Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы динамики кольца при его обработке по мобильной технологии. Монография
.pdf
51
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
8
рисунков видно, что с увеличением скорости вращения собственная частота
уменьшается. При некоторой скорости вращения кольца коэффициент è
делается положительным, возникает прецессионный резонанс, частота
собственных колебаний возрастает.
6
4
Рис. 4.3. Зависимость первой собственной частоты колебаний кольца
от его скорости вращения
Основной сложностью при проведении физического эксперимента с целью
подтверждения теоретических расчетов является слабая зависимость é
от
угловой скорости вращения на начальном участке (табл. 4.2), которую можно
реализовать относительно просто современными техническими средствами.
Как видно из этой таблицы для достижения é
= 0 необходимо задать угловую
скорость вращения, примерно, 79 рад/с, что представляет сложную
техническую задачу. Кроме того, задание большой угловой скорости ведет к
существенному увеличению действия возмущающих факторов, обусловленных
неидеальностью характеристик кольца и установки для его вращения, что
ведет к возникновению больших вынужденных колебаний и усложняет
получение интересующих результатов.
Созданная установка для проведения физических экспериментов позволяет
задавать угловую скорость вращения до, примерно, 10 рад/с. Изменение первой
собственной частоты, используемого в эксперименте кольца, на этом
интервале составляет, примерно, 0,45 рад/с. Для выявления этой разницы
использовалась описанная выше измерительная система, включающая
устройство для возбуждения резонанса из генератора периодических
колебаний и электромагнита, и компьютерная измерительная система с
тензометрическим датчиком, который фиксировал моменты времени между
амплитудами колебаний кольца в резонансном режиме.
На рис. 4.5 показана виброграмма показаний системы для скорости
вращения 5,5 рад/с. Видно, что периоды между амплитудами разнятся вследствие действия возмущающих факторов.
Для исключения этой нестабильности осуществлялось осреднение
показаний. Результаты физического и вычислительного экспериментов
представлены в табл. 4.3.
52
Анализ полученных результатов эксперимента подтверждает наличие
эффекта уменьшения первой собственной частоты при увеличении угловой
скорости вращения.
Рис.4.5. Виброграмма колебаний кольца
Необходимо отметить сложность определения момента наступления
резонанса на фоне действия возмущающих факторов, уровень которых
увеличивается при увеличении угловой скорости вращения. Этим объясняется
отличие результатов эксперимента и расчетов, а также незнанием точных
характеристик кольца и методическими погрешностями используемых гипотез
при построении математических моделей.
Таблица 4.3
Зависимость первой собственной частоты от
угловой скорости вращения кольца
Эксперимент
Угловая скорость вращения кольца,
рад/с
0 1,8 5,5 6,75
Физический 34,67 34,60 33,05 32,87
частоты, так и задание ненулевых начальных условий для каждой из
собственных частот. Результаты физического эксперимента, а также
вычислительного, проведенного с использованием разработанных моделей
динамики кольца с растяжимой и нерастяжимой средней линией, представлены
в табл. 4.4. В ней обозначено: 2α - угол между опорами в градусах; Ω - угловая
скорость вращения кольца в радианах в секунду; é
первая и вторая собственные частоты в радианах в секунду.
Вычислительный 37,78 37,77 37,35 37,18
4.3. Определение первой и второй собственных частот колебаний
вращающегося кольца в зависимости от угла между опорами
В этом эксперименте использовалось как возбуждение резонансной
, é
- соответственно
53
2
α
1ω2ω1ω2ω1ω2
ω
В экспериментах задавалась угловая скорость вращения, возбуждение
первой и второй собственных частот осуществлялось с помощью регулируемой
по частоте периодической силы, задаваемой фрикционами. Собственная
частота замерялась магниторезистивным датчиком в момент вхождения тела в
резонанс.
Отличие результатов расчета и экспериментов обусловлено сложностью
определения момента возникновения резонанса, т.к. при приближении к нему
возникают колебания с большой амплитудой, а так же отличием используемых
при расчетах геометрических и физических параметров кольца от реальных
вследствие их неидеальности.
Таблица 4.4
Значения собственных частот кольца
Ω
Эксперимент
Результаты расчетов по моделям
нераст. сред. л. раст. сред. лин.
