Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Учебно-методическое пособие.pdf
где
qK
0
1
P
T
Д
T
0
qK
,
P
1
T
12
T
Д
0
TT
И
0
qK
,
2
В том случае, когда для выполнения операции интегрирования
в уравнении (186) используется метод трапеций, вместо разностного уравнения (187) получается следующее уравнение:
(0) ( )
Tx xk
0
() ()
xk xi
()
xk K
PP
T
T
И
Д
[() ( 1)]
xk xk
T
0
2
K
1
i
1
Переходя к рекуррентной форме аналогичным образом, как
это было описано выше, получаем уравнение, описывающее динамику дискретного ПИД-регулятора:
() ( 1) () ( 1) ( 2)
xk xk qxk qxk qxk
PP
где
qK
0
1
P
01 2
T
T
Д
0
TT
2
И
0
qK
2
qK
,
T
P
1
Д
T
0
12
P
. (192)
Полученное линейное разностное уравнение (191) по виду
совпадает с разностным уравнением (188), но значения его пара-
метров
для определения q
q
и
q
0
вычисляются по формулам, отличным от формул
1
и q1.
0
Проанализировав выражения (185–192), можно сделать следующие выводы:
1) для малых тактов квантования (
кретного ПИД-регулятора q
, q1 и q2 можно вычислить, используя из-
0
вестные значения параметров К
, ТИ и ТД непрерывного ПИД-
p
0,01ТТ
095
регулятора;
2) значения q
(i = 0, 1, 2) зависят от шага дискретизации T0 и
i
используемых численных методов интегрирования и дифференцирования;
3) размерность величин q
стью коэффициента передачи К
(i = 0, 1, 2) совпадает с размерно-
i
непрерывного регулятора.
Р
Пример. Требуется рассчитать параметры дискретного ПИрегулятора для такта квантования T
ры непрерывного ПИ-регулятора: К
= 1 с, если известны парамет-
0
= 6, ТИ = 70 с.
p
T
Д
P
T
. (189)
0
. (190)
, (191)
T
T
Д
0
TT
0
,
2
И
) параметры дис-
111
x
Решение
1.
Выбираем численный метод интегрирования:
а) метод прямоугольников;
б) метод трапеций.
2, а. По формулам (189) рассчитываем параметры регулятора:
q
6,
0
12
б. По формулам (192) рассчитываем параметры регулятора:
q
6(1 ) 6, 0429,
0
6(1 ) 5,9571, 0.
qq
12
Записываем разностное уравнение, описывающее дискрет-
3.
ный ПИ-регулятор:
а) () ( 1) 6 () 5,9143 ( 1),
xk xk xk xk
PP
б)
( ) ( 1) 6,0429 ( ) 5, 9571 ( 1).
xk xk xk xk
PP
Параметры дискретного регулятора q
70
1
270
1
270
, q1 и q2 имеют простой
0
1
6 1 5,9143, 0.
qq
физический смысл. Для этого следует рассмотреть вид переходного процесса на выходе регулятора при подаче на его вход типового
воздействия. Рассмотрим сначала дискретный ПИ-регулятор. Ему
соответствует разностное уравнение первого порядка:
() ( 1) () ( 1)
xk xk qxk qxk
PP
. (193)
01
Пусть сигнал ошибки Δx(k) представляет собой дискретную
ступенчатую функцию (рис. 43 а):
10,
при k
() 1()
xk k
00.
