Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы динамики кольца при его обработке по мобильной технологии. Монография
.pdf
( )qif t
Ω +
∏
i
λ
гармонике, m
*
l
nml#l* процессия стоячей волны происходит с периодической угло-
11
– произвольный коэффициент для каждой гармоники, либо, при
l
вой скоростью
, где fqi(t) - периодическая функция.
Доказательство.
Фигурирующие в формулах кинетической и потенциальной энергии
функции , ' Y&(k) влияют на поведение кольца и их можно
рассматривать как ещё одни обобщённые координаты, поведение которых
подчиняется законам механики. Отсюда следует, что для определения
характера поведения гармоник стоячих волн необходимо найти дифференциальные уравнения их поведения. Для этого используется также уравнение
Лагранжа второго рода.
Рассмотрим получение уравнений для , #, Y&(k) в общем
случае.
Обозначим кинетическую и потенциальную энергию системы в общем виде
=
58 o
=
?8 o
:: <
2
pq<&&D
?
&&>
силу резания, действующую в точке нахождения резца по координате U,
0+0
+
(1.15)
+
Можем записать
<
<*
A
B5
B:
C
B5
B
B?
B
8
B5
B:
=
r
=
8
=
8
<
<*
r
r
=
8
Bo
2
F
:
B
Bo
2
:
B
B
Bo
?
BBB
Bo
B
G
B
2
B
B:
:
:
B
B:
:
:
<
Bo
B
Bo
2
BBB
Bo
?
Bp
B
<
2
:
<*
Bp
A
s
s
B
B:
<
<
:
Подставим эти зависимости в уравнение Лагранжа второго рода
x
<
B5
A
<*
Bt:
где
,T
- кинетическая и потенциальная энергии соответственно;
обобщенная координата; t – время;
координаты
;
q
-неопределенный множитель Лагранжа;
j
C
4
B5
Bt
Bu
7l
Bt
k
- число связей, наложенных на
"
vw
<
Cs
y&&z
- j–я
q
j
-производная i–го
e
ij
уравнения связи по j - й координате;
7
– сила трения.
l
Получим
{|}~•
=
8
r
B7
B
<
<*
=
8
Bo
F
B
r
2
:
Bo
BBB
G
?
:
B:
B7
B
B
Bo
<
2
B
Bo
Bp
:
?
<*
Bp
B
4€•‚ƒ„…‚|†‡}ˆ~‰‚…ƒŠ~…‹„ƒ&&&&&(
:
B
A
B:
<7l
s
Группируем слагаемые
=
8
8
<
<*
=
Bo
F
B
Bo
A
BBB
2
:
?
:
B
G
B:
<8
•Ž~~•‚••ƒ•~‚•†‚‘ƒ•}‰•
Bo
?
Bp
=
Bp
B
Bo
B
<
2
r
:
<*
<7l
C
’
’“
Имеем в общем случае зависимость
okT#k#TkT
!
Bo
˜‚—|Ž:
"
B
:
"
B
B:
A
Bo
B
Bo
B
B
B:
B
Bo
G
:
C
:
. Получим
!
"
:
!
B
B
"
!
B
"
Продифференцируем :€‚
!
Bo
š
B
"
!
B
B
:
B
B
B
B
"
<
<*
B
:
F
12
- сила, действующая по координате
G
j
Cs
A
F
!
:
:
B
B:
”`
”]
B#
Bo
B#
=
<48
:
4
C
B7
B
:
4
G
:
•–
Bo
”]
:
#
Bo
B
<
Bo
A
<*
B
!
B#
"
B
B
:
#
!
B
"
Bo
2
r
B
B7
`
B
:
B
B
v
:
”`
…‚…•‚•‚•~‰Ž—Ž}•‚• (1.17).
•–
!
"
C
B
B
Bo
A
B
!
"
B
F
B#
:
B
:
B
v
<48
s
B7
B
Bo
BBB
`
v\
=
Bo
2
2
BBB
B7
B
Bo
v\
+
]
Bo
:
B
Bo
:
#
:&&™
C
Bo
:
B
Bo
:
#
G
Bo
B
B
:
<
s
+
]
<
&&Œ
:
›
;
q
j
13
T
"
B
B
F
Bo
B
:
G
B
B
F
Bo
B
:
&&œ
G
Сравнивая (1.18) и (1.19) увидим, что они равны. Отсюда следует, что
’
’“
:
”`
F
”]
:
•–
G4
”`
”]
:
N
•–
(1.20)
Аналогично можно показать, что
<
<*
A
B
B#
:
:
4
C
<
<*
A
B
B#
B#
B
:
:
'
:
N
4
C
<
<*
B
B#
'
A
:
B
B:
N
:
4
C
B
B
<
<*
A
:
B:
N
:
B
'
C
<
<*
4
A
B
B
B:
B
'
:
'
:
C
N
4
B
B
:
N
'
Использование этих зависимостей упрощает получение дифференциальных
уравнений. Подставляя (1.20) в (1.17), а так же используя (1.15), будет иметь
дифференциальное уравнение, получаемое дифференцированием лагранжиана
по переменной
=
Bo
A
BBB
]
?
