Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы динамики кольца при его обработке по мобильной технологии. Монография
.pdf
@E
f!ÅÕÌÅ-2f
!
(_)ÕÌ:4(_f!:'4(_:'!-
E@4(_
f!
-2_
@E
f!#-2_)
4-2_)
@)E
'!
E@4(_
0
+
i
Å
h!#
ÕÌÅ4(_h!:4(_)ÕÌ-
`
4-
4-2_
@E
2
@E
h!:'4-2)
h!4-2)_
E@)Ç4_
&)
(_4E4@)
)
'!4-2_
0
+
4
h!h
i
@YE
Å'(_:4-2Y
@YE
-2Y_
YE@4_
4
Å
#
-2Y
'
@YE4(_
Y
@YE
:(_#
-2Y_
Y
E@4_
@)E
(3ÕÌ:4-2)
Å
'!
Ö
:-
@)ÇE
f!fgh
@)E
@)ÇE
@E
h)
+
#
Y
&Y
0UfghY
&Y
ÕÌ:-2)
31
@)ÇE
2
2
@E
f!#
E@)Ç4_
:
'
ÕÌ:(_f!#
@)E
-2)
&)
:
:
#
'!
ÕÌ
ÕÌ4-2_
f!#')
@E
f!'4
E@)4(_
#'!
fgh)
+
@E
2
h!#
&zz
+
:
-
@)ÇE
2
ÕÌ:4
ÕÌ
:'!4(_h!#
E@4(_
ÕÌ
(_4E4@
:
4(_#
'
h!'
:
'!
h!#
4
h!#'4-2_)
Y(>k)4&&zŒ
+
:
-2Y
(_4@YE
@E
@)E
:'(Y_#
:
'
#'!
#
'-2Y _
@E
#'
+
&z™
i
:
4(Y_:'-2Y
@YE
#4-2Y _
#'4
@E
0UhY
@E
+
:
#
'
'
i
Y&(k)4&&zœ
@E
Ö
:'!()3#
:
'!
32
-2)_
Å
#
-2)
'!
@)E4(Ö3
)
)
E@4Ö_
@)E
Ö
)
@)E
Ö
Ö
ÕÌ:(3ÕÌ:4()3:'!-2)
Ö
ÕÌ-2)3
E@4Ö3
/.ÄÅ,-
ÕÌ)
&)
0U)
4
Ö
(Ö_4@)E
ÕÌ
Ö
'!-2) _
@E
#'!
Ö
+
&ŒN
iÖ
&)
@)E
Ö
#§!4
ÕÌ4-2) 3
0U$%)+
@E
Ö
@E
#
Ö
:
'!
iÖ
2
Ä:,-.Ä,40+&Œ&
×,
'!
33
2
0 0
r V U V U r
+ + + − =
2 2
0 0 0
r r V U V U V U r
+ + + + + − =
V U
′
= −
V Ud
= − θ
∫
V
(
)
U a k
= θ
(
)
U ak k
= − θ
r V U r U
d
= − − − −
( sin( )) cos( )
r V aK K r a K
d
= − + θ − − θ
V k
k
= − θ
=
0,1
=
2. Кольцо с нерастяжимой средней линией
Используя гипотезу нерастяжимой средней линии, найдём зависимости для
описания динамики вращающегося на опорах кольца при действии внешних
сил. Силу внутреннего трения учитываем по закону Фойхта, как и в предыдущем случае. Угловую скорость вращения кольца считаем постоянной, в
точках опор перемещение по координате U равно нулю.. Для получения
дифференциальных уравнений используем уравнение Лагранжа второго рода,
как и в предыдущем случае. Кинетическую энергию вычисляем по зависимости (1.3).
В случае гипотезы нерастяжимой средней линии связь между координатами
U и V определяется зависимостью [2]
( ) ( )
′ ′
2 2
. (2.1)
Здесь знак штрих означает производную по θ. Из этого выражения получим
2 2
.
Слагаемые
2
2
′
)( UV +
,
′ ′ ′
( ) ( ) ( )
2
)( UV′−
являются величинами высшего порядка
малости по сравнению с остальными и их можно отбросить. Получим
приближенные зависимости
p
, или
p
. (2.2)
Здесь индекс p означает приближенное значение V.
