Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика. Учебные задания и примеры по расчету статически определимых систем. Учебное пособие
.pdf
R
A
x
K
a b
1
+
P = 1
a + b = l
ЛВ R
a
ЛВ Q
+
−
Рис. 17. Типовые линии влияния опорной реакции, изгибающего момента M
и перерезывающей силы QKв консольной балке
1
b
ЛВ M
K
K
– на конце левой консоли:
1,5 · 1,114
ЛВ =
= 0,204.
8,2
K
Линии влияния опоры IV (VD)
В данном случае опорой IV выступает опораD. Построение линии влияния
начинается аналогично со звена, в котором находится опора, т. е. со звена V.
Используем типовой вид для линии влияния опорной реакции (см. рис. 16)
в простой однопролетной балке и применим его для звена V: откладываем
значение 1 под опорой
D
(первая точка) и фиксируем вторую точку (значение 0) в опореE. Так как линии влияния всегда линейны, проводим прямую
через указанные две точки (захватывая в том числе и консоли 3-D и E-4).
После того как линия влияния в пределах звена V построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку на
рассматриваемое звено V могут влиять только расположенные выше звенья
31
(для этого легко ориентироваться по этажной схеме), то линию влияния
следует продлить влево (до начала звена I) и вправо (до конца звена IV).
Очевидно, что если подвижная силаPокажется над опорамиA,B,C,F,
то опорная реакция
точки: значение 0 на опорахA,B,C,
Соединяем их попарно прямыми, захватывая соответствующие консоли.
Значение ординат определяем из подобия треугольников:
– под фиктивной опорой 3:
– под фиктивной опорой 4:
– под фиктивной опорой 2:
VD= 0. Таким образом, на каждом звене имеется по две
F
и под фиктивными опорами 1, 2, 3, 4.
9 · 1
ЛВ3=
ЛВ4=
= 1,125;
8
0,8 · 1
= 0,1;
8
ЛВ2=
– под фиктивной опорой 1:
ЛВ1=
– под силой P :
ЛВP=
– на конце левой консоли:
ЛВ =
– на конце правой консоли:
1,125 · 1
= 0,1875;
6
0,1875 · 0,8
= 0,02143;
7
0,1875 · 4
= 0,1071;
7
0,02143 · 1,5
= 0,00392;
8,2
32
ЛВ =
0,1 · 1,5
= 0,01829.
8,2
0,01829
+
F
0
IV
= 42 кН/м
2
P = 80 кН M = 100 кНм
4
D E
3
C
2
B
1
−
0,1
0
D
и V
V
+
B
1
1,0 8,0 0,8 8,2 1,5
2.5
1,125
III
0
0
0,429
0,1875
−
II
+
1
0,1071
0
+
Рис. 18. Линии влияния опорных реакций V
1,114
0,02143
I
= 26 кН/м q
1
q
A
1,5 8,2 0,8 4,0 3,0 1,0 3,5
0
−
0
−
0,204
B
ЛВ V
0,00392
D
ЛВ V
33
2.8.2. Определение реакций опор с помощью линий влияния
Значения реакций опор
VBи
VDот заданной нагрузки могут быть опреде-
лены по ординатам линий влияния. Действие сосредоточенной силы может
быть учтено посредством умножения ее значения на ординату линии влияния под ней. Для учета распределенных нагрузок следует площади участков
между линией влияния и осью балки умножить на величину интенсивности
распределенной нагрузки. Действие сосредоточенного момента учитывается
посредством умножения его значения на тангенс угла наклона линии влияния
под ним. По принципу независимости действия сил алгебраическая сумма
всех полученных значений даст величину каждой опорной реакции.
В общем случае какое-либо усилиеSс помощью линий влияния определя-
ется по формуле
S =
n
X
i=0
Pi· hi+
m
X
Mj· tg αj+
j=1
l
X
k=1
qk· ωk,
где
Pi— сосредоточенная сила (считается положительной, если действует вниз,
и отрицательной, если действует вверх);
hi— ордината линии влияния под этой
силой (знак ординаты совпадает со знаком линии влияния: ордината считается
положительной, если отложена вниз, и отрицательной, если отложена вверх);
Mj— сосредоточенный момент (считается положительным, если действует
по часовой стрелке, и отрицательным, если против);
tg αj— тангенс угла
наклона линии влияния под этим моментом (считается положительным, если
линия влияния нисходящая (то есть при движении слева направо ордината
линии влияния растет), и отрицательным, если линия влияния восходящая
(то есть при движении слева направо ордината линии влияния уменьшается));
qk— интенсивность распределенной нагрузки (считается положительной, если
действует вниз, и отрицательной, если действует вверх);
ωk— площадь линии
влияния под участком распределения нагрузки (знак площади совпадает со
знаком линии влияния: площадь считается положительной, если отложена
вниз, и отрицательной, если отложена вверх).
Определение реакции опоры V
B
Над ненулевым участком линии влияния реакции опоры
распределенная нагрузка интенсивностью
q1= 26
кН/м
34
VBесть только
и сосредоточенная
сила
P
= 80
кН
. Так как ординаты линий влияния безразмерные, площадь
линии влияния имеет размерность длины (м).