ƒ
, 7
–
8
Здесь 7
тяжением, действующие по обобщенной координате
Y&(k
=
<
Bo
8
<*
Bo
Bp
?
Bp
B
P
-обобщенные силы трения, обусловленные изгибом и рас-
]
–
2
F
B
<7
C
:
:
B
G
B:
<48
ƒ
7
]
–
P
]
=
–
Bo
2
BBB
B7
`
B
<
v
B7
`
B
v\
. Выражения для них
+
&(&
]
будут получены далее.
Найдем обобщенные силы резания, действующие по обобщенным коор-
динатам Y&(k). Элементарная работа силы 0+на перемещении
при вариациях V
VW
+
•
4
равна
!
4
!
"
0+4$%+4_*
"
0+#+4_*
V4
V&((
Отсюда для обобщенной силы, действующей по Y&(k),
получим
+
\
0+9hXY+4_*
•
4#fghY+4_*
[
Используя преобразования, аналогичные используемым при получении
(1.21), будем иметь при дифференцировании по переменным #
&(k)
=
8
<
<*
F
Bo
B
2
G
:
B#
<48
:
:
B
=
Bo
B
=
B
2
B#
<8
Bo
B
?
B
B#
Bo
B
B
?
žž
B#
;
žž
<
Y
14
=
8
<
<*
F
Bo
B
2
:
7
G
B:
7
ƒ
^
B
ƒ
•
7
–
:
<48
7
–
P
^
P
•
B7
–
=
Bo
B
–
B#
B7
B
2
v
B
B
<8
v
B7
B#
B7
B
=
v\
Bo
?
B
v\
+
&(>
^
•–
B
B
+
•
•–
Bo
B
?
B
žž
B
&(D
Конкретизируем эти уравнения, используя зависимости
!
!
B
žž
B7
B
B7
B#
fghXYi4Ÿ4_*
hXYi4Ÿ4_*
B
B:
B:
B
4
:
fgh
"
fghXY
B
B
:
B
hXY
:
B#
B
B#
:
B
4YhXY
B
[
žž
B
4YfghXY
B7
[
B
B
[
žž
B#
4YhXY
B7
[
B#
#YfghXY
[
#h
"
fghXY
[
[
fghXYiŸ4_*
hXY
[
[
hXYiŸ4_*
[
B
B7
B
B7
B
B
žž
B
Y hXY
B
4YhXYi4Ÿ4_*
4YhXYiŸ4_*
4YhXY
#YfghXY
[
4Y #fghXY
[
Y#fghXYi4Ÿ4_*
[
Y#fghXYiŸ4_*
[
[
[
Найдем зависимости для обобщенных сил внутреннего трения, действу-
ющих по обобщенным координатам t
. Для вычисления напряжения, возни-
кающего в материале кольца, используем закон Фойхта
B£
где -
¡¢-
– коэффициент внутреннего трения, ¤ – деформация.
2
2
B*
žž
<
[
[
[
[
15
При изгибе кольца деформация его слоя, находящегося на расстоянии z от
средней линии, связана с изменением кривизны зависимостью
¥¦
£
где
¦X
Ӥ
Ӭ
Отсюда имеем
Упругий момент от сил внутреннего трения в сечении кольца
4
”e`
Ӭ
B£
B*
[
– изменение кривизны кольца.
e
¥
B¦
.
(
B*
{|}~•
«8¥(<R
h
«¢-
©8¥¡<Rª
¬•‚•}†•ƒ†}•-ƒƒ~}®}†ƒ‹¯‚‰•-Ž
B¦
2
B*
Элементарная работа этого момента на изгибе элементарного участка коль-
ца VW°¨©V где V
Выразим вариацию ³´ через вариацию обобщенной координаты t
±²
° – изменение угла.
e
K
µ
B¦
Тогда VW
°¨
@-
”²”“”²
2
V¦
Vt°, где @
”l
–
Bt
Vt
IJ
K
.