Оценим погрешность в определении
, получаемую вследствие такой
замены для одной формы колебаний. Будем считать, что перемещение кольца
по координате U является периодическим и описывается формулой
Тогда
cos
′
sin
. Подставив эту зависимость в (2.1) получим диффе-
. (2.3)
ренциальное уравнение
или
dV
dV
θ
2 2
θ
0 0
2
( )
0 0
2
′
,
.
Решение его даст точное значение координаты V. Приближенное значение
в этом случае определяем по формуле (2.2)
В таблице 2.1 представлены результаты расчета относительной
погрешности в процентах определения координаты V по приближенной
формуле (2.2) в сравнении с точной (2.1) в зависимости от угла θ в градусах для
разных значений радиуса
a
м. Из таблицы видно, что погрешность составляет долю процента.
r
и для номера гармоники
0
Поэтому вместо точной формулы можно использовать приближенную (2.2). В
этом случае получим формулы
a
sin
( )
p
.
1
k
. Величина амплитуды
34
uj uj uj
a j b
1 ,
j a b
&
uj uj uj uj uj uj
j a j b
&
uj uj uj uj uj uj
j a j b
uj uj uj uj uj
a j b j b
uj uj uj uj uj
j a j a b
&&
r F
χ ρ
=
V
−
V
−
Таблица 2.1
Погрешность определения координаты V
Радиус
r
, м
0
Погрешн
%
θ, градусы
0 90 180 270 360
1
VV
p
100
3
103−⋅
1
103−⋅
104−⋅
3
VV
p
100
3
101−⋅
1
103−⋅
101−⋅
!
!
2
2
1
103−⋅−
2
105−⋅−
1
103−⋅−
2
107−⋅−
4
"
Здесь auj, b
X
!
$%X
"
- обобщенные координаты;
uj
*
*
[
[
#$%X
"
!
#
"
- угол прецессии стоячей волны.
Для производных кинетической энергии получим
ϕ
∂Τ Ω
= + + − +
π χ ϕ
&
a j j j
∂
uj
∂Τ Ω
= − − + +
π χ ϕ
&
b
∂
uj
∂Τ Ω
= − Ω + Ω + + + − −
a j j j
∂
uj
∂Τ Ω
= − + + − Ω + Ω + +
π χ ϕ ϕ ϕ ϕ
b j j j
∂
uj
2 2 2 2
& & & &
π χ ϕ ϕ ϕ ϕ
4 1
&
ϕ
2 1
uj
1 2
1
2
&
2 1
ϕ
uj
j j j
& & & &
&
&
&
uj uj uj
1 2
2
2 2 2 2
X
&
uj
4 1
*
[
*
[
&
2
&
ϕ
2
(D
(H
,
uj
,
,
d
∂Τ Ω
π χ ϕ ϕ
dt a j j j j
∂
d
∂Τ Ω
&
dt j j j j
b
∂
uj
= + + + + − +
&
uj
= − + + − − + +
π χ ϕ ϕ
1 1 2
1
&&
2
&& &
&
1 2 1
&& &
ϕ
uj
.
Потенциальную энергию кольца определяем по формуле, учитывающей его
изгиб,
&
ϕ
uj
&
1
2
,
,
35
U d
θ
r
j
q
δ
TP j
A d q
δ δ
2
θ
U
r r
∂
∂
r
2
π
J U
Ε ∂
Π = +
2
r
3 2
∫
0
2
2
,
θ
∂
где E, J – соответственно модуль Юнга и момент инерции поперечного сечения,
- радиус средней линии.
Учитывая зависимости (2.4), (2.5), получим для производных по
обобщенным координатам
Bu
B
i¢Ø
&4Y
Bu
B#
i¢Ø
&4Y
#
Найдем зависимости для обобщенных сил трения, действующих по коор-
динатам#
. Для вычисления напряжения, возникающего в материале
кольца, используем (1.25).
Полная работа силы внутреннего трения во всем кольце, при его изгибе при
вариации обобщенной координаты
JEK
=
2
U
− −
γ
Здесь
=
2 2
изменение кривизны кольца при его деформации.
