Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы динамики кольца при его обработке по мобильной технологии. Монография
.pdf
21
=
<
Bo
8
<*
F
2
fgh
G
:
B
#YÅ4_:'O
'
Bo
<iÅ(#
'
:
4_#
2
-
'
_'Y:'-
:__ _
B
=
8
Bo
2
fghXY
B
i_:'O
=
Bo
8
?
fghXY
B
[
'
#
:
'
iE4'Y-
=
Bo
8
?
B
=
B
@8
A
B
i@4'Y -
<8 _:__ fghXY
[
Bo
B
žž
=
'
-
4'Y:'-
Bo
?
B
Æ
=
F
'
B
G
B
B
<8 Æ
F
B
'
#'YO
?
žž
4@
A
B
4
B
4YfghXY
B
4
B
YfghXY
C
'
Y #'O
#'Y:'O
GfghXY
'
B
C
B
[
'
YÇ
Для уравнений, получаемых дифференцированием по#
=
<
Bo
8
4#Y:
=
Bo
8
B
2
F
<*
i_:'-
=
Bo
8
hXY
G
:
B
4_:'-
'
?
hXY
B
?
4YhXY
žž
=
8
#
'
:
'
Bo
B
<i#
[
'
:
4_#
2
'
O
[
[
O
'
hXY
4'Y:'O
<iE4'YO
<i@4'Y O
Å
4(:Y:4YÅ4
_'Y:'O
<
[
'
#'Y:'-
'
:
Y:4Y:
'
4_#'Y:'O
'
<
<
[
'
4_#'Y:'-
'
#'Y-
'
Y #'-
'
_
[
, имеем
_#
#
'
YÇ#
'
<
[
<
'
22
Обобщенные силы резания, действующие по обобщенным координатам
,#
, вычисляем по (1.7) , (1.8).
Найдем более детальные зависимости для сил трения. Имеем
!
B¦
B*
!
"
ƒ
7
@-2i4:'Y -
]
#
:
'
B¦
B
B
B
A
B*
B
À
O
#':'R
'
N7
B
4
!
"
]
'
C
B
:
#
R
N
4'YÇ:'O
"
¿
'
"
À
# :O
B¦
YO
B
:'R
!
'
¿
':'O
'
:O
B¦
À
B#
:
#
'
À
:R
À
YR
'
Y O
4#'YÇ:'-
À
'
¿
¿
'
:`YÇ#`YÈ:`
ƒ
7
@-2i4:'Y O
^
'
4'YÇ:'-
4YÈ:#
'
:
#
YÇ
:
'
Y -
'
4#'YÇ:'O
'
4
Для силы трения, обусловленной растяжением кольца, получим
!
B·
B*
B
B*
B
F
B
:
G
!
"
"
:O
:'R
À
:R
B·
&
B
7
,
7
E-2i4:'Y-
]
'
4'Y:'O
¿
':'O
'
¿
B·
O
B
,
(E-2i:&D&
]
¿
'
!
"
À
'
#
!
À
"
:
#
B·
B#
:
'
:
#
'
À
R
#:O
R
'
YO
4#'Y:'-
O
#':'R
'
À
À
'
:`#`Y:`&D(
,
7
E-2i4:'YO
^
'
4'Y:'-
:
#
'
#
:
'
Y-
'
4#'Y:'O
'
4Y:&D>
Найдём составляющие дифференциальных уравнений, описывающих пове-
дение переменных ',#'Y&(k). В соответствии с (1.16) имеем
=
8
8
=
<
<*
<
<*
F
F
Bo
B
Bo
B
2
G
:
2
G
:
B:
B
B#
<48
'
:
<48
:
É
:
B
=
=
Bo
B
Bo
B
=
B
2
B
<8
'
\
B
2
B#
<8
É
Bo
B
+
&DD
]'
=
Bo
B
ž
B
?
ž
?
ž
B
B
B#
<7
'
ž
<7
É
ƒ
]'
`
^
Ê–
7
7
,
]'
,
^
Ê–
¿
'
\
Для слагаемых запишем
!
Å
Bo
B
"
:É:
Bo
2
:
B
2
fghXY
G
:
=
8
<
<*
!
"
F
#ÉYÅÉ_:O
À
Å
O
É
É
¿
R
É
É
ӕ
:__
!
"
Bo
:É:
"
!
ÉÅ
!
