Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы динамики кольца при его обработке по мобильной технологии. Монография
.pdf
1
А. И. ПОЛУНИН
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ДИНАМИКИ КРУПНОГАБАРИТНОГО КОЛЬЦА ПРИ ЕГО ОБРАБОТКЕ ПО
МОБИЛЬНОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Монография
Белгород
2015
2
УДК 621.01+519.7
ББК 34.41+22.213в6
П53
Рецензенты:
действительный член РАЕН, доктор технических наук,
профессор кафедры инженерной геологии и горного дела Белгородского
государственного университета ..
доктор физико-математических наук, доцент кафедры
информатики и информационных технологий Белгородского государственного
аграрного университета им. В.Я.Горина ..
доктор технических наук, профессор кафедры технологии
машиностроения БГТУ им.В.Г.Шухова, ..
Полунин, А.И.
П53 Теоретические основы динамики кольца
при его обработке по мобильной технологии: монография /
А.И. Полунин. Белгород: Изд-во БГТУ, 2015. – с.
ISBN 978-5-361-00075-3
В монографии представлены результаты исследований автора по динамике
вращающегося на опорах крупногабаритного кольца при его обработке по мобильной
технологии . На основе доказанной теоремы о характере прецессионного движения стоячих
волн, возникающих в кольце, получены уравнения динамики кольца при действии на нее сил
резания, внутреннего трения, гравитации. Рассматривается кольцо с постоянными по
периметру геометрическими и физическими характеристиками.
Издание рекомендуется для организаций, занимающихся обработкой
крупногабаритных оболочек и колец по мобильной технологии, преподавателям вузов,
аспирантам, студентам.
Монография публикуется в авторской редакции.
ББК 34.41+22.213в6
УДК 621.01+519.7
ISBN 978-361-00075-3 © Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В.Г. Шухова, 2015
3
Светлой памяти
Грабина Василия Гавриловича – Человека,
Ученого, Конструктора, Наставника
посвящается
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в машиностроении для строительной отрасли,
химической, турбиностроения одним из прогрессивных способов обработки
крупногабаритных (диаметром до нескольких метров) оболочек, колец, с целью
придания им требуемой геометрической формы, является использование
мобильной (в некоторых работах ее называют безрамной) технологии. В этом
случае обрабатываемую заготовку ставят в вертикальной плоскости на два
опорных ролика, имеющих привод для их вращения. Возле обрабатываемой
заготовки устанавливают специальный станочный модуль и, вращая ее на
опорных роликах, осуществляют необходимую обработку.
В процессе такой технологической операции вследствие больших
размеров заготовки, конечности ее характеристик жесткости, наличия
возмущающих факторов – силы резания, неоднородность геометрических и
физических характеристик заготовки возникают ее колебания, что влияет на
качество обработки.
Вопросам исследования поведения неподвижных колец и оболочек под
действием статических и динамических нагрузок посвящено очень большое
количество научной литературы. Исследование динамики вращающихся колец и
оболочек является более трудной задачей по сравнению с не вращающимися
вследствие появления у первых нового эффекта – прецессионного движения по
их периметру стоячих волн, возникающих из-за действия возмущающих
факторов. Эффект прецессии стоячих волн во вращающемся кольце обусловлен
действием кориолисовых сил и впервые рассмотрен Брайаном.
Основополагающие работы, в которых исследовано это явление в свободных
вращающихся кольце, оболочке, связаны с разработкой теоретических основ и
проектированием волнового твердотельного гироскопа. Они опубликованы в
трудах В.Ф. Журавлева, Д.М. Климова, М.А. Басараба, В.Ф. Кравченко, В.А.
Матвеева, В.Г. Вильке и др.
Отличительной особенностью проблемы, рассматриваемой в данной
монографии, от рассмотренной указанными авторами, является наличие опор,
на которых вращается обрабатываемое тело. Если во вращающихся кольце,
оболочке без опор прецессионное движение стоячей волны может происходить
в диапазоне углов от нуля до бесконечности, то при наличии опор этот диапазон
ограничен углом между опорами. Это обстоятельство делает неприемлемым
применение результатов указанных авторов о характере прецессионного
движения стоячей волны к рассматриваемой в монографии задаче и требует
специальных исследований.
Другим обстоятельством, ведущим к усложнению задачи, и которое не
рассматривалось в известных автору работах, является появление условий на
4
перемещения вращающихся кольца, оболочки с опорами в точках опор. Это
равные нулю радиальные, тангенциальные и продольные – вдоль оси оболочки
перемещения ее точек, находящихся на опорах в процессе вращения.
