Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика. Учебные задания и примеры по расчету статически определимых систем. Учебное пособие
.pdf
5
q1= 10
VA= 44,333 кН
HA= 68,2 кН
Рис. 30. Определение момента в сечении 5
C
A
3,6 м 3,6 м
п. 4.4.3: он направлен по часовой стрелке и равен 159,6
кН
м
3,0 м 3,0 м
кНм
. Следовательно,
момент в сечении 4 должен его уравновешивать: быть сверху от сечения 4,
быть направленным против часовой стрелки и быть равным 159,6
кНм
. Что
и было получено в данном пункте.
4.4.5. Сечение 5
Определим (для наглядности) момент в сечении 5 снизу (см. рис. 30).
Снизу от сечения 5 момент будут создавать опорные реакции
VA,
HAи рас-
пределенная нагрузкаq. Из-за большого разнообразия действующей нагрузки
определить быстро, какое сечение растянуто, трудно. Прибегнем к расчетам:
низ
M
= VA· 3,6 − HA· 6 + q · 6 · 3 =
5
= 44,333 · 3,6 − 68,2 · 6 + 10 · 18 = −69,6 кНм.
Значение изгибающего момента получилось отрицательным. То есть его
направление в сечении 5 снизу не совпадает с направлением момента от
сил, которые были условно приняты за положительные, — это момент от
реакции
VA, направленный по часовой стрелке. Получается, что момент в
сечении 5 снизу будет направлен против часовой стрелки. Такой момент будет
растягивать левое волокно. Следовательно, значение момента по модулю
должно быть отложено влево.
71
M4= 159,6 кНм
4
M3= 159,6 кНм
Рис. 31. Моментное равновесие узла 3-4
M2= 60 кНм
Рис. 32. Моментное равновесие узла 1-2-5
3
2 1
5
M5= 69,6 кНм
M1= 129,6 кНм
4.4.6. Проверка моментного равновесия узлов
Обязательным элементом промежуточного контроля является проверка
моментного равновесия узлов. Идея проверки заключается в том, что любой
вырезанный фрагмент должен находиться в равновесии под действием внутренних усилий, возникающих в сечениях, и внешней нагрузки (при наличии).
В данном случае сечения проведены максимально близко к узлам, поэтому внешняя нагрузка не учитывается (даже равномерно распределенная),
и равновесие должно достигаться только за счет внутренних усилий.
M4− M3= 159,6 − 159,6 = 0;
M5+ M2− M1= 69,6 + 60 − 129,6 = 0.
Моментные равновесия узлов выполняются. Построим эпюру изгибающих
моментов.
4.4.7. Построение эпюры M
Как известно, эпюра изгибающего момента
M
строится на растянутом
волокне. Какое волокно растянуто в каждом из ключевых сечений, было
определено в пп. 4.4.1 – 4.4.5. Откладываем найденные значения по модулю
со стороны растянутого волокна: получаем набор точек, которые необходимо соединить определенным образом. На участкахB-2, 1-P,A-3, 4-5 эпюра
моментов будет изменяться по линейному закону, так как данные участки
72
129,6 кНм
60 кНм
−
x
1
3 уч. 4 уч.
69,6 кНм
+
−
x
1
M
1 уч.
x
1
+
Рис. 33. Эпюра изгибающих моментов M
−
159,6 кНм
2 уч.
159,6 кНм
не нагружены. На участке 4-5 эпюра моментов будет изменяться по закону
квадратичной параболы, так как данный участок нагружен равномерно распределенной нагрузкой. Как известно, парабола однозначно строится по трем
точкам. В качестве третьей точки в данном случае выступает шарнир, про
который заранее известно, что изгибающий момент в нем равен нулю. После
этого произвольно проводим пунктир (или выбираем направление для местной
оси
x1) для каждого из стержней и в соответствии с пунктиром (или направ-
лением местной оси) проставляем знаки: эпюра со стороны пунктира получает
знак «+» (плюс), а с обратной стороны — знак «−» (минус). Итоговый вид
эпюры моментов M приведен на рис. 33.
4.5. Построение эпюры поперечных сил Q
Разобьем раму на участки 1 – 4 (рис. 33). Критерием разбиения на участки
является требование к эпюре
каждого участка. Для определения величины перерезывающего усилия
M
быть гладкой и непрерывной в пределах
Q
на каждом из участков используем формулу (2), где полученный знак влияет только на то, куда будет откладываться эпюра
Q
на соответствующем
73
стержне: условно положительныеQ— со стороны, противоположной пунктиру,
а условно отрицательные — со стороны пунктира.