Площадь участка линии влияния под распределенной нагрузкой следует
принимать с учетом знака линии влияния, поэтому разбиваем участок линии
влияния под равномерно распределенной нагрузкой на элементарные фигуры:
два треугольника и трапеция:
ω = −
1
0,204 · 1,5 +
2
1
1,114 · 8,2 +
2
1 + 1,114
0,8 = 5,26 м.
2
Тогда значение опорной реакции составит (ордината под силой
yP= +0,429:
VB= q1· ω + P · yP= 26 · 5,26 + 80 · 0,429 = 171,1 кН,
что совпадает со значением, определенным в п. 2.6.
Определение реакции опоры V
D
Над ненулевым участком линии влияния реакции опоры
две распределенные нагрузки интенсивностью
сосредоточенная сила
100
кНм
. Так как ординаты линий влияния безразмерные, площадь линии
P
= 80
кН
, а также сосредоточенный момент
q1= 26
кН/миq2= 42
влияния имеет размерность длины (м).
Площадь под распределенной нагрузкой
q1= 26
кН/м
следует принимать
P
равна
VDприсутствуют
кН/м
M
=
,
с учетом знака линии влияния, поэтому разбиваем участок линии влияния
под равномерно распределенной нагрузкой на элементарные фигуры: три
треугольника:
ω1= −
1
0,00392 · 1,5 +
2
1
0,02143 · 8,2 +
2
1
0,02143 · 0,8 = 0,09354 м.
2
Тангенс угла наклона линии влияния под сосредоточенным моментом
вычисляем по определению тангенса угла (в данном случае тангенс положительный, так как линия влияния нисходящая):
1,125
tg α =
= 0,1875.
6
Площадь под распределенной нагрузкой
q2= 42
кН/м
находим как пло-
щадь треугольника:
1
ω2=
1 · 8 = 4 м.
2
35
Тогда значение опорной реакции составит (ордината под силой
P
равна
yP=−0,1071, момент
M
= 100
кНм
положительный, так как действует по
часовой стрелке):
VD= q1· ω1+ P · yP+ M · tg α + q2· ω2= 26 · 0,09354 + 80 · (−0,1071) +
+ 100 · 0,1875 + 42 · 4 = 180,6 кН,
что совпадает со значением, определенным в п. 2.6.
2.8.3. Линия влияния изгибающих моментов от подвижной
силы P = 1
Проведем сечения
чение
K3над опорой IV (D). Построим линии влияния изгибающих моментов,
K1, K2в серединах пролетовC-DиD-E. Проведем се-
возникающих в этих сечениях (см. рис. 19).
Линия влияния изгибающего момента в сечении K
1
Построение линии влияния начинаем со звена, в котором находится опора,
т. е. со звена III.
Используем типовой вид для линии влияния изгибающего момента в пролете простой балки (см. рис. 16) и применим его для звена III: откладываем
расстояние от сечения
дываем расстояние от сечения
K1до опоры
K1до опоры
D
под опоройC. Затем зеркально откла-
C
под опоройD. Получаем две
ветви линии влияния (захватывая в том числе консоль 2-C).
После того как линия влияния в пределах звена III построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку на
рассматриваемое звено III могут влиять только вышерасположенные звенья,
то линию влияния следует продлить до начала звена I и оборвать справа
(в конце звена III).
Нетрудно убедиться, что если подвижная сила
A
илиB, то изгибающий момент в сечении
K1окажется равным нулю (так
P
окажется над опорами
как воздействие силыPбудет целиком воспринято опорамиAилиB). Таким
образом, на каждом звене имеется по две точки: на опорах
A, B
(значение 0) и
под фиктивными опорами 1 и 2. Соединяем их попарно прямыми, захватывая
соответствующие консоли.
36
Знаки линий влияния изгибающих моментов такие же, как и линии влияния опорных реакций: положительные ординаты откладываем вниз, отрицательные — вверх. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют
размерность длины (м). Значение ординат определяем из подобия треугольников:
– под фиктивной опорой 2:
1 · 1,5
ЛВ2=
= 0,5;
3
– под силой P :
4 · 0,5
ЛВP=
= 0,2857;
7
– под фиктивной опорой 1:
0,8 · 0,5
ЛВ1=
= 0,05714;
7
– на конце левой консоли:
1,5 · 0,05714
ЛВ =
= 0,01.
8,2
Линия влияния изгибающего момента в сечении K
2
Построение линии влияния начинаем со звена, в котором находится опора,
т. е. со звена V.
Используем типовой вид для линии влияния изгибающего момента в пролете простой балки (см. рис. 16) и применим его для звена V: откладываем
расстояние от сечения
дываем расстояние от сечения
K3до опорыEпод опоройD. Затем зеркально откла-
K3до опоры
D
под опоройE. Получаем две
ветви линии влияния (захватывая в том числе консоли 3-D и E-4).