"
É
É
2
4ӕ_:4_
É
#ÉÅ
[
_#
É
<iӕÅÉ#
:
É
R
<
<*
-
O
R
¿
É
É
F
É
B
=
Bo
8
2
fghXY
B
<4iӕ_:O
[
É
#Y:O
Bo
?
@ž4
ž
B
B
B
É
=
Bo
8
?
4YhXY
ž
B
<i@ÉY4`Y -
[
É
iEÉY4`Y-
Для слагаемых (1.45) получим
:
=
8
<
Bo
F
<*
B
4#ÉY:
=
Bo
8
2
B
2
hXY
G
:
_:-
É
hXY
B
B#
R
:
É
[
É
É
_#
<4iӕ_:-
[
É
B
À
É
B#
É
<iӕ4:ÉY:É#
:
O
23
+
&DH
^
Ê–
!
¿
À
É
Bo
B
"
2
!
!
"
G
:
"
#
É:
#É
ӕ
4_Y:-
B
B
É
É
4_É
žž
Ež
ž
¿
YR
R
É
É
É
4#`YO
B
À
É
B#
4_Y:O
É
!
À
Å
R
É
O
É
:
É
É
O
:
É
YO
Å
É
:
"
¿
É
¿
R
É
:
_#Y:O
À
É
É
-
À
É
4:ÉY:É4ÉYÅÉ4
É
_#Y:-
É
O
É
Å_
:
Y:É4ÉY:
É
É
#
ž
É
#
:
#
:
:
:
#
O
É
É
É
O
:
À
É
#
"
B
B:
É
!
É
4Y:-
É
4#`Y O
4Y:O
À
É
É
À
O
É
:
Y:É
É
É
É
É
É
É
24
É
4_#É
É
#Y-
É
É
#Y -
É
=
8
Bo
?
YfghXY
ž
B
#Y:-
<i@#ÉYY O
[
É
iE#ÉYYO
Для сил внутреннего трения, действующих поÉ#Éв соответствии с
(1.25), (1.26) получим
B¦
B
YR
É
¿
É
B¦
B#
É
YO
À
É
B·
B
É
YR
¿
É
B·
B#
É
YO
À
É
Тогда
=
B¦
4YhXY
B*
=
É
YÇ:O
É
<i@-2:ÉY#ÉY :É4
[
É
:
4#
B¦
P
7
]
Ë–
YfghXY
B*
'
4YÇ:-
=
E-28
B·
4YhXY
X
B*
<i@-24'Y :'#
[
'
'
#
:
iE-2:'Y#'Y :'4:Y-
Y:O
=
'
4#
:
YO
'
4#Y:-
B·
YfghXY
B*
'
4Y:-
<iE-24'Y :'#
[
'
'
#
:
Y O
Y -
Y-
É
4#YÇ:-
'
#YÇ:O
[[
'
'
'
#Y:O
<
'
'
É
'
:
:
'
'
Y
Y
7
]
7
7
ƒ
Ê–
ƒ
^
Ë–
P
^
Ë–
@-28
4:Y -
@-28
:Y O
E-28
:YO
Для сил резания, в соответствии с (1.8), (1.9), имеем
U
\
40UfghXY+4_*
]
Ë–
'
[
\
U
40UhXY+4_*
^
Ë–
'
Получим дифференциальные уравнения для переменной P характе-
[
ризующей отжатие станочного модуля. Имеем в соответствии с (1.10), (1.7)
<
B5
.
<*
A
B
C
:
P
/a
Силу внутреннего трения представим формулой 7QP4коэффициент трения по координате
B5
.
Å
P
B
,
N
.
,
B?
B
.
,
-.P\
+
4Ì+
QP
2
QP
:
где -
P
2
QP
–
Используя полученные зависимости, запишем систему дифференциальных
уравнений, описывающих динамику станочного модуля и обрабатываемого
кольца при возникновении в нём прецессионного движения стоячих волн.