, равна
2π
γ γ
∂ ∂
T
3
∫
r t q
0
∂ ∂
θ
.
j
π
JEK
T
F
Величина
=
qj
действующей по координате
2
T
3
∂
∂
γγ
θ
d
∫
0
qtr
∂
∂
Найдем зависимость для нее. Используя эти
q
.
j
является обобщенной силой трения,
j
зависимости, получим для обобщенных сил трения, действующих по обоб-
щенным координатам #
2
7
i@-
]
2
7
4i@-2YY4&
^
2
(j=1,2,…,N).
Y4&
:i@-
:i@-2YY4&
Y4&
2
#:
:
#
где
EJ
=µ
.
3
Из формул видно, что обобщенные силы внутреннего трения содержат
слагаемые, зависящие от скорости прецессии стоячей волны.
При обработке кольца на него действуют силы резания, определяемые теми
же зависимостями, что и для кольца с растяжимой средней линией. Для
постоянных составляющих этих сил имеем
VWVW
!
4
VW
+
0+VY
40
U
VÄ,V
+
+43*4
40UV
+
!
0+V#$%Y
40+VÄ,4
+
+43*
"
!
V
"
0
U
Y
Обобщённые силы резания, действующие по обобщённым координатам
#
Y&(k) обусловленные 0+0U имеют вид
$%Y
+43*4
"
!
"
0
V#
U
Y
Y
+43*
36
(
)
=
7×,40+
0
7]40+XY+43*
7^40+$%XY+43*
[
[
U
$%XY+43*
Y
0
U
4
XY+43*
Y
[
[
Найдем зависимости для учета влияния гравитационных сил на динамику
кольца. В соответствии с рис. 1.1 для потенциальной энергии кольца в гравитационном поле имеем
=
?Ù467Í8Áfgh_*4h_*Â<
где g – ускорение свободного падения.
Гравитационные силы, действующие по обобщенным координатам, равны
y]4
”?
Ú
, y^4
”]
•–
”?
”^
Ú
•–
Используя зависимости для g, U, V, будем иметь для уравнения,
полученного дифференцированием
,
y](i67g.
Oбобщенные силы гравитации, фигурирующие в остальных уравнениях,
равны нулю.
Используя полученные зависимости, запишем уравнения поведения кольца
при действии сил резания.
iÛ¹ÜÅ-Å#F-:4
4iÛ¹/:
i@
4D3:3Ü
i@-2
7+FYX 43*
*
:i@-2
7
U
4
[G
$%FYX 43*
Y
(3
(3
F
Y
:
#
º
4
G
G
Y
4-:
:#
:
#
º
*
[G
vFYXi4Ÿ43*
iÛ¹4-2Å
(3
4iÛ¹F-:4
Y
i@
#i@-2
7+FYX 43*
v$%FYXi4Ÿ43*
*
vFYXiŸ43*
[G
(3
4-:
F
Y
:3Ü4D3:/:
G
:
#
i@-2Y
7
U
4
Y
2
Ä:PmaÄP40+(™
Q
Ý
*
/
aÄÅP
*
[G
v$%FYXi4Ÿ43*
[G
-
:Ü#
G
:
$%FYX 43*
,
Nj ,,2,1 K
Å
º
4
#
*
º
*
*
[G
[G
(z
[G
(Œ
которые решаются совместно с условиями связи
37
χ
χ
χ
χ
!
!
Xi4Ÿ43*
"
!
Xi Ÿ 4 3*
"
*
[
#$%Xi4Ÿ43*
"
!
*
[
#$%Xi Ÿ 4 3*
"
*
*
[
[
N
N
В этих формулах обозначено Lj=1+1/j2, Kj=j+1/j, mj=1+j2, nj=j2-1,.
Полученное ранее доказательство теоремы о характере прецессионного
движения гармоник стоячих волн осуществлено для общего случая записи
кинетической и потенциальной энергии (1.13), (1.14), т.е. справедливо для
различных гипотез о напряжённо-деформированном состоянии тела. Поэтому
результат доказанной теоремы справедлив и для кольца с нерастяжимой
средней линией. Поэтому движение гармоник стоячих волн происходит с
угловой скоростью вращения кольца, т.е.
