Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика. Учебные задания и примеры по расчету статически определимых систем. Учебное пособие
.pdf
Найдем момент в точке приложения момента M справа (сечение 2′):
прав
M
= V3· 2,5 = 28,03 кНм.
′
2
Момент в точке приложения момента
M
справа растягивает нижние во-
локна, значит, должен быть отложен вниз.
Найдем момент в точке приложения момента M слева (сечение 1′):
лев
M
Момент в точке приложения момента
= V2· 4,5 − VC· 3,5 = 71,98 кНм.
′
1
M
слева растягивает верхние волок-
на, значит, должен быть отложен вверх.
Проверим величину скачка в точке приложения сосредоточенного момента.
Для этого следует сложить значения момента в сечениях 1′и 2′. Складывать
значения нужно по модулю, так как они имеют разные знаки. В противном
случае их следовало бы вычитать (также по модулю):
71,98 + 28,03 = 100,01 кНм = M (с учетом ошибки округления).
2.4.4. Звено IV (4-F )
К данной балке не приложено никаких внешних нагрузок, следовательно,
и внутренних усилий не возникает, т. е. все реакции заведомо равны нулю.
2.4