52,6 0 35,16 92,1 40,44 83,41 41,14 97,1
62,6 0 37,68 99,14 42,64 90,51 43,74 102,14
62,6 0,54 37,68 99,06 42,64 90,48 43,68 102,01
62,6 2,1 36,76 98,86 42,50 90,20 43,57 101,91
Так функция влияния толщины кольца на первую собственную частоту
равна, примерно, 3,2 104 1/с м, Поэтому погрешность знания толщины кольца в
1 10-4м дает изменение частоты, примерно, 3 радиана в секунду. В случае
используемого в эксперименте кольца различие в толщине кольца в разных
точках составляет 2 10-4м, что объясняет различие в результатах
экспериментов.
4.4. Влияние угловой скорости вращения кольца и угла между опорами
на его форму
Проведено математическое моделирование влияния величины угловой
скорости вращения кольца на изменение перемещения заданной точки кольца в
радиальном и тангенциальном перемещениях по сравнению с не вращающемся
кольцом. В таблице 4.5 представлены результаты расчетов. Исследовалось
влияние угловой скорости вращения кольца Ω в радианах в секунду и его
толщины δ в метрах на величину отклонения в метрах по координатам U и V
для точки кольца, заданной углом θ = i/ 2 в неподвижной системе координат.
Принималось, что возбужденные стоячие волны отсутствуют. При расчетах
брался радиус средней линии 2,85 метров, ширина 1 метр, модуль упругости 2
1011 н/м.. Из таблицы видно, что влияние Ω на прогиб увеличивается с
уменьшением толщины кольца. Зависимость между толщиной кольца и
величиной его отклонения, вследствие вращения, нелинейная.
54
-4
-4
-4
-4
-3
-3
-5
-
4
-4
-4
-4
-3
-4
-
4
-
4
-4
-3
-3
-5
-
4
-
4
-4
-4
-3
-4
-
4
-
4
-4
-4
-3
-5
-
4
-
4
-4
-4
-3
ω
θ
-4
-
3
-
5
-3
-
3
-
4
-4
-5
-
4
-
3
-
5
-
2
-
3
-
3
-
3
-
3
Таблица 4.5
Прогиб вращающегося кольца
Ω 1/с
δ м
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
10
20
U, м 1,1 10
V, м 7,0 10
U, м 1,1 10
V, м 7,0 10
U, м 1,1 10
V, м 7,0 10
1,6 10
1,0 10
1,6 10
1,0 10
1,6 10
1,0 10
2,5 10
1,6 10
2,5 10
1,6 10
2,5 10
1,6 10
4,4 10
2,8 10
4,4 10
2,8 10
4,6 10
3,0 10
1,0 10
6,4 10
1,0 10
6,5 10
1,1 10
6,8 10
4,0 10
2,5 10
4,3 10
2,7 10
5,7 10
3,5 10
4.5. Влияние величины внешней силы и ее положения на амплитуду
колебаний кольца
Был проведен вычислительный эксперимент по исследованию влияния
величины внешней силы, ее местоположения на амплитуду колебаний не
вращающегося кольца. Результаты вычислений представлены в таблице 4.6.
При расчетах принималось, что радиус средней линии кольца 0.187м,
толщина 1.207 10-3м, ширина 0,0605м, модуль упругости 2 1011 н/м, угол между
опорами 36,78 градусов, коэффициент внутреннего трения 0,004 нс/м. В
таблице представлены результаты расчета амплитуды колебаний в метрах
точек кольца, заданных координатой θ в градусах от вертикали, под действием
радиальной периодической силы амплитудой, примерно, 1 ньютон,
приложенной в точке θ = 90 градусов при значениях частоты возмущающей
силы 0,01 и 36,5 рад/с.
Таблица 4.6
Влияние периодической радиальной силы
на амплитуду колебаний кольца
0 90 180 270
0,01
36,5
U 4,07 10
V 1,43 10
U 5,60 10
V 9,78 10
1,15 10
3,79 10
8,71 10
2,17 10
5,62 10
9,77 10
5,22 10
8,62 10
1,54 10
1,89 10
1,20 10
1,83 10
Вторая частота является резонансной для данного кольца. Результаты
вычислений представлены в таблице 4.6.
Проведенный эксперимент по определению радиального перемещения
точки кольца с координатой θ = 270 градусов при данной схеме нагрузки и
частоте возмущающей силы 0,01 рад/с дал величину перемещения порядка 1,4
мм, что согласуется с результатами расчетов.