: 3Å N 3*Y &(k)
Тогда обобщенные силы резания:
7] 40+fghY
7^ 40+hY
0UY¿hY
+
40UY¿fghY
+
+
+
а уравнения (2.6), (2.7) примут вид:
i
ÜÅE-2
»
Ü#
»
Å
i
:(_Þ#
vfghYi4 Ÿ
4(_Þ:E-2
vhYi4 Ÿ
:
:
#
E
4E-2Y
4_Þ
vfghYi Ÿ
vhYi Ÿ
_E
E-2Y
(œ
4_Þ
(&N
_#
#
47]
¼
47^
¼
Здесь ν = µ/
,
l
j
=
j – j-1.
ЗададимY & в (2.9), (2.10), тогда NÞ N
Обозначим левые части этих уравнений соответственно
0 iÛÜÅ47]
0 iÛÜ#
Å
47^
Тогда получим для vv зависимости
v
(i 4Ÿ
v
(i 4 Ÿ
vv
fgh
À
Ó
i4 Ÿ
fghYŸ
4&
߸‚„†Ž®ƒ•O
ТогдаvfghYi4 Ÿ
vhYi4 Ÿ
0
($%i 4 Ÿ
0
4
($%i 4 Ÿ
0
Ó
fgh
i4 Ÿ
R
Ó
vfghYi Ÿ
vhYi Ÿ
4&
h
0
0
Ó
hYŸ
Ó
i4 Ÿ
Ó
4O0(&&
4R0(&(
Подставляя (2.11), (2.12) в (2.9), (2.10) при Y (>k)получим систему
уравнений динамики кольца, в которой исключены vv
OÜÅÜÅE-2
i
»
:(_Þ#
:
E
4_Þ
E-2Y
_#
¼
38
χ
χ
χ
χ
O7]7](&>
i
RÜ#
»
Å
Ü#
Å
E-2
:
#
4(_Þ:E
4_Þ
#4E-2Y
R7^7^Y(>k)(&D
Данная система решается с условиями связи на обобщенные координаты
!
!
_
¼
"
!
"
i4Ÿ
iŸ
"
!
"
#
$%i4Ÿ
#
$%iŸ
N(&H
N(&z
Исключим!#!Используя (2.15), (2.16), получим
!àÌ#!àÌ (2.17)
где àà
– соответственно первая и вторая строки произведения матриц R и
M, где
h)i4Ÿ
h)iŸ
!¿
##k#
©r
fgh)i4Ÿ
Ô
r
fgh)iŸ
4fghYi4Ÿ Y&(k)4&4hYi4Ÿ Y&(k)4&
4fghYiŸ Y&(k)4&4hYiŸ Y&(k)4&
k
Ì2
Á
Зададим в (2.13), (2.14) Y) и подставим вместо !#
Переменные !#! фигурируют вá
â
!¿
+
"
fgh
+
!¿
"
#
+
h
Имеем
!fgh)
+
¿
s
!¿
s
Â
(&™
(2.17).
!
#!h)
+
+
Подставляя выражения для !#! (2.17) получимã
á
+
/Ì
где элементы вектора-строки равны:
/<fgh)
<
Á
fgh
+
àh)
+
&(k)4&h
à&(k()4(
+
&(k)4&
+
Â
Используя (2.17), (2.18), (2.13), (2.14), получим окончательную систему
дифференциальных уравнений, описывающих динамику вращающегося на
опорах кольца при действии сил резания, с использованием гипотезы
нерастяжимой средней линии, а также динамику станочного модуля.
RÜ#
OÜÅÜÅE-2
E-2Y
Å
Ü#
Å
E-2
#
:(3Þ#
3#
:
4(3Þ:E
R7^7
^
Y(>k)4&((N
:
O7]7
i
E
]
43Þ
43Þ
(&œ
#4E-2Y
3
i
O
!ÜÅ
Ü!àÌÅE-2
E-2)
3àÌ
!
àÌ:(3Þ!àÌ:E
!
O!7]7
]!
i
43Þ
!
Ì
à
!
((&
39
χ
R!Ü#
Å
Ü!àÌÅE-2
4E-2)
/a
Å
P
-
àÌ:4(3Þ!àÌ:E
!
3àÌ
!
2
QP
R!7^7
i
:
-aP40+((>
P
^!
43Þ
!
àÌ4
!