После того как линия влияния в пределах звена V построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку на
рассматриваемое звено V могут влиять только расположенные выше звенья,
то линию влияния следует продлить до начала звена I влево и до конца звена
IV вправо.
Нетрудно убедиться, что если подвижная сила
A,B,C,F
, то изгибающий момент в сечении
P
окажется над опорами
K3окажется равным нулю
37
(так как воздействие силыPбудет целиком воспринято опорамиA,B,C,F).
Таким образом, на каждом звене имеется по две точки: на опорахA,B,C,
F
(значение 0) и под фиктивными опорами 1, 2, 3, 4. Соединяем их попарно
прямыми, захватывая соответствующие консоли.
Знаки линий влияния изгибающих моментов такие же, как и линии влияния опорных реакций: положительные ординаты откладываем вниз, отрицательные — вверх. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют
размерность длины (м). Значение ординат определяем из подобия треугольников:
– под фиктивной опорой 3:
1 · 2
ЛВ3=
– под фиктивной опорой 2:
= 0,5;
4
ЛВ2=
– под силой P :
ЛВP=
– под фиктивной опорой 1:
ЛВ1=
– на конце левой консоли:
1,5 · 0,009523
ЛВ =
– под фиктивной опорой 4:
1 · 0,5
= 0,083;
6
4 · 0,083
= 0,04761;
7
0,8 · 0,083
= 0,009523;
7
= 0,001741;
8,2
– на конце правой консоли:
38
ЛВ3=
ЛВ =
0,8 · 2
= 0,4;
4
1,5 · 0,4
= 0,07317.
8,2
Линия влияния изгибающего момента в сечении K
3
Построение линии влияния начинаем со звена, в котором находится опора,
т. е. со звена V.
Используем типовой вид для линии влияния изгибающего момента на
консоли простой балки (см. рис. 17) и применим его для звена V: откладываем
расстояние от сечения
K3до фиктивной опоры 3 (вылет консоли) над фиктив-
ной опорой 3. Второй точкой выступает опораD. Соединив две полученные
точки, получаем линию влияния на звене V.
После того как линия влияния в пределах звена V построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку
формально на рассматриваемое звено V могут влиять все расположенные
выше звенья, то линию влияния следует продлить до начала звена I. Однако
продлевать линию влияния вправо (на звено IV) не нужно, так как, несмотря
на то, что оно расположено выше, линия влияния не может перескочить через
пролет D-E и, как результат, вправо не пойдет.
Нетрудно убедиться, что если подвижная сила
A,B
(так как воздействие силы
C
илиC, то изгибающий момент в сечении
P
будет целиком воспринято опорамиA,
). Таким образом, на каждом звене имеется по две точки: на опорахA,B,
P
окажется над опорами
K3окажется равным нулю
B
или
C
(значение 0) и под фиктивными опорами 1, 2, 3. Соединяем их попарно
прямыми, захватывая соответствующие консоли.
Знаки линий влияния изгибающих моментов такие же, как и линии влияния опорных реакций: положительные ординаты откладываем вниз, отрицательные — вверх. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют
размерность длины (м). Значение ординат определяем из подобия треугольников:
– под фиктивной опорой 2:
1 · 0,5
ЛВ2=
= 0,083;
6
– под силой P :
4 · 0,083
ЛВP=
= 0,0476;
7
39
– под фиктивной опорой 1:
0,8 · 0,083
ЛВ1=
= 0,009523;
7
– на конце левой консоли:
1,5 · 0,009523
ЛВ =
= 0,00174.
8,2
2.8.4. Линия влияния перерезывающих сил от подвижной
силы P = 1
В уже рассмотренных сечениях
K2и
K3построим линии влияния перере-
зывающих сил (см. рис. 20).
Линия влияния перерезывающей силы в сечении K
2
Построение линии влияния начинаем со звена, в котором находится опора,
т. е. со звена V.
Используем типовой вид для линии влияния перерезывающей силы в пролете простой балки (см. рис. 16) и применим его для звена V: откладываем 1 под
опорой
D
и 1 над опоройE. Получаем две ветви линии влияния (захватывая,
в том числе консоли 3-D и E-4).
После того как линия влияния в пределах звена V построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку
на рассматриваемое звено V могут влиять все расположенные выше звенья,
то линию влияния следует продлить до начала звена I влево и до конца звена
IV вправо.
Нетрудно убедиться, что если подвижная сила
A,B,C,F
, то изгибающий момент в сечении
P
окажется над опорами
K2окажется равным нулю
(так как воздействие силыPбудет целиком воспринято опорамиA,B,C,F).
Таким образом, на каждом звене имеется по две точки: на опорахA,B,C,
F
(значение 0) и под фиктивными опорами 1, 2, 3, 4. Соединяем их попарно
прямыми, захватывая соответствующие консоли.
Знаки линий влияния перерезывающих сил такие же, как и линии влияния
изгибающих моментов: положительные ординаты откладываем вниз, отрицательные — вверх. Ординаты линий влияния перерезывающих сил являются
безразмерными. Значение ординат определяем из подобия треугольников:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]