Для переменных
iÅ(#
:
Y:4Y:
#'#'
Y&(k)получим
#YÅ4_:'O
'
4_#
:
'
-
'
_'Y:'-
#§Y:'O
Y #'O
4#'YÇ:'-
i#
_'Y:'O
#'Y:'-
Y #'-
4#'YÇ:'O
iÅ'#
4_Y:-
#Y:O
4Y#O
4#
25
'
4_#'Y:'O
'
_iE4'Y-
'
YÇi@-24:'Y -
'
YÇ:#YÈ:iE-24:'Y-
'
:
#
YO
'
40+fghXY+4_*
Å
4(:Y:4#Y:
'
4_#'Y:'-
'
_#iE4'YO
'
YÇ#i@-24:'Y O
'
YÇ#
#
:
'
:
4YÈ:iE-24:'YO
'
Y-
'
4i_:'O
'
4#'Y:'-
4YÅ4_:'-
'
4i_:'-
'
4#'Y:'O
'
#'YO
'
:#Y:
#'Y-
'
'
#
'
4'YÇ:'O
[
'
4'YÇ:'-
:
B7
40+hXY+4_*
:
Y:'4'Y:
'
'
_#Y:O
'
4_'i@4Y -
'
'Yi@-2:'Y#'Y :'4:Y -
Y O
'
4#YÇ:-
:
Y:'O
'
:
#
'
'
Y:'#'YÅ'_:O
'
'
i_:O
'
iE-2:'Y#'Y :'4:Y-
:
4#
YO
[
B#
4#Y O
'
4#Y:-
'
#
'
B7
B
'
#
#
-
'
v
:
O
'
'
4'Y:'-
i@4'Y -
'
#
'
4'Y:'O
B7
B
'
4_#
'
4'Y:'O
i@4'Y O
'
#
4'Y:'-
'
:
4Y:
'
v
#
B7
B#
:
-
'Y
`§
'
'
'
4Y:-
YÇ:O
'
'
:
'
Y O
'
O
Y -
'
'
'
'
'
4
'
4
:
'
v&Dz
:
'
v&DŒ
'
:
_#
iE4Y-
'
-
'
'
'
4
4
4
40+fghXY+4_*
&D™
[
'
Å
i#
4:'Y:'4:'Y:'4'YÅ'4#'Y:
'
4_Y:O
#Y:-
#
:
'
Y -
#-
'
_#Y:-
'
4_#'i@Y O
#'Yi@-2#
'
#YÇ:O
4Y:-
40+hXY+4_*
'
i_:-
'
Y #-
:
Y4'Y :':Y O
'
'
iE-2#
'
#
:
Y-
'
'
:
Y4'Y :':YO
'
#Y:O
_:-
'
:
#
'
#'Y
'
[
'
'
O
4Y:O
iEYO
'
4YÇ:-
'
_#
:
'
O
'
4
&Dœ
Найдем зависимости для получения дифференциального уравнения для
переменной
. Имеем для производной кинетической и потенциальной
энергий
'
'
'
4
26
(
)
t
( cos sin )
= + θ + ϕ + γ
( ) ( ) ( )
A t a t b t
( ) ( ) /
t t i
γ = β
( ) ( ( ) / ( ))
t arctg a t b t
β =
dt
ϕ + γ = Ω
( ), ( )
a t b t
=
8
Bo
B
=
<
Bo
8
<*
B
2
<8 :333
B
=
Bo
8
F
B
?
B
B
B
2
:
:
B
G
=
<8 Å43:
B:
<8 E
Силы трения, действующие по
ƒ
7
N7
]
=
=
B
G<(iE
F
B
, равны (1.41)
P
(iE-2:
]
<(iÅ
<(i3(i3
а сила резания (1.7)
+
\
40+
]
Дифференциальное уравнение для
имеет вид
(iÅ4(i3(iE(iE-2:(i340+vv&HN
а для
P
/.
Å
-.P-
P
2
QP
:
40+&H&
P
Проанализируем полученные уравнения (1.46), (1.49). Нас интересуют
установившиеся колебания кольца Будем рассматривать линейную систему. В
этом случае дифференциальные уравнения, описывающие поведение кольца,
должны быть линейными дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами. Это будет в том случае, если ::'Y&(k) будут
константами. Другим условием для определения ::
является условие, что
'
прецессионное движение стоячих волн осуществляется внутри диапазона углов,
ограниченного опорами. В случае, если ::'Y&(k) константы, это
будет при выполнении условий ::'3Y&(k). Тогда имеем
'
O
&-
имеем
или
где
При
·
'
NÅÅ'N
Рассмотрим прецессию стоячей волны. Вследствие того, что
N
U a a i b i
= + θ + ϕ + θ+ ϕ
0 0
2 2 2
= +
ui ui ui
*
f*Ím, ¦
∑
ui ui ui ui
1
i
=
U a A i
0 0
*
m#*, где m4¯‚†~•Ž†•Žполучим
( )
( )
N
∑
i
,
sin
ui ui ui
1
=
ui ui
*
f*ÍmÎ,¦3ÏÐÑÏÒmÎ,
( )
( )
( )
( )
,
ui ui ui
,
,
ϕ
uj
= Ωt,
.
d
( )
ui ui
, т.е. прецессия происходит с постоянной угловой скоростью,
равной скорости вращения кольца. Кроме того, постоянная скорость прецессии
й гармоники будет при равенстве нулю одной из обобщенных координат
i –
ui ui
.