(((
Полученная система уравнений (2.19)-(2.23) является, в общем случае,
системой нелинейных дифференциальных уравнений, вследствие сил резания, с
постоянными коэффициентами. В правой части находятся силы,
обусловленные процессом резания. В установившемся режиме резания, после
затухания переходного процесса, вызванного заданием требуемой глубины
резания, решением полученной системы будет постоянные величины,
характеризующие отжатие кольца и станочного модуля вследствие действия
сил резания. Периодический колебательный процесс возникает в случае, если
обрабатываемое кольцо будет иметь непостоянные физические и
геометрические характеристики.
Осуществим анализ полученных уравнений динамики кольца с растяжимой
и нерастяжимой средней линией, когда в нем возбужден колебательный
процесс. Фигурирующие в уравнениях (1.63) – (1.71), (2.19) – (2.22)
коэффициенты при обобщенных координатах #, '#
имеют вид
'
ÉÀäå¿æeÀe
X
eÉÀä¿æeÀe
X
[
,
æe¿äeÀÉ
X
Y
[
,
E
43Þ
[
ÉÀäe¿æe
,
Y
, (j = 2,…,N - 1).
,
Они зависят от силы упругости, коэффициенты µ, E и центробежной силы
Ω. При значении скорости вращения Ω = 0 коэффициенты этих систем
уравнений имеют значения, задающие периодическое решение уравнений, т.е.
колебательный процесс в системе. Указанные выражения характеризуют силу,
возвращающую кольцо в положение равновесия. Она зависит от характеристик
упругости µ, ν и угловой скорости вращения кольца Ω. С увеличением Ω
возвращающая сила уменьшается, и, значит, уменьшается частота колебаний
кольца. При некоторых значениях Ω эти коэффициенты делаются равными
нулю, что соответствует прекращению колебаний по этим гармоникам. При
дальнейшем увеличении скорости вращения кольца знаки коэффициентов
меняются на противоположный, что влечет изменение характера решения
системы дифференциальных уравнений. Из периодического решение делается
расходящимся, т.е. имеется точка бифуркации. Процесс колебаний кольца из
периодического делается расходящимся.
Рассмотрим возникновение этого эффекта с точки зрения механики.
Получим зависимости для сил в случае появления колебаний по первой
собственной частоте во вращающемся на двух опорах кольце радиуса r
(рис.2.1). Найдем зависимости для центробежных сил, действующих на
элементарные массы, находящиеся в точках A0 и 0, расположенные
симметрично относительно вертикальной оси. Пусть в результате колебания
0
масса в точке A
из нейтрального положения сместится в положение A на
40
F F F F U m U
2 ( )
F F mU d
θ θ
1
(2 ( ) )
θ θ
−
A A
O
u
FB
B
BO
величину U. Тогда ее радиус относительно оси вращения O стал rA= r + U, а
центробежная сила, действующая на элементарную массу ∆m, равна FA =
m2(r + U). Для точки B
0
радиус уменьшится примерно на величину U,
станет rB = r – U, а центробежная сила, действующая на такую же элементарную массу, равна FB = ∆mΩ2(r - U).
Ω
О
FA
Рис. 2.1. Силы, возникающие в кольце
Суммарная результирующая центробежная сила от этих элементарных масс
F=FA-F
=2mZ
B
U. Суммарная сила, действующая на кольцо, возвращающая
его в нейтральное положение, учитывающая силу упругости и центробежные
силы от элементарных масс в точках A и B имеет вид.
2
.
= − = − ∆ Ω
m y y
∆
( ) 2
Здесь Fy - сила упругости кольца, возвращающая его в нейтральное положение,
зависящая от величины отклонения U.
Из последней формулы видно, что результирующая сила, от которой
зависит частота собственных колебаний, зависит от угловой скорости вращения
кольца Ω, с увеличением Ω, при фиксированном U, она уменьшается.
Вычисляя интеграл для этой силы по всему кольцу получим, что с увеличением
его угловой скорости вращения сила, возвращающая кольцо в нейтральное
положение, уменьшается, а значит и уменьшается собственная частота
колебаний
= − Ω ∆
m y
2
∫
S
.
Здесь θ- угловое положение на кольце элементарной массы.
При превышении угловой скоростью критического значения
Ω = ∆
F mU d
y
∫
S
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]