Были проведены расчеты по влиянию периодической силы на амплитуду
колебаний в разных точках кольца толщиной 0,05 м., радиуса средней линии
1,5 м., шириной 2 м. Принималось, что амплитуда возмущающей силы 500
ньютон, частота 100 рад/с Решение
определение установившегося
комплексных амплитуд. Результаты
перемещения точек кольца
инерциальном пространстве
из центра кольца по вертикали
Исследовалось влияние угла между
скорости вращения кольца
вращающегося кольца, сл
возмущающей силы между
перемещения для разных точек
при котором некоторая точка
вследствие действия
кольца с небольшой угловой
колебаний. Результаты расчетов
градусов . При увеличении скорости
Принципиальным отличием
невращающегося при действии
фазам колебаний для разных
матрицы перед вектором первых
сил внутреннего трения и гироскопических
влияющих на динамику
вращающегося кольца делается
.
При исследовании влияния
принималось, что угол между
. Влияние
Боковое положение силы
зависимости от координат точки
более, по сравнению с центральным
55
еренциальных
амплитуда
оси
, местоположения
6
едует, что при симметричном
. Существует
а увеличивается
х. Элементы матрицы
, в
,
–
4.6 – 4.9.
α
Ω. Из графиков на рис. 4.
, для случая не
колебаний
вращающегося - рис. 4.6
градусов.
α
4.7
для случая α=20
α,
- рис.4.7
20
Рис. 4.6
невращающегося кольца
Это показано
Форма колебаний делается несимметричной
. Влияние
Вращение кольца меняет
увеличении угловой скорости
увеличение амплитуды колебаний
скорости амплитуда увеличивается
результаты расчетов для угла
Влияние
. Влияние
я случая невращающегося
до 20 рад/с происходит
силы на амплитуду колебаний
между опорами.
Рис. 4.7
56
вращающегося кольца
– рис.4.9. При
небольшое
4.9. показаны
Рис. 4.8.
невращающегося кольца
Рис. 4.9
вращающегося кольца
57
Разработанные математические модели и созданные на их основе расчетные
программы позволяют проводить исследования по выбору параметров
компенсирующих сил с целью уменьшения влияния силы резания на точность
формообразования кольца при его обработке с использованием мобильной
технологии.
4.6. Исследование погрешности метода определения численных
значений элементов матриц систем дифференциальных уравнений
Погрешность, предложенного в главе 3, метода определения численного
значения элементов матриц систем дифференциальных уравнений зависит от
погрешностей вычисления численным методом определенных интегралов для
кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой системы, а также от
погрешностей вычисления численным методом производных от этих энергий.
Для исследования влияния этих факторов была разработана программа,
вычислялись значения элементов матриц системы дифференциальных
уравнений, описывающих динамику кольца с нерастяжимой средней линией.
Они сравнивались со значениями соответствующих элементов матриц,
полученных аналитическим способом. Исследования показали, что величина
вариации аргументов (обобщенных координат и скоростей) в определенном
диапазоне при вычислении производных практически не влияет на величину
погрешности. Так максимальная по модулю разность между точными
значениями элементов и вычисленными предложенным методом среди трех
матриц составляет величину порядка 1 10
-10
при значениях вариаций
обобщенных координат и скоростей 0.1, а также при 1 соответственно метров и
метров в секунду.
Более сильно влияет шаг интегрирования при вычислении кинетической и
потенциальной энергий. Это влияние зависит от числа учитываемых гармоник
разложения в ряд Фурье. Так при числе гармоник N=4 и при числе шагов =8
на интервале 2π модуль максимальной разности для элементов в матрице при
вторых производных равен 0.9, при первых 40.7, при координатах 390978. С
увеличением числа шагов при =20 для указанных матриц соответственно
получим 2 10
10
-12
, 1 10
-10
.
-13
, 2 10
-13
, 2 10
-10
, а для =100 соответственно имеем 1 10
-12
, 1
При числе гармоник N=10 получим для числа шагов =20 модуль
максимальной погрешности определения элементов указанных матриц 1, 87,
14919655 соответственно, а при =40 имеем 5 10
-13
, 1 10
-12
, 4 10-8. Из расчетов
получено, что при увеличении числа шагов больше 40 модуль погрешности
определения элементов матриц практически не меняется и максимальное
значение составляет величину порядка 10-8.
Таким образом, исследования показали, что предложенный метод
вычисления коэффициентов матриц сложных систем линейных дифференциальных уравнений обладает хорошей точностью, позволяет быстро
получать требуемые результаты и может использоваться на практике.