L
Полная работа силы внутреннего трения во всем кольце, соответствующая
вариации координаты ¶
,
µ
=
B¦B*B¦
Bt
<Vt
VW
ƒ
@-28
l
–
Величина
=
B¦B*B¦
Bt
<
&(H
7
ƒ
@-28
l
–
является обобщенной силой внутреннего трения, действующей по обобщенной
координате t
при изгибе.
Аналогично получим формулу для элементарной работы сил внутреннего
трения при растяжении кольца
=
B·B*B·
A
Bt
C
<Vt
—|}·
VW
,
E-28
l
–
Обобщенную силу внутреннего трения, действующую поt
B
E
B
¢7
при растя-
жении кольца, определяем по формуле
=
B·
,
E-28
7
l
–
A
B*
B·
Bt
<
C
&(z
16
Представим в общем виде силы трения, действующие по обобщенным
координатам #€•ƒƒ„—ƒ¸} Можем записать для (1.25)
B¦
Bt
ž
B
Bt
ž
B¦
B
B¦
B
žž
B
Bt
žž
Тогда получим
ž
B
B#
ž
N
B
B
Bp
B#
Bp
N
B
4YfghXY
4YhXY
[
B
B
ž
[
N
Bp
B
N
Bp
B
Y hXY
4#Y fghXY
[
[
Используя эти зависимости, будем иметь
=
7
ƒ
•
•–
=
@-28
B¦
B*
7
7
ƒ
]
•–
ƒ
^
•–
B¦
Bp
B¦
@-28
B*
=
B¦
@-28
B*
Y hY
»
B¦
4
¹
YfghY
Bp
<&(Œ
º
B¦
4
¹
7
YhY
Bp
4#Y fghY
ƒ
N
]
½
<&(™
º
<&(œ
¼
Аналогично формулы получим и для силы трения, обусловленной
растяжением кольца (1.26). Имеем:
B·
B
'
B·
B
B·
B#
B
B
·
¾E
B\
B
B
B
F
B
B
B
F
B
'
B#
G
F
B
B
B
B
B
'
G
G
B
B
B
B#
B
¢7
B·
¾
B
XY
$%XY
!
B
'R
š
'
"
&¾
'
¾
[
¾
[
!
¿
"
#'O
'
À
›
B·
B
B·
B
'
B
B
B
'
4Y$%XY
B·
YXY
B#
'
B
4Y$%XY
B
F
4Y'XY
G
B
¾
[
'
¾
[
'
Y#XY
[
4Y#'$%XY
[
'
[
'
¾
[
17
Для обобщенных переменных #
,
7
E-28
]
½
B·
B*
B·
B
B·
B
7
,
•
•–
=
E-28
B·
B*
=
,
7
E-28
]
–
=
,
7
E-28
^
•–
B·
Á4Y$%XY
B
B·
B*
=
B·
B*
XY
$%XY
ž
[
получим :
<¾&>N
<¾&>&
[
<¾&>(
[
Y#XY
Â<&>>
[
При вычислении обобщенных сил трения по (1.25), (1.26) в случае не
”²
вращающегося кольца величины
”l
”Ã
не зависят от времени, поэтому можно
”l
–
–
записать
=
8
B¦
B*
B¦
Bt
<
=
B·
8
B*
B
B*
B·
Bt
=
8 ¦
<
B¦
Bt
<
&(B
B*
=
8
&(B
B*
B
Bt
=
B
8
Bt
·
<&>H
¦
<&>D
Отсюда следует известный результат, что обобщенные силы трения можно
вычислять для не вращающегося кольца, дифференцируя по времени выражения для производных потенциальной энергии по обобщённым координатам.
”²
В нашем случае при наличии процессии стоячих волн величины
сят от функций
, а значит от времени. Поэтому использование зави-
'
”l
”Ã
зави-
”l
–
–
симостей (1.34), (1.35) для нашего случая некорректно, а надо использовать
(1.25), (1.26).
Складывая зависимости для сил трения, получим:
=
7
7
ƒ
]
•–
7
,
@-28
]
•–
B¦
B*
=
B·
E-28
B*
=
ƒ
^
•–
7
,
@-28
^
•–
B¦
B*
B¦
4
¹
Bp
B·
XY
B
B¦
4
¹
Bp
YXY
<
[
Y$%XY
[º
[º
<
<
@-28
=
B¦
B*
Bp
=
E-28
=
B·
E-28
B*
B¦
9Y $%XY
B·
B·
Á4Y$%XY
B*
B
18
B·
$%XY
ž
B
ƒ
7
7
•
•–
<
[
,
•
•–
4#Y XY
[
[
;<
[
Y#XY
[
Â<
Подставив эти зависимости в (1.21), (1.23), (1.24), будем иметь систему
дифференциальных уравнений, полученную дифференцированием лагранжиана
по переменным #
=
<
Bo
8
<*
=
Bo
8
2
F
?
fghXY
G
:
B
fghXY
B
@-28
E-28
fghXYi4Ÿ4_*
=
<
Bo
8
<*
=
Bo
8
2
F
?
hXY
hXY
G
:
B
B
@-28
E-28
=
B¦
B*
=
=
B¦
B*
=
(j=1,…,N).