при k
Тогда переходной процесс ПИ-регулятора на такое воздействие можно описать следующей системой уравнений:
(0) , (1) (0) 2 ,
qx x qqqqq qq
PPP
x x qq qqqq q q
PP
...........................................................................................
xk xk q q k q
PP
0 01 001 01
(2) (1) 2 3 2 ,
() ( 1) ( 1)
01 0101 0 1
01 0
(194)
(195)
.kq
1
112
Рис. 42. Типовые сигналы на входе и выходе дискретных регуляторов:
a – входной сигнал; б – выходной сигнал ПИ-регулятора;
в – выходной сигнал дискретного ПИД-регулятора
Реакция дискретного ПИ-регулятора на дискретное ступенчатое
воздействие будет аналогична реакции непрерывного ПИ-регулятора
на единичное ступенчатое воздействие, если x
Поэтому, если параметр регулятора q
> 0, получаем следующее соот-
0
ношение, которому должны удовлетворять параметры q
< 2q0 + q1 или q0 + q1 > 0. (196)
q
0
(0) < xp(1) < xp(2) <… .
p
и q1:
0
На рис. 42 б показан переходной процесс для дискретного ПИрегулятора на входное дискретное ступенчатое воздействие. Вве-
113
x
дем следующие коэффициенты, характеризующие свойства дискретного ПИ-регулятора:
= q0 – коэффициент передачи;
K
p
-1
= K
C
И
С учетом выражения (197) разностное уравнение ПИ-регулятора можно записать в виде:
Для ПИД-регулятора (188) реакцию на дискретную ступенчатую
функцию (194) можно описать следующей системой уравнений:
(0) , (1) (0) 2 ,
x qx x qq qq
PPP
(2) (1) 3 2 ,
xxqqqqqq
PP
.....................................................................................
() (1) (1) (1).
kxk qqq k qkqk q
PP
По аналогии с реакцией непрерывного ПИД-регулятора должны выполняться неравенства:
Если q
> 0, то неравенства (198) выполняются при следующих
0
соотношениях между параметрами
qqqили qq
001 01
32 2 0.
qqq qq или qqq
012 01 012
Переходный процесс для дискретного ПИД-регулятора на входное дискретное ступенчатое воздействие показан на рис. 42 в. Исходя
из вида переходного процесса, можно ввести следующие коэффициенты, характеризующие свойства дискретного регулятора:
-1
= K
С
Д
[q0 – (q0 – q2)] = K
p
= K
С
И
Для положительного коэффициента передачи регулятора K
выражения (200) получаем дополнительное соотношение для параметров q
и q2:
0
С учетом выражения (200) разностное уравнение ПИДрегулятора можно представить в виде:
(q0 + q1) – коэффициент интегрирования.
p
() (1) ()( 1)(1).
xk xk K xk C xk
PP P И
00101
x
20
K
p
-1
(q0 + q1 + q2) – коэффициент интегрирования. (200)
p
xk xk K C xk
PP PД
(197)
012 0 12
012 0 1 2
(0) > xp(1), xp(k) > xp(k-1) для k ≥ 2. (199)
p
q , 1q и 2q :
0
(199)
= q0 – q1 – коэффициент передачи,
() ( 1) [(1 ) ()
(21)(1) (2)].
СС xk C xk
-1
q2 – коэффициент дифференцирования,
p
0.qq или qq
(201)
02 0 2
ИД Д
(202)
(198)
из
p
114
Полученные выражения (199), (201) полезны в практической
работе, поскольку устанавливают допустимые области изменения
параметров q
Следует отметить, что для всех рассмотренных выше типов
дискретных регуляторов начальное значение управляющей переменной x
деляется только значением параметра q
на величину отклонения управляющей переменной всегда наложено определенное ограничение. Соответствие между начальным
значением управляющей переменной и параметром q
использовано для проектирования регулятора с учетом допустимого диапазона изменения управляющей переменной.
Работа выполняется на ПЭВМ каждым студентом самостоятельно.
1. Используя данные лабораторной работы 12, определить па-
раметры настройки непрерывного ПИ- и ПИД-регулятора К
и такт квантования Т0.
Т
Д
2. Выбрать численный метод интегрирования:
а) метод прямоугольников;
б) метод трапеций
и рассчитать параметры регулятора по формулам (189) и (192)
соответственно.
3. Записать разностное уравнение, описывающее дискретный
регулятор.
4. Построить реакцию регулятора на дискретную ступенчатую
функцию, используя выражения (195) и (199) соответственно.
