Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика. Учебные задания и примеры по расчету статически определимых систем. Учебное пособие
.pdf
6. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮРЫ M В ПРОСТЕЙШЕМ
ЗАМКНУТОМ КОНТУРЕ
Для рамы, изображенной на рис. 39, требуется построить эпюруM. Вычисление опорных реакций в системах с замкнутым контуром традиционно
проводится с использованием уравнений равновесия. Особенность расчета
контура заключается в том, что при нахождении внутренних усилий в сечениях контура не удается посмотреть по одну сторону от сечения, так как в
замкнутой системе происходит возвращение к сечению с другой стороны.
Выход заключается в том, чтобы превратить контур в открытую раму,
разорвав его в некотором сечении. Затем, определив внутренние усилия в
этом сечении, рассматривать их как внешние силы для образовавшейся рамы. Проще всего раскрыть контур по сечению с шарниром, так как здесь
имеются только две составляющие внутреннего усилия (M= 0), а в любом
другом сечении — три. Для определения сил в одном из шарниров контура
используются условия равенства нулю моментов в двух других шарнирах.
a
P = 60 кН
a
H
A
V
A
a a
Рис. 39. Расчетная схема рамы
V
B
81
6.1. Определение степени статической неопределимости
и геометрической неизменяемости
6.1.1. Количественный анализ
где
n
— число опорных реакций (опорных стержней);
о.р
контуров; n
Поскольку
поскольку
n = n
— число одиночных шарниров.
о.ш
n
ст.н
n ⩾
0, необходимое условие геометрической неизменяемости также
+ 3 · nк− 3 − n
о.р
= 3 + 3 · 1 − 3 − 3 = 0,
о.ш
nк— число замкнутых
= 0, то система статически определима. Кроме того,
выполнено.
6.2. Определение реакций
Расчеты ведутся в глобальной правой системе координат, изображенной
на рис. 2.
Запишем уравнения равновесия:
X
FX= P + HA= 0;
X
FZ= VA+ VB= 0;
X
MA= VB· 2a − P · a = 0.
Решим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) любым удобным способом:
HA= −60 кН;
VA= −30 кН;
VB= 30 кН.
6.3. Процедура построения эпюры M
Приложим к контуру найденные силы, заменив принятые направления
векторов
HAи
VAна противоположные. Рассечем контур по шарниру
D
(см. рис. 40). Возникает вопрос: «К какой части сечения отнести силу P,
приложенную к шарниру?»
Когда внешняя сила действует в рассекаемом сечении, она разносится
между двумя образовавшимися точками произвольно, но так, чтобы в сумме
две новые силы давали бы исходную. Если сила
P
действует в сечении на
оси симметрии системы, то при рассечении рамы по оси симметрии к обеим
82
HA= P
6
1
I
V
V
D
P
II
2
V
a
H
D
D
H
D
3
III
IV
a
5
4
VA=
Рис. 40. Рассечение замкнутого контура в шарнире D
P
2
частям прикладываются силы, равные
a a
P
. Это позволяет сохранить симметрию
2
VB=
P
2
задачи. В общем случае часто внешнюю силу в рассекаемом сечении целиком
относят к одной части сечения.
В рассматриваемой задаче отнесем силуPк нижнему сечению и зададимся
направлением составляющих
определения
EиC
. При записи выражений для моментов в точках
HDи
VDвоспользуемся равенством нулю моментов в шарнирах
HDи
VDвнутренней силы в шарниреD. Для
EиC
смотрим по
одну сторону от сечения (рис. 40):
X
ME= HD· a − VD· 2a = 0;
X
MC= HD· a + VD· a − P · a + VA· a = 0.
Решая систему уравнений, найдем величину давления в шарнире:
P
VD=
= 10 кН;
6
P
HD=
= 20 кН.
3
После раскрытия контура и вычисления сил в шарниреDдля построения
эпюр внутренних усилий можно применить стандартные приемы построения.
