415 0,608 0,598 0,582 0,906 0,796 0,642
34 5,0 0,525 0,714 0,705 0,687 0,960 0,888 0,745
35 6,0 0,615 0,794 0,786 0,769 0,984 0,940 0,820
36 7,0 0,695 0,854 0,847 0,831 0,993 0,968 0,875
37 8,0 0,760 0,897 0,893 0,878 0,997 0,983 0,914
38 9,0 0,815 0,928 0,924 0,913 0,998 0,991 0,941
39 10,0 0,855 0,950 0,948 0,938 0,999 0,995 0,959
40 11,0 0,890 0,966 0,963 0,956 1,000 0,997 0,972
41 12,0 0,915 0,976 0,975 0,969 0,998 0,981
42 13,0 0,940 0,984 0,983 0,978 0,999 0,987
43 14,0 0,955 0,989 0,989 0,985 1,000 0,991
44 15,0 0,970 0,992 0,993 0,989 0,994
45 16,0 0,985 0,995 0,996 0,993 0,996
46 17,0 0,990 0,997 0,997 0,996 0,997
31
Продолжение таблицы
47 18,0 0,995 0,998 0,998 0,997 0,998
48 19,0 1,000 0,999 0,999 0,998 0,999
49 20,0 1,000 1,000 0,999 1,000
50 21,0 1,000
Содержание отчета
1. Наименование и цель лабораторной работы.
2. Исходные данные x(I) в виде таблицы и графика кривой
разгона.
3. Результаты выполнения на ПЭВМ вычислительной проце-
дуры; показатель адекватности AQ; ординаты переходной функции y(I), рассчитанные по математической модели, в виде таблицы
и графика в той же системе координат, что и кривая разгона x(I).
Контрольные вопросы
1. Что понимается под идентификацией?
2. Какой вид имеет дифференциальное уравнение объекта вто-
рого порядка?
3. Какой критерий оптимальности используется при оценке
коэффициентов уравнения второго порядка?
4. Какой физический смысл имеет показатель адекватности
математической модели объекта?
5. Что понимается под адекватностью модели объекта?
6. Как производится получение кривой разгона эксперимен-
тальным методом (активный экспери
7. Как осуществляется приведение кривой разгона к нормиро-
ванной?
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРА
ПО КРИТЕРИЮ РАВНОЙ СТЕПЕНИ ЗАТУХАНИЯ
И ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ЛИНЕЙНОЙ АСР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Цели работы:
1) овладение частотным методом и процедурой выделения облас-
ти устойчивости в пространстве параметров настройки регуляторов;
2) овладение ме
тодом и процедурой определения оптималь-
ных параметров настройки изодромного регулятора, обеспечи-
мент)?
32
вающих заданную степень затухания и минимизирующих первую
интегральную оценку качества процесса регулирования на ПЭВМ;
3) исследование метода построения процесса регулирования,
основанного на связи переходной функции с вещественной частотной характеристикой линейной автоматической системы с запаздыванием по каналу регулирующего воздействия.
Теоретическая часть
Передаточная функция замкнутой одноконтурной системы (рис. 10)
по отношению к возмущающему воздействию f(t) имеет вид:
где W
мущению f(t); W
(p) – передаточная функция объекта по отношению к воз-
f
(p) – передаточная функция объекта по отноше-
0
нию к управляющему воздействию; W
регулятора.
(p) – передаточная функция
p
(49)
Рис. 10. Структурная схема АСР
Передаточная функция
− изодромного регулятора (ПИ-регулятора) имеет вид:
непрерывного ПИД-регулятора имеет вид:
где С
, С1, С2 – настроечные параметры регулятора.
0
,
33
(50)
(51)
А
Для устойчивости системы знак передаточной функции регулятора выбирается противоположным знаку передаточной функции
объекта по отношению к управлению W
ложительна и, наоборот, при отрицательной обратной связи знаки
передаточных функций W
(p) и Wp(p) должны быть одинаковы.
0
Подставим в (50) передаточную функцию ПИ-регулятора (51).
Получим:
() .
Wp
c
1()
Wp
Тогда изображение по Лапласу переходной функции системы
будет равно:
Х pWp
1
() ()
f
ррWp Ср С
Форма переходной функции зависит от корней характеристического уравнения системы
()( ) 0
р Wp Ср С
, (54)
o
которые в свою очередь зависят от выбора параметров настройки изодромного регулятора С
быть в определенном смысле оптимальны.