<48
[
=
<8
[
B¦
4
¹
YXY
Bp
B·
B·
XY
B*
B
vfghXYiŸ4_*
[
<48
[
=
<8
[
B¦
4
¹
Y$%XY
Bp
B·
B·
$%XY
B
ž
B*
B
\
B
=
Bo
2
fghXY
B
Bo
?
4YfghXY
F
žž
<
[º
<
[
+
&>z
]
•–
=
Bo
2
hXY
B
Bo
?
4YhXY
F
žž
<
[º
<
[
[
[
[G
<
[G
[
<
<
v
<
hXYi4Ÿ4_*
vhXYiŸ4_*
[
[
v
\
=
<
Bo
8
<*
=
48
2
F
Bo
94YhXY
G
:
B
2
94YhXY
B
=
Bo
8
?
94YhXY
B
=
Bo
=
B
=
?
9Y hXY
žž
B¦
B¦
9Y $%XY
B*
Bp
B·
B·
Á4Y$%XY
B*
B
8
@-28
E-28
19
+
&>Œ
^
•–
#YfghXY
[
#YfghXY
[
#YfghXY
[
4Y #fghXY
[
4#Y XY
[
Y#XY
[
[
;<
[
;<
[
[
;<4
;<
;<
[
Â<
[
94YhXYi4Ÿ4_*
94YhXYiŸ4_*
Y#fghXYi4Ÿ4_*
[
Y#fghXYiŸ4_*
[
+
\
&>™
•
•–
;v
[
;v
[
Анализ уравнений (1.36), (1.37), (1.38) показывает, что дифференциальное
уравнение (1.38), полученное дифференцированием по
, может быть
получено комбинацией уравнений (1.36), (1.37), полученных дифферен-
цированием по #
Y# и вычесть уравнение (1.37), умноженное на Y
(1.37) входит функция
. Для этого необходимо уравнение (1.36) умножить на
. Но в уравнения (1.36),
. Отсюда следует, что она может быть любой.
Аналогичное доказательство можно провести и для уравнений, описывающих поведение кольца и получаемых путем дифференцирования по пере-
менным '#'
Для выяснения характера поведения функций
'
.
в нашем случае
'
преобразуем (1.36), (1.37) с целью получения уравнений в стандартной форме.
Имеем
o2
o?
:__:4_
»
(
@
B
(
B
4
B
B
E
(
B
B
где 67@
IJ
K
E
L
IM
K
¼
maÄ
/aÄ:
P
&>œ
(
P
&DN
(
Для упрощения записи введем обозначения
20
À
R
hXY
À
O
fghXY
À
R
hXY
'
À
O
fghXY
'
'
'
[
[
[
[
¿
R
4hXY
¿
O
4fghXY
¿
R
4hXY
'
¿
O
4fghXY
'
Используя их, запишем
:
::
B
B
ÅÅ
!
"
:
!
"
!
"
!
"
!
"
:R
À
:
O
'
'
:
¿
R
'
'
Å
O
¿
O
À
"
À
!
!
"
!
"
!
"
"
#
#
!
"
#
!
ÅR
À
:
R
'
'
:
#
O
'
'
:
:R
ÅO
R
À
`
¿
"
À
B
B
À
!
"
¿
!
"
"
!
!
'
"
"
#
:'R
:R
!
!
Å
#
:
:
¿
'
O
R
O
À
!
"
¿
¿
¿
¿
R
При вычислении интегралов будем использовать зависимости
=
8 fghX
=
8 hX
=
8 hX
=
fghX
[
P
hX
[
P
fghX
[
P
=
<ifghXP4
[
l
<ifghXP4
[
l
<ihXP4
[
l
=
"
!
"
"
'
'
#
!
"
!
[
[
[
[
:'O
'
#
!
:
#
#
l
#
:O
:
[
l
[
l
[
À
'
:O
R
:O
iO
iO
i-
¿
À
À
À
Pl
Pl
Pl
À
8 O
P
À
O
<8 O
l
À
À
R
P
<8 R
l
À
À
R
P
<NnY
l
Используя эти зависимости, будем иметь для уравнений (1.36), полученных
дифференцированием по
Bo
2
:4_
:
B
<
<*
F
Bo
B
2
G
:
Å4_
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]