5. Определить области изменения параметров q
кретного регулятора.
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:
исходные данные;
1)
2)
результаты расчета параметров настройки непрерывного
регулятора К
3)
расчет параметров регулятора по формулам (189) и (192)
соответственно:
а) методом прямоугольников;
б) методом трапеций;
и q2 по известному значению параметра q0.
1
(0) при ступенчатом изменении входного сигнала опре-
p
. В реальных регуляторах
0
может быть
0
Задание и порядок выполнения работы
, ТИ,
p
, q1, q2 дис-
0
Содержание отчета
, ТИ, ТД и такта квантования Т0;
p
115
определение разностного уравнения, описывающего дис-
4)
кретный регулятор;
5)
график х
6)
определение области изменения параметров q
кретного регулятора.
1. В чем суть метода прямоугольников и метода трапеций?
2.
Как рассчитать параметры дискретного ПИ-регулятора, ес-
ли известны параметры непрерывного ПИ-регулятора?
3.
Как рассчитать параметры дискретного ПИД-регулятора,
если известны параметры непрерывного ПИД-регулятора?
4.
В чем преимущество рекуррентных алгоритмов управления
по отношению к нерекуррентным («позиционным») алгоритмам?
5.
В чем заключается физический смысл параметров дискрет-
ного регулятора q
6.
Какой вид имеет переходный процесс на выходе регулятора
при подаче на его вход типового воздействия?
7.
Запишите рекуррентное выражение, описывающее дискрет-
ный ПИД-регулятор, и получите с помощью него соответствующую дискретную передаточную функцию регулятора.
15. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ
Цель работы: исследование особенностей динамики линей-
ных импульсных САУ, связанных с наличием в них квантования
сигналов по времени; изучение условия устойчивости линейных
импульсных САУ.
Исследование устойчивости линейных импульсных САУ осуществляется с помощью известных критериев устойчивости линейных систем – критериев Рауса, Гурвица, Найквиста, Михайлова, модифицированных с учетом особенностей описания импульсных систем.
Как и у непрерывных систем, в импульсной системе переход-
ная составляющая процесса управления определяется знаменателем передаточной функции замкнутой системы по каналу управления Ф
х
у
(р):
(k);
р
Контрольные вопросы
, q1 и q2?
0
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Теоретическая часть
116
, q1, q2 дис-
0
*
()
*
() ,
Фр
y
где W ×(p) – передаточная функция разомкнутой импульсной системы.
Следовательно, для того чтобы импульсная автоматическая
система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни
ее характеристического уравнения
1+W
лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости р.
В плоскости комплексной переменной z для обеспечения устойчивости импульсной системы корни характеристического
уравнения замкнутой системы
должны быть расположены внутри круга единичного радиуса, так
рТ
как е
= z, и, следовательно, мнимая ось плоскости р отображает-
ся на плоскости z в виде единичной окружности (рис. 43).
Wp
1()
W р
×(p) =0 (204)
(203)
*
1+W(z) = 0 (205)
Рис. 43
Иначе условие устойчивости импульсной системы можно запи-
сать так:
1,
Z
где Z
– корни характеристического уравнения (205).
k
(206)
k
Чтобы применить критерий устойчивости Рауса-Гурвица к
импульсной системе, произведем замену переменной, введя новую
переменную w подстановкой:
1
w
Z
.
(207)
1
w
Области устойчивости в виде круга единичного радиуса
в плоскости z (или полосы шириной +
117
π левее мнимой оси в плос-
кости р) соответствует вся левая полуплоскость комплексной
плоскости новой переменной w. Границей устойчивости при этом
является вся мнимая ось. Таким образом, в результате такой подстановки получается уравнение (дискретная передаточная функция), условия устойчивости для которого совпадают с условиями
устойчивости непрерывных систем. Поэтому к нему непосредственно могут быть применены все известные дл
тем критерии устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой импульсной системы
х
(p) может быть представлена так:
W
*
() ( )
Wp Wp jk
0
2
k
Из (208) следует, что АФЧХ импульсной системы
*
() ( )
Wj Wj jk
0
2
k
периодическая функция с периодом, равным частоте квантования
2
. В силу этого АФЧХ разомкнутой импульсной системы
0
T
пол- ностью определяется в диапазоне частот
я непрерывных сис-
. (208)
0
(209)
0
TT
или,
ввиду симметрии, даже в диапазоне
0
.