Следует повторно обратить внимание, что выбор из двух формул в (2)
происходит в зависимости от того, как взаимно расположены равномерно
распределенная нагрузка, действующая на стержень и пунктир: по разные
стороны от стержня или нет:
– 1-й участок:
Q
H
K
M3− 0
=
3,6
159,6 − 0
=
3,6
= 43,333 кН;
– 2-й участок:
Q
H
K
M5− M
=
6
q · 6
4
±
2
−159,6 − 69,6
=
QH= −8,2 кН,
6
±
10 · 6
= −38,2 ± 30 =
2
=
QK= −68,2 кН;
– 3-й участок:
Q
H
K
M2− 0
=
7,2
−60 − 0
=
7,2
= −8,333 кН;
– 4-й участок:
Q
H
K
0 − M
=
3,6
0 − (−129,6)
1
=
3,6
= 36 кН.
Итоговый вид эпюры перерезывающих сил Q приведен на рис. 34.
4.5.1. Построение эпюры продольных сил N
Для построения эпюры продольных сил
N
необходимо рассмотреть равновесие вырезанных узлов рассматриваемой рамы. Поскольку на данном этапе
эпюры
MиQ
уже построены, то направление перерезывающей силы во всех
сечениях может быть легко определено по правилу тупого угла, а значения
взяты по модулю непосредственно с эпюры. Далее, рассматривая равновесие узлов на горизонтальную и вертикальную оси, могут быть определены
направления и величины продольных усилий N.
Будем считать сжимающее продольное усилие отрицательным, а растягивающее — положительным. При этом положительные продольные усилия будем
откладывать со стороны, противоположной пунктиру, а отрицательные — со
стороны пунктира.
74
36 кН
x
1
+
8,333 кН
−
x
8,2 кН
1
Q
44,333 кН
x
1
+
+
68,2 кН
Рис. 34. Эпюра перерезывающих сил Q
N4= 44,333 кН
Q4= 68,2 кН
4
Q3= 44,333 кН
3
3
Рис. 35. Равновесие узла 3-4
Узел 3-4
Запишем уравнения равновесия на осиxиzи определим по ним величину
и направление продольных усилий:
X
Fx= N3− Q4= 0 ⇒ N1= 68,2 кН (сжимает);
X
Fz= Q3− N4= 0 ⇒ N4= 44,333 кН (сжимает).
Узел 1-2-5
Запишем уравнения равновесия на осиxиzи определим по ним величину
и направление продольных усилий:
75
N2= 8,2 кН
Q2= 8,333 кН Q1= 36 кН
Рис. 36. Равновесие узла 1-2-5
N1= 0
2 1
5
Q5= 8,2 кН
N5= 44,333 кН
8,2 кН
x
1
N
Рис. 37. Эпюра продольных сил N
x
1
68,2 кН
+
44,333 кН
x
1
+
−
X
Fx= Q5− N2= 0 ⇒ N2= 8,2 кН (растягивает);
X
Fz= −Q2− Q1+ N5= 0 ⇒ N5= Q1+ Q2= 36 + 8,333 =
= 44,333 кН (сжимает).
Итоговый вид эпюры продольных сил N приведен на рис. 37.
4.6. Статическая проверка
После построения эпюрM,Q,
N
требуется проверить, удовлетворяют ли
найденные внутренние усилия условиям равновесия отдельных частей рамы,
в том числе и узлов. Моментные уравнения равновесия узлов выполняются
при построении эпюры M (см. рис. 31 и 32). Силовые уравнения равновесия
выполняются при построении эпюры N (см. рис. 35 и 36).
76
Q2= 8,333 кН
P = 36 кН
N2= 8,2 кН
M2= 60 кНм
Q3= 44,333 кН
N3= 68,2 кН
M3= 159,6 кНм
Рис. 38. Равновесие отсеченной части рамы (вертикальный разрез)
B
A
C
q1= 10
3,6 м
кН
м
3,0 м 3,0 м
Заключительным этапом проверки является контроль равновесия части
рамы, находящейся под действием внешней нагрузки и внутренних усилий.
Для этого проведем вертикальное сечение и рассмотрим равновесие правой отсеченной части. При необходимости таких сечений можно провести несколько,
тем самым проконтролировав равновесие всех участков рамы:
X
Fx= N3− N2− q1· 6 = 68,2 − 8,2 − 10 · 6 = 0;
X
Fz= Q3− Q2− P = 44,333 − 8,333 − 36 = 0;
X
MC= M2− M3+ N3· 3 + N2· 3 − P · 3,6 − q · 3 · 1,5 + q · 3 · 1,5 =
= 60 − 159,6 + 68,2 · 3 + 8,2 · 3 − 36 · 3,6 − 10 · 3 · 1,5 + 10 · 3 · 1,5 = 0.