В данной монографии приведены результаты исследований автора по
динамике упругого вращающегося на опорах кольца с постоянными по
периметру характеристиками, подверженного действию сил резания,
исследованию точности его обработки при использовании мобильной
технологии.
Описание динамики кольца относится к задачам, решаемым методами
математической физики, с использованием уравнений в частных производных.
Такой подход использовался в работах В.Ф. Журавлева, Д.М. Климова для
свободно вращающегося кольца, оболочки при разработке теоретических основ
волнового твердотельного гироскопа. Применение этого подхода для этих тел,
но вращающихся на опорах, весьма проблематично вследствие необходимости
учитывать наличие опор и действие внешних сосредоточенных и
распределенных сил. Поэтому в работе решение поставленной задачи
осуществляется путем перехода от системы уравнений в частных производных,
описывающих поведение кольца, к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений путем введения обобщенных координат, являющихся
коэффициентами ряда Фурье. Такой подход позволяет легко учесть влияние
опор на динамику кольца при его обработке, действие внешних сил, сил
внутреннего трения, гравитационных.
В работе выводятся общие зависимости для кинетической и потенциальной
энергии оболочки, получены зависимости для учета влияния внутреннего
трения на динамику оболочки, действия сосредоточенных внешних сил, в
частности сил резания, и гравитационных сил, доказываются теоремы о
характере прецессионного движения стоячих волн во вращающейся оболочке с
опорами. На основании результатов этих доказательств получены
дифференциальные уравнения для определения собственных частот колебаний
вращающегося на опорах кольца, динамики ее поведения при действии внешних
сил, для учета влияния сил внутреннего трения, зависимости для определения
формы вращающегося на опорах кольца при действии сил гравитации.
Использование их позволяет получить количественные характеристики
поведения кольца при обработке его по мобильной технологии при разных
значениях ее параметров, что позволяет выбрать режимы обработки,
обеспечивающие наилучшую точность получаемой формы кольца.
Приведены результаты вычислительного и физического экспериментов.
5
O1
2
αααα
n2
X1
θθθθ
R
θθθθ
r
u
v
1. Динамика вращающегося на опорах кольца
при действии сил резания
1.1. Основные допущения
Получим зависимости, описывающие поведение кольца постоянного
радиуса , вращающегося с постоянной скоростью на двух опорных роликах, на
которое действуют внешние силы и силы внутреннего трения. При выводе
уравнений примем следующие допущения. Опорные ролики имеют форму
цилиндра постоянного радиуса. Оси роликов параллельны, положение их в
процессе вращения не меняются. Оси вращения кольца в возмущенном и невозмущенном движении совпадают.
Будем рассматривать поведение кольца, используя гипотезу плоских се-
чений.
1.2. Системы координат
Для описания поведения кольца зададим систему координат
(рис.1.1). Ось является осью вращения кольца, ось
вертикали, ось
им ортогональна. Для задания положения точек средней
направлена по
линии вращающегося кольца используем полярную систему координат , ,
где — угол, задающий положение точки на средней линии кольца
относительно оси О1Х
, связанной с вращающимся кольцом, — радиус
С
кольца. Начало системы координат находится в центре кольца. Ширина кольца
, толщина . Используя эту систему координат, перемещение какой–либо
точки кольца в процессе деформации зададим проекциями ее перемещения на
оси
углом . Ось направлена по вектору ось
ортогональна
. Начало их находится на средней линии кольца в точке, заданной
касательная к средней линии и
.Угол между опорами 2α
Обозначим проекции перемещения точки средней линии кольца, при его
деформации, на вектора соответственно
Рис. 1.1. Системы координат
6
1.3. Кольцо с растяжимой средней линией.
Основные положения, используемые при получении уравнений
Одной из особенностей задачи моделирования динамики вращающегося на
двух опорах кольца является учет возникающего при этом прецессионного
движения, возбужденных действием возмущений, стоячих волн, обусловленных появлением Кориолисовых сил. Анализ этого явления дан в работах [2,
3], где показано, что в случае свободного вращающегося кольца угловая
скорость прецессии зависит от номера возбуждённой гармоники и угловой
скорости вращения кольца. Наличие опор усложняет динамическую картину за
счет ограничений области прецессионного движения стоячих волн и
накладывания жестких ограничений на перемещение точек кольца в местах ее
контакта с опорами.