58
Выводы
На основе принятых в работе допущений о характере поведения системы
для обработки колец с использованием мобильной технологии, напряженно –
деформированного состояния кольца, анализа методов описания динамики
кольца в этом случае, выбран путь решения поставленной в работе проблемы,
позволяющий получить ее решение с корректным учетом главных факторов,
действующих в системе, а также учитывающий прецессию возбужденных
стоячих волн. Выведены основные зависимости для получения уравнений
динамики вращающегося на опорах кольца с растяжимой средней линией, в
которых учтена прецессия возбужденных стоячих волн, динамика станочного
модуля при действии сил резания. Доказана теорема о характере
прецессионного движения стоячих волн в кольце, вращающемся с постоянной
угловой скоростью. Получены выражения, учитывающие зависимость сил
внутреннего трения от прецессионного движения стоячей волны, из которых,
как частный случай, получаются классические формулы для сил внутреннего
трения. На основе этих результатов получены дифференциальные уравнения
динамики кольца с растяжимой средней линией при действии сил резания,
учитывающие неопределенные множители Лагранжа и наличие опор. С их
использованием получены уравнения динамики кольца и станочного модуля, в
которых исключены неопределенные множители Лагранжа и учтены условия
связей в точках опор.
На основе используемых допущений и полученных зависимостей получена
система дифференциальных уравнений поведения кольца, при использовании
гипотезы нерастяжимой средней линии, при его обработке с использованием
мобильной технологии.
На основе анализа полученной системы дифференциальных уравнений
динамики кольца с растяжимой и нерастяжимой средней линией сделан вывод
о существовании неизвестного ранее эффекта во вращающемся на опорах
кольце - уменьшении собственных частот колебаний кольца, с увеличением его
скорости вращения, до нуля, и возникновении расходящегося колебательного
процесса, прецессионного резонанса, при дальнейшем увеличении скорости
вращения. Дано объяснение этого эффекта с позиций механики.
Приведены результаты физических экспериментов и расчетов по
полученным моделям. Осуществлены расчеты по исследованию влияния
угловой скорости вращения кольца на частоту его собственных колебаний и
вид колебательного процесса, вычислению значения скорости, при которой
возникает прецессионный резонанс. Представлены результаты проведенных
физических экспериментов, подтвердивших результат теоретического вывода и
результат расчетов об уменьшении собственной частоты колебаний
вращающегося на опорах кольца до нуля и возникновение прецессионного
резонанса при дальнейшем увеличении скорости.
Приведены результаты физического эксперимента по оценке коэффициента
внутреннего трения вращающегося на опорах кольца. Приведены результаты
вычислительного эксперимента по исследованию влияния на частоту
59
колебаний вращающегося на опорах кольца угла между опорами, скорости
вращения на форму кольца, влияния внешней силы, ее величины и точки
приложения, на величину и форму его колебаний
Предложен, разработанный автором, метод получения численных значений
элементов матриц систем линейных дифференциальных уравнений для систем,
поведение которых подчиняется вариационным принципам механики.
Применение его не требует получения аналитических формул для элементов
матриц уравнений. Представленные результаты расчетов показали его хорошую
точность.
60
Библиографический список
1. Гуляев В. И. О связи критических состояний конических оболочек при
простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных
колебаний / В. И. Гуляев, И. Л. Соловьёв, М. А. Белова // Проблемы прочности.
– 2004. - № 2. – С. 52 – 66.
2. Журавлёв В. Ф., Климов Д. М. Волновой твёрдотельный гироскоп. – М.:
Наука, 1985. – 126 с.
3. Журавлёв В. Ф. Теоретические основы волнового твёрдотельного
гироскопа (ВТГ) / В. Ф. Журавлёв // – Изв. РАН. МТТ. – 1993. - № 3. – С. 8 – 17.
4. Полунин А.И. Математическое моделирование динамики упругого
вращающегося кольца при наличии двух опор / А.И. Полунин // Известия РАН,
Механика твердого тела. – 1999. - № 6, - С. 153 – 158.
5. Справочник технолога – машиностроителя: в 2 т. / под ред. А.Г.
Косиловой, Р.К. Мещерякова. – М.: Машиностроение, 1985. – 496 с.
6. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ:
Учеб. пособие для вузов. В 2 ч. Ч.1 / В.Г. Веретенников, И.И. Карпов, А.П.
Маркеев и др.; Под ред. В.Г. Веретенникова. –М.: Высш. шк., 1990. - 174 с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]