Условия равновесия выполняются. Следовательно, эпюры построены верно.
77
5. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР
КОНТУРОМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Для рамы, схема которой выбирается из табл. 9 в соответствии с первыми
M,Q
И
N
В РАМЕ С ЗАМКНУТЫМ
двумя цифрами шифра
ном номере необходимо поменять в схеме местами подвижную и неподвижную
опоры.
Размеры рамы и значения нагрузок определяются по данным табл. 8.
Требуется:
1.
Провести структурный анализ рамы: проверить, является ли она стати-
чески определимой и геометрически неизменяемой конструкцией.
2. Построить эпюру усилий M вручную.
3.
Проверить правильность построенной эпюрыM, в частности проконт-
ролировав моментное равновесие узлов.
4. По построенной эпюре M построить эпюру Q.
По построенным эпюрам
5.
смотреть силовое равновесие узлов рамы.
6. Выполнить статическую проверку:
ABCD
, выданного студенту преподавателем. При чет-
M
и
Q
построить эпюруN. Для этого рас-
— проверить равновесие отсеченной части рамы (чаще всего ригеля).
7.
Применяя численное интегрирование (формулу Симпсона), определить
одно из следующих перемещений:
—
вертикальное перемещение точкиRи угол раскрытия шарнираS, если
сумма всех четырех цифр шифра четная, но не кратна 4;
—
взаимное сближение точекSи
сумма всех четырех цифр шифра четная и кратна 4;
—
горизонтальное перемещение точки
если сумма всех четырех цифр шифра нечетная и не кратна 3;
78
W
и угол раскрытия шарнираS, если
S
и угол раскрытия шарнираR,
—
горизонтальное перемещение точки
W
и угол раскрытия шарнираT,
если сумма всех четырех цифр шифра нечетная и кратна 3.
Указания:
1.
Допускается не учитывать влияние деформаций сдвига и растяжения—
сжатия на величину перемещений.
2.
Результаты вычислений выразить через через
EI1, где
EI1— жесткость
на изгиб стоек;
EI2и
EI3— соответственно жесткости верхнего и нижнего
ригелей.
3.
Рисовать схему рамы следует в масштабе, в соответствии с заданными
размерами и обозначить на рисунке сразу числовые значения размеров.
4.
На расчетной схеме не следует изображать нулевые нагрузки с нулевыми
значениями.
Таблица 8
Размеры Соотношение жесткостей
C
0 3,0 4,0 1× 1,5× 2,0 0 20 40 0
1 4,0 3,5 1× 1,0× 2,0 1 0 40 25
2 4,5 5,0 1× 1,2× 1,5 2 30 40 0
3 5,0 4,5 1× 0,8× 1,2 3 0 40 25
l h
м м
EI1×EI2×EI
3
D
кН
q
1
/м
Нагрузки
q
2
кН
/м
кН
q
3
/м
4 2,0 3,0 1× 1,2× 2,0 4 20 50 0
5 3,5 2,5 1× 1,2× 1,6 5 0 50 25
6 2,5 3,0 1× 0,9× 1,5 6 30 25 0
7 2,0 2,5 1× 1,3× 1,8 7 0 20 30
8 2,5 4,0 1× 0,6× 0,8 8 40 30 0
9 3,0 3,5 1× 0,8× 1,6 9 0 30 45
79
Таблица 9
AB Схема рамы AB Схема рамы AB Схема рамы
01
02
07
08
13
14
q
1
q
1
q
3
T
R
q
2
W
S
q
3
h
03
04
h
T
l l
q
1
R
q
2
W
S
q
3
h
h
09
10
q
2
T
l l
q
1
R
R
h
W
S
q
q
3
2
T
15
16
h
T
S
l l
R
W
W
R
W
q
3
T
q
3
T
l l
q
3
W
R
h
S
q
q
1
2
h
h
q
2
05
06
h
l l
q
1
h
S
11
12
h
S
q
1
W
q
3
h
q
2
h
T
R
l l
q
1
q
1
T
h
S
q
2
17
18
h
S
W
q
3
h
q
2
h
R
19
20
25
26
q
T
3
l l
S
l l
W
l l
R
R
l l
q
3
l l
q
1
T
h
W
q
1
q
2
21
22
h
R
S
W
q
1
h
q
2
h
23
24
q
2
W
R
h
S
q
3
h
T
T
l l
q
3
h
S
q
q
1
2
h
27
28
q
2
W
q
1
q
3
h
S
29
30
h
S
l l
T
W
q
3
q
1
h
q
2
h
T
R
l l
l l
R
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]