Проанализируем возможные пути получения решения этой задачи. При
решении задач, связанных со свободно вращающимся кольцом, авторы [2]
получили уравнения в частных производных, из которых путем анализа
возможности существования периодического решения нашли характеристики
прецессионного движения стоячих волн для случаев растяжимой и
нерастяжимой средней линии. Полученные при этом решения были
справедливы для небольших значений угловых скоростей вращающегося
кольца. Такой путь, удобный и быстрый в случае свободно вращающегося
кольца, является весьма проблематичным при наличии ограничений на
перемещение точек кольца вследствие опор. При решении этой задачи более
перспективным видится подход, при котором в формулах для получения
уравнений сразу учитывается наличие прецессионного движения стоячих волн.
Это позволяет получить зависимости, связывающие переменные,
характеризующие прецессионное движение, с фазовыми переменными,
описывающими поведения кольца, оболочки. После нахождения закона,
которому подчиняется прецессионное движение стоячих волн тела при наличии
опор, получаем уравнение его поведения. Для учета в уравнениях условий
связи, накладываемых на перемещение вследствие наличия опор, целесообразно, при получении уравнений, исходную систему с распределенными
параметрами представить в виде системы с сосредоточенными, использовав
разложение координат перемещений тела в ряд Фурье. Получить уравнения
динамики наиболее целесообразно используя уравнение Лагранжа второго
рода с неопределенными множителями. Такой путь, хоть и громоздкий с точки
зрения математических выкладок, позволяет легко учесть в уравнениях наличие
связей и не накладывает существенных ограничений на область параметров,
при которых решение обладает достаточной точностью.
Величины перемещений точек средней линии кольца, с учетом его растяжимости, зададим в виде рядов Фурье
!
!
"
#$%
"
&&
7
!
!
Здесь #'#
определить, задают амплитуду колебаний;
''
"
– неизвестные функции времени t, которые надо
'
#'$%'
"
— неизвестные функции
'
&(
времени, задающие прецессию стоячих волн, подлежащие определению; ) –
число учитываемых слагаемых ряда Фурье.
Рассмотрим динамическую задачу, возникающую при обработке колец по
мобильной технологии. Схема базирования кольца и станочного модуля
представлена на рис.1.1. В процессе обработки на кольцо и станок действуют
силы резания – радиальная, тангенциальная и направленная по оси вращения
кольца. Величины этих сил зависят от величины глубины резания *
, скорости
+
резания, которая, в свою очередь, зависит от угловой скорости вращения кольца
Ω и его радиуса r, характеристик материала.
При разработке математической модели принято, что угловая скорость
вращения кольца постоянна, а значит, тангенциальная сила резания, не влияя на
скорость вращения кольца, вызывает перемещение по координате .
Обрабатываемые по мобильной технологии кольца обладают большой
массой, порядка тонн. При действии осевой силы резания колебания кольца в
этом направлении существенно меньше радиального и тангенциального, кроме
того, эта сила не ведёт к изменению глубины резания, а оказывает статическое
влияние на поведение кольца, поэтому её влияние на динамику можно не
учитывать. Таким образом, при разработке математической модели динамики
необходимо учитывать радиальную и тангенциальную составляющую силы
резания.
Одной из особенностей станочных модулей, используемых для обработки
колец по мобильной технологии, является меньшая жёсткость их и
технологического приспособления, в котором крепится резец, по сравнению со
стационарным станком. Объясняется это тем, что станок для мобильной
обработки должен быть переносным, занимать небольшой объём, чтобы его
можно было поместить в такое место, где обеспечивается лучшая точность
обработки. Эти условия накладывают ограничения на размеры станка, а значит
и на его жёсткостные характеристики.
В процессе резания на кольцо и станок действуют силы резания. Под их
влиянием происходит деформация вращающегося кольца, а также изменение
положения резца вследствие его деформации, системы его крепления,
деформации станка, и деформации основания базирования станка. Деформация
резца по сравнению с остальными существенно меньше, поэтому ею можно
пренебречь. Деформацию остальных элементов системы заменим суммарной
координатой
. В этом случае расчётную схему для анализа динамики можно
,
представить в виде, изображённом на рис. 1.2.
8
/
.
-
.
0
+.
0
+1
0
2
3
Рис. 1.2. Расчётная схема
На рисунке: -
– коэффициент, характеризующий степень жесткости станка
.
с резцом;
/
- эквивалентная масса станочного модуля;
.
0+.0
– сила резания, действующая соответственно на станочный модуль
+1
и кольцо;
0
– тангенциальная сила резания;
2
34угловая скорость вращения кольца.
Для получения уравнений динамики получим формулы кинетической и
потенциальной энергии этой системы и их производных.