Имеется много подходов к выбору оптимальных параметров
настройки регулятора. Один из самых популярных состоит в выборе параметров по заданной степени затухания
13
, (55)
где А
– первая амплитуда; А3 – третья амплитуда процесса регу-
1
лирования.
Степень затухания и показатель колебательности m связаны
соотношением
где 2m – логарифмический декремент затухания.
При исследовании систем на устойчивость часто представляет
интерес не только факт существования устойчивости или неустойчивости, но и определение пределов изменения значений одного
или нескольких параметров в области, внутри которой система
сохраняет устойчивость.
(p), если обратная связь по-
0
()
Wp
f
Ср С
10
o
Wp
()( )
o
10
и С0. Эти параметры должны
1
(52)
р
()
f
10
. (53)
А
А
1
21m
, (56)
34
Методика построения областей была разработана Ю. И. Неймарком и называется методом D-разбиения плоскости параметров.
Метод D-разбиения заключается в разделении пространства
параметров на области с равным числом l правых корней
(l=0,1,2,…). Границей области будут такие значения неизвестных
параметров, при которых хотя бы пара комплексно-сопряженных
корней лежит на мнимой оси.
Неизвестные параметры системы у
щие границе устойчивости, определяются из характеристического
уравнения замкнутой системы управления при р = j.
Для одноконтурной системы управления с передаточной
функцией разомкнутой системы
W(p) = W
(p)Wp(p) = ke
0
-p
(C1p+C0)/((а2р2+а1р+1)p) (57)
характеристическое уравнение имеет вид:
D(p) = a
p3+a1p2+p+C1ke
2
Подставив р = j и, разделяя полученное уравнение на вещественную и мнимую части, получим (учитывая e
23
aCK j ja
10 2
jjCK j
CK CK a
101
CK CK a
102
(cos sin )
(cos sin ) 0,
1
sin cos 0;
cos sin 0.
Решение полученной системы уравнения приводит к следующему выражению:
1
Ca a
Ca a
(sin cos cos),
11 2
02 1
K
1
32
(sin cos sin).
K
2
Значения С0, С1 при изменении частоты от 0 до дадут границу области устойчивости. Для выделения области устойчивости
нужно нанести штриховку слева от границы области устойчивости, если определитель системы положителен, и справа, если определитель отрицателен.
правления, соответствую-
-p
p+C0ke
-p
= 0. (58)
-jx
= cosx – jsinx):
(59)
2
3
(60)
(61)
35
Для полученной системы (11) определитель равен:
sin cos
kk
cos sin
kk
Для определения неизвестных параметров системы регулирования, обеспечивающих требуемую степень затухания переходного
процесса, в характеристическое уравнение (58) делается подстановка
р = j-m, что обеспечивает требуемое отношение мнимой и вещест-
венной составляющих корней характеристического уравнения. В результате преобразования получим систему уравнений:
mmm
sin cos cos 0,
С keС km e С keA
11 01
cos sin sin 0,
С keС km e С keA
11 02
где А
=3а2m3-a2m33- a12+a1m22-m=a2m3(3-m2)+a12(m2-1)-m,
1
=-a23+3a2m23-2a1m2+=a23(3m2-1)-2a1m2+.
A
2
mmm
Решение системы уравнений (63) имеет вид:
1
m
С eA A
112
CeAmA AmA
01221
k
1
m
k
sin cos ;
sin cos .
При изменении частоты от 0 до получим линию равной степени затухания в плоскости параметров С
, С1, вдоль которой сте-
0
пень затухания переходного процесса одинакова (рис. 11), но различны значения динамической ошибки.
2
(62)
.
k
(63)
(64)
Рис. 11. Разбиение области устойчивости в плоскости параметров
настройки ПИ-регулятора:
1 – граница области устойчивости (m = 0); 2 – кривая равной степени
затухания (m = 0,221); 3 – кривая равной степени затухания (m = 0,366)
36
I
р
Поэтому для выбора оптимальной точки на этой линии необходимо дополнительно привлечь к рассмотрению какой-либо другой критерий оптимальности, например, первую интегральную
оценку качества процесса регулирования (рис. 12).
Рис. 12. Первая интегральная оценка
Первая интегральная оценка имеет следующий вид:
() .
xtdt
1
0
Чем меньше ее значение при заданной степени затухания
(65)
(m), тем выше качество процесса регулирования. Первая интегральная оценка легко определяется по изображению переходной
функции.
Действительно,
pt
() ( )
IxtdtXp
lim lim
1
00
pp
lim
p
0
0
() (0)
Wp W
ff
Wp Ср С W С
()( ) (0)
oo
10 0
.
(66)
Из (66) следует, что, при прочих равных условиях, первая интегральная оценка принимает минимальное значение на линии
равного затухания, когда параметр С
достигает максимума.
0
Оптимальным параметрам будет соответствовать точка правее
вершины (рис. 11, точка А).
Как видно из рис. 11, в интересующем нас интервале 0
параметр С
для нахождения максимума С
(m, ) – выпуклая, унимодальная функция . В силу этого
0
(m, ) целесообразно использовать ме-
0
1
37
тод последовательного поиска экстремума с адаптацией длины шага
. Блок-схема алгоритма такого поиска представлена на рис. 13.
Рис. 13. Блок-схема алгоритма
При определении значений параметров настройки в случае
применения ПИД-регулятора необходимо в (49) подставить передаточную функцию регулятора (51). В этом случае получим:
()
Wp
c
1()
Wp
o
f
2
Cp Cp C
210
p
(67)
()
Wp
или
()
Wp
() .
Wp
c
1
ke C p C p C
2
ap ap
21
f
p
2
210
1
p
(68)
Характеристическое уравнение примет вид:
-p
ke
(C2p2+C1p+C0)+p(a2p2+a1p+1) = 0. (69)
38
Подставив в уравнение (69) р = j и разделив полученное
уравнение на вещественную и мнимую части, получим (учитывая
-jx
= cosx – jsinx):
e
2cos+kC0cos+kС1sin-a12 = 0, (70)
-kC
2
kC
cos+kC22sin-kC0sin-a23+ = 0. (71)
1
Решение уравнений (70) и (71) относительно С
=j имеет вид:
1
11 2
() sin sin cos .Ca a kС
02 1 2
1
k
sin cos cos ,С aa
k
322
2
Параметры системы управления, обеспечивающие требуемую
степень затухания переходного процесса, определяются из выражений:
1
m
k
()sin
Am A
12
m
()cos
Am A
21
где А
() sin cos 2 ,
CeAA С m
1122
() ( 1),
Ce С m
02
= a2mω3(3-m2) + a1ω2(m2-1) – mω; A2 = a2ω3(3m2-1) – 2a1mω2 +
1
1
k
ω.
В автоматических системах регулирования с запаздыванием по
каналу регулирования переходный процесс определяется выражением:
2sin
() Re( ) ,
ht d
0
t
(76)
где Re() – вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замкнутой автоматической системы; h(t) – переходная функция.
Как правило, интегрирование в правой части (76) встречает непреодолимые математические трудности. Поэтому практически всегда в указанном случае ординаты переходной функции находятся путем интегрирования выражения (76) численными методами.
Вещественная частотная характеристика системы Re() –
убывающая функция аргумента .
График вещ
ественной частотной характеристики автоматической системы регулирования с передаточной функцией (50) имеет
вид, представленный на рис. 14.
или С0 при р
1
(72)
(74)
22
(75)
(73)
39
Рис. 14. График вещественной частотной характеристики
Численное интегрирование в бесконечном интервале, как это
предписывает выражение (76), невозможно. Поэтому верхний
предел интегрирования ограничивают частотой среза, в качестве
которой принимается частота, начиная с которой модуль
вещественной частотной характеристики становится и остается
меньше наперед выбранного значения малой величины. В качестве
последней может быть принято 5 % максимальной ординаты ВЧХ.
Таким образом, вначале необходимо найт
и по графику
максимальное значение ординаты ВЧХ, т.е. maxRe(), а затем
определить значение Re(
) = 0,05·maxRe().
ср
Далее строим график переходного процесса системы по
формуле:
ср
где
2sin
() Re( ) ,
ht d
– частота среза, определенная по графику вещественной
ср
0
t
(77)
частотной характеристики автоматической системы регулирования
При практическом испо
льзовании АСР к ним предъявляются
не только требования устойчивости. Наряду с этим важны другие
динамические свойства, которые в общей совокупности характеризуют качество процесса регулирования. К таким динамическим
свойствам относятся:
а) поведение системы в начальный момент сразу после прило-
жения возмущения;
б) характер поведения регулируемой величины в переходном
режиме;
в) поведение системы пр
и приближении к новому установив-
шемуся состоянию;
40