27
( ), ( )
a t b t
( ) ( ( ) / ( ))
t arctg a t b t
β =
( ), ( )
a t b t
( )uit
γ
( )uit
γ
ui ui ui
dt
ϕ + γ = Ω + γ
&
vj
ϕ
При
ui ui ui
менные
му
ui ui
&
,
*
- периодические функции. Скорость прецессии стоячей волны
nm#
описывают периодический колебательный процесс, поэто-
*
и
ui ui
не равных нулю
и является периодической функцией, т.к. пере-
d
( )
состоит из суммы постоянной и периодической скорости
движения.
Теорема доказана.
Аналогичное доказательство можно привести и для переменной V,
зависящей от
.
Из доказанной теоремы как частный случай получается скорость прецессии
возбужденной стоячей волны в свободно вращающемся кольце [4],
совпадающая с полученной в [2].
1.5. Уравнения динамики кольца с растяжимой средней линией
Используя результат доказанной теоремы, получим систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику обрабатываемого по мобильной
технологии вращающегося на опорах кольца и динамику станочного модуля.
(iÅ(iE-2:(iE4_
(i_40+vv&H(
Å
/.
P
iÅi-
@YÇE:(i_Y#
2
i@YÇE4_&Yi-2_Y@YÇE#4i-2_Y
iY@YE4(_
Yi4Ÿ
i#
Å
i-
@YÇE#
2
:
4(i_Y:4(i_#
i@YÇE4_&Y#4i-2_Y@YÇE4i-2_Y
iY4@Y4E(_
hYi4Ÿ
iÅ'(i_:4i-2YY@E#
i-2Y_@YEiY(_4@YE
2
-
:
-.P40+&H>
P
QP
:
4(i_:'i-2Y@YE#
#'40+fghY
vYiŸ
'40+hY
vhYiŸ
:
i-2Y
:
'
@YE'
+
v&HD
:
4i-2Y@YE:'
'
@YE#'
+
v&HH
@E:'(iY_#
#iY
@E4
:
'
i-2Y
4i-2Y _@E'iY
4_Y&'i-2Y _@E#'
Å
i#
i-2Y@YE:(i_#
'
@E#
40UfghY
:
iY@YE4(_
'
40UhY
Y&(k)
i-2Y_@YE#4
@E4_
+
&Hz
+
:
4(iY_:'
&Y
&HŒ
#'
28
!
!
+
fgh
"
+
#h
"
&H™
+
Система уравнений (1.52)-(1.57) решается с условиями связей (1.11),(1.12) в
точках опор
!
fghi4⍺
"
!
fghi⍺
"
!
#hi4⍺
"
!
#hi⍺
"
N
N
Исключим неопределенные множители и условия связей для получения
окончательной системы уравнений. Для этого в уравнениях (1.54) – (1.55)
зададим Y&. Тогда их можно записать
fghi4
F
hi4
⍺
fghi⍺
⍺
hi⍺
G¹
v
v
º¹
0
(1.59)
º
0
где
0iÅi-
Ó
i
E@4Ó(_
@E:(i_#
2
i@ÓE4Ó(_
0i#
Å
4(i_:i-
4i-2_@Ei
:
4(i_:'i-
i-2_@E#4i-2_@E'
#'0+fgh
@E#
2
Ó
E@4Ó(_
:
4i-
#i(_4ÓE4@
2
4i-2_@E#'0+h
+
@E:'4(i_#
+
@E#
2
.