Выделим в системе пять незагруженных участков: I – V и отметим сечения
1 – 6 на границах участков (см. рис. 40).
Из дальнейших рассуждений будет ясно, что для построения эпюры
M
достаточно определить моменты в сечениях 1 и 2:
83
40
40
−
6
1
−
I
V
a
IV
−
II
2
80
3
−
a a
III
80
80
Рис. 41. Эпюра усилий M (размерность в кНм)
80
+
5
4
a
M1= HD· a = 20 · 2 = 40 кН;
M2= HD· a − P · a = 20 · 2 − 60 · 2 = −80 кН.
В сечении 1 растянуто левое волокно. В сечении 2, приняв направление
для
HDкак условно положительное, было получено отрицательное значение
момента. Следовательно, направление растянутого волокна нужно определять
по силе P , и оно будет расположено слева.
Отложив в сечениях полученные ординаты со стороны растянутых волокон
и учитывая, что
MD= 0, строим линейные эпюры на и II участках. В сечении
3 участка III момент определяется из условия моментного равновесия узла
с сечениями 2 и 3. Строится линейная эпюра
M
на участке III от ординаты
80 в сечении 3 через ноль в шарнире до сечения 4. Здесь значение момента,
равное 80 кНм, определяется из подобия треугольников эпюры.
В сечение 5 момент на эпюре графически переносится из сечения 4 по условию моментного равновесия узла. Изображается линейная эпюра на участке
IV от ординаты в сечении 4 до нуля в шарнире E.
Аналогично из условия равновесия узла определяется значение момента в
сечении 6 и строится линейная эпюра M на участке V.
84
Отметим, что моментное равновесие всех узлов рамы обеспечивалось в
процессе построения эпюрыM. Проводим пунктир, расставляем знаки ординат
эпюры моментов (рис. 41).
Построение эпюрQи
N
не рассматривается, так как последовательность
действий полностью идентична рассмотренному примеру из гл. 4.
Рекомендации по раскрытию замкнутого контура:
1.
При раскрытии контура лучше рассекать его по ненагруженным шарнирам (в рассмотренном примере — по шарнирамEиC, а не по шарнируD),
так как наличие силы P вносит дополнительные сложности в расчет.
2.
Лучше стараться не разрезать опорный шарнир, так как неизвестные
внутренние силы в шарнире (например,
V
ш
F
ш
и
H
) будут неравны опорным
F
реакциями в опоре F (VFи HF).
3.
В случае когда два шарнира контура лежат на одной прямой, то рассекать контур лучше всего по одному из этих шарниров.
4.
Если контур включает в себя ненагруженный стержень с шарнирами
на концах, то рассекать его лучше по одному из этих шарниров, так как сразу
известно, что внутренняя сила в шарнире, направленная поперек стержня,
равна нулю (так как стержень с двумя шарнирами по краям суть стержень
плоской фермы, в котором могут возникать только усилия растяжения и
сжатия).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Константинов И. А. Строительная механика : учебные задания и
задачи по расчету стержневых систем / И. А. Константинов, В. В. Лалин,
И. И. Лалина. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2007. – С. 47.
2.
Константинов И. А. Учебные задания по строительной механике /
И. А. Константинов, В. А. Рукавишников, В. А. Смелов. – Л. : Изд-во ЛПИ,
1981. – С. 47.
Дьяков Станислав Федорович
Лалина Ирина Игоревна
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УЧЕБНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕРЫ ПО РАСЧЕТУ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Редактор Л. В. Ларионова
Корректор Н. Б. Цветкова
Оригинал-макет подготовлен автором
Дизайн обложки Е. В. Гладышевой
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т. 2; 95 3005 – учебная литература
Подписано в печать 18.04.2024. Формат 60×84/16. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 5,5. Тираж 50. Заказ 3753.
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре
Политехнического университета.
195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.
Тел. (812) 552-77-17; 550-40-14.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]