В соответствии с рис. 1.2 кинетическая энергия системы состоит из
кинетической энергии станочного модуля 5. и вращающегося кольца5 .
Формулы потенциальной энергии системы должны учитывать потен-
циальную энергию упругой деформации станочного модуля (коэффициент-
.
),
потенциальную энергию кольца.
Кинетическую энергию вращающегося на опорах кольца определяем зависимостью [2]
=
5
67
8 9:33
:43
;<
&>
(
где 67 – соответственно радиус средней линии кольца, удельная плотность
материала, площадь поперечного сечения.
Выражение для потенциальной энергии
где @
IJ
K
L
E
?
?
IM
K
=
@
(
E
(
8
=
8
A
B
B
B
F
B
B
4
B
<
C
G
&D
<
&H
Найдём зависимости для учёта действия сил резания на динамику системы.
Расчётная схема этой системы представлена на рис. 1.2.
Величину резания в радиальном направлении определяем по формуле [5]
P
0
+
&NO
*
+
P
Q,
RS,TP
а в тангенциальном
9
,
*
+
,
Q2
02&NO
2
*
P
+
RS2T2
где:*+ – глубина резания; R – величина подачи; – скорость резания;
P
O
000O
P
2
555 – коэффициенты. В общем случае эти зависимости
P
нелинейны.
Наибольшее влияние на динамику оказывает изменение глубины резания. В
процессе обработки кольца глубина резания зависит от её заданного значения
*+, величины радиальных колебаний кольца*
резца, которую зададим угловой координатой
в точке расположения
+
относительно оси 1Z1 в
+
неподвижной системе координат, а также от величины отжатия резца со
станком, координата ,, под действием радиальной силы.
Для глубины резания имеем (рис. 1. 3)
*+*+*
, (1.6)
+
0
Рис. 1. 3. Смещение элементов системы в процессе резания
Величины силы резания в радиальном и тангенциальном направлениях
обозначим соответственно 0
*
+
0
+
*
U
Величину их элементарной работы, в
+
соответствии с (1.1), (1.2), (1.6), опишем зависимостью
VWVW
+
VW
40
U
4
4
4
V,V
+
!
0+VXY+4Z*
"
!
0+V#$%XY+4Z*
"
!
0UV'XY+4Z*
"
!
4
0UV#'$%XY+4Z*
"
+
40UV
40+V,40+V4
+
4
[
4
[
4
[
'
[
'
Отсюда получим для обобщенных сил резания, действующих по обобщенным координатам.
10
(
)
t
(
)
1,2,...,
i N
,
Ω
Ω
( ), ( )
a t b t
[
\
+
40+XY+4Z*
]
U
40UXY+4Z*
]'
(1.9)
[
'
\
+
\
^
40+$%XY+4Z*
+
Q,
\
40+ \
U
40U$%XY+4Z*
^'
+
40+ \
]
Сила резания является в общем случае нелинейной функцией глубины
резания.
В формуле для глубины резания
!
[
(1.7)
[
'
(1.8)
*
Величина отжатия резца (координата
определяется коэффициентом упругости -
+
!
"
X+4_*
"
#$%+4_*`
), влияющая на глубину резания,
P
(рис. 1.2). Для учёта влияния на
a
[
`
динамику этой степени свободы запишем формулы кинетической и потенциальной энергии станка
5a
bcQ
e
:
d
?a
e
1cQ
d
. (1.10)
На обобщённые координаты кольца наложены связи вследствие наличия
точек опор. Уравнения связей имеют вид
!
fghi4j4_*`
"
!
fghij4_*`
"
!
#hi4j4_*` N
"
!
#hij4_*` N&&(
"
&&&
1.4. Теорема о характере прецессионного движения
стоячих волн в кольце
Формулы кинетической и потенциальной энергий системы, условия связей
используем для получения дифференциальных уравнений её поведения. Однако
в нашем случае использовать их нельзя, т.к. в них присутствуют неизвестные
функции времени , 'Y&(k), задающие процессию гармоник
стоячих волн в кольце, о характере поведения которых пока ничего не известно.
Для выяснения характера их движения докажем следующую
ТЕОРЕМУ. При возникновении периодических колебаний во вращающемся с постоянной угловой скоростью на двух параллельных опорах кольце,
прецессия гармоник
вращения кольца
ϕ
qi
а прецессия стоячих волн происходит с угловой ско-
ростью вращения кольца
координат
l
, #
, где
l
=
при
qi qi
, (q=U,V) происходит с угловой скоростью
*
l
ml#l* или равенстве нулю одной из
- обобщенные координаты по i – й
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]