Ó
'4
:
'
:
'
4
Решая систему уравнений (1.59) и подставляя полученные
v
v
0
(fghi4⍺
0
(fghi4⍺
4
0
(hi4⍺
0
(hi4⍺
в (1.52), (1.54), (1.55) будем иметь
Å4
fghi4
&
(fghi4
_
:'4
⍺
-2_@E
4
(fghi4
Å
⍺
-
(fghi4
#
⍺
E-
@E
2
_
2
:4
-
(fghi4
:
#
'
⍺
-2_@E
(fghi4
0
+
(i
@E
2
E4_
'4
⍺
A
fghi4
fgh
:4
⍺
4
E@4(_
(fghi4
+
4&C&zN
⍺
_
fghi4
E@4(_
(fghi4
#'
⍺
⍺
⍺
:
#
4
fÅÅ-2f
4(_f:'4(_:'-
E@4(_
@E
f
:-
2
E@YÇ4_
@E
@YÇE
2
:
f#
'
&Y
:(_f#
@YE
-2Y
-2_
:
(_Y#
#
@E
:
'
:
f#
4
29
h#
Y
-2_Y
Å
#
Å
4-
2
@E
4-2_
(_4E4@Y
@YÇE
4(_h:4(_Y:-
@E
E@YÇ4_
4
#4-2_
E@4(_
h:'4-2Y
h4-2Y_
'4-2_
0+h
h
i
4f0
i
&Y
@E
f#'Y
+
fgh
@YE
@YÇE
0
4
+
+
2
#
@E
+
hY
i
f'4-2_Y
E@Y4(_
0
+
4
fghY
i
@E
h#
:'4(_h#
(_4E4@
h#'4-2_Y
Y&(k)&z(
+
@YE
#'
&z&
+
:
-
:
'
@YÇE
2
4(_#
E@4(_
h'
@YE
:
'
h#
'
4
#'
:
#
Здесь
4&
~
À
fghY⍺
fghi4
⍺
h
4&hY⍺
hi4
⍺
В уравнениях (1.61), (1.62), (1.56), (1.57) присутствуют переменные
!#
, которые исключим, используя условия связей. Из этих условий имеем
!
!
9
;Ô©0 где
#
!
©r
Ô
4&4fghYi4
4&4fghYi
fgh)i4
⍺
h)i4
A
fgh)i
⍺
Y&(k)4&4hYi4
⍺
Y&(k)4&4hYi
⍺
h)i
¿
⍺
C
⍺
⍺
Y&(k)4&
⍺
Y&(k)4&
4
s,
02»k
Обозначим ÕÕ
соответственно первую и вторую строки матрицы RM.
!¿##
Тогда можно записать !Õ0 #!Õ0
Подставляя эти зависимости в
!
+
fgh
"
+
получим
+
fgh)
&ÕÕ
Õ
+
À
h)
!¿
"
fgh
+
k#
!
#h
"
!¿
+
¼
+
Õ
À
30
!¿
"
h
fgh)
+
Обозначим это выражение
Õ
+
!À
/0. Используя эту зависимость, а
+
h)
+
Õ
!À#
также (1.60), (1.61), (1.62),(1.56), (1.57), (1.53), получим окончательную систему
уравнений, описывающую динамику вращающегося на опорах кольца с учётом
растяжимости средней линии, на которое действуют силы резания.
Å4
fghi4
&
(fghi4
_
:'4
⍺
-2_@E
4
(fghi4
Å
⍺
-
(fghi4
#
⍺
-2E
@E
2
-2_@E
(fghi4
_
:4
#
⍺
0
(i
-
@E
2
(fghi4
:
'
E4_
⍺
fgh
+
A
fghi4
'4
+
:4
⍺
4
E@4(_
E@4(_
(fghi4
_
fghi4
⍺
⍺
:
#
4
#'
(fghi4
⍺
4&C&z>
⍺
fÅÅ-2f
4(_f:'4(_:'-
E@4(_
@YÇE
-2_Y
@E
f
E@4(_
:-
E@YÇ4_
#4-2_
f#'Y
0
4
i
@E
2
@E
+
ffgh
@YÇE
2
:
f#
&Y
f'4-2_Y
E@Y4(_
+
:(_f#
-2Y
'
-2_
fghY
:
(_Y#
@YE
#
@E
:
'
f#
@YE
'
#'
&zD
+
:
4
h#
Å
#
4-
Å
2
4-2_
(_4E4@Y
Y
4(_h:4(_Y:-
@E
@YE
h:'4-2Y
@E
@YÇE
h4-2Y_
E@YÇ4_
&Y
'4-2_
0
4
+
i
hh
hY
+
2
#
@E
@E
:
h#
:'4(_h#
E@4(_
(_4E4@
h#'4-2_Y
Y(>k)4&&zH
+
-
:
'
@YÇE
2
4(_#
h'
@YE
:
4
'
h#
:
#
#'
4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]