T
Следовательно, аналогично непрерывным системам, для исследования устойчивости импульсных систем может быть сфор-
мулирован критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая
импульсная система устойчива, то для устойчивости замкнутой
системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора
АФЧХ W
х
(jω) при изменении ω от 0 до π/Т не охватывал критиче-
скую точку с координатами (-1, j0).
Для иллюстрации на рис. 44 приведены АФЧХ импульсной
системы: кривая 1 соответствует устойчивой системе, кривая 2 –
неустойчивой, а кривая 3 – системе, находящейся на границе устойчивости. Разница по сравнению с САУ непрерывного действия
заключается лишь в особенностях самих амплитудно-фазовых характеристик импу
льсных систем, которые, как показано выше,
строятся в диапазоне относительных частот ω от 0 до π. Поэтому
118
данные характеристики не стягиваются в начало координат, а кончаются на действительной оси, как изображено на рис. 44.
Рис. 44. Критерий устойчивости Найквиста для импульсной системы
Критерий устойчивости Михайлова для импульсных систем требует, чтобы годограф D
х
W
(ejω), начинаясь на положительной действительной полуоси ком-
3
х(ejω
), представляющий собой знаменатель
плексной плоскости р, охватывал начало координат, последовательно
проходя 2n квадрантов, где n – порядок системы (рис. 45).
Рис. 45. Критерий устойчивости Михайлова для импульсной системы
В данной работе исследуются импульсные системы, построенные по структурной схеме (рис. 46).
Линейную импульсную систему можно представить в виде соединения импульсного элемента (ИЭ) и непрерывной части (НЧ).
Идеальным импульсным элементом (ИИЭ) называется такой,
выходная величина которого х
х
(t) представляет собой последова-
119
тельность δ-функций, «площади» которых равны дискретным значениям входной величины x(t). Очевидно, что любой импульсный
элемент с произвольной формой импульса s(t) всегда может быть
представлен в виде последовательного соединения ИИЭ и некоторого непрерывного формирующего элемента (НФЭ), реакция которого на импульсные воздействия в форме δ-функций равна s(t).
Заметим, что НФЭ можно отнести к НЧ сист
формирует прямоугольные импульсы длительности Т.
емы. Реальный ИЭ
Рис. 46. Структурная схема импульсной системы
Импульсную автоматическую систему после замены ИЭ соединением ИИЭ и НФЭ можно представить в виде схемы (рис. 46),
на которой передаточная функция приведенной непрерывной части (ПНЧ) системы, состоящей из НФЭ и НЧ, равна
W(p) = W
(р)·Wн(р).
ф
Передаточная функция НФЭ при τ = Т равна
Wp e
. (210)
ф
p
1
() (1 )
pT
Задание и порядок выполнения работы
Работа выполняется на ПЭВМ с помощью программы
IMPULS каждым студентом самостоятельно.
В программе предусмотрены следующие методы исследования:
− построение фрагмента корневого годографа характеристи-
ческого уравнения АСР;
− построение АФХ (кривой Найквиста) для исследования ус-
тойчивости по критерию Найквиста;
− вычисление числа неустойчивых корней характеристическо-
го уравнения (т.е. расположенных вне единичного круга) по критерию Рауса. Число неустойчивых корней определяется в зависимости от одного или двух параметров системы;
− построение процесса регулирования, т. е. графиков функций
y(t), e(t), u(t) или v(t), в зависимости от задающего и возмущающе-
го воздействий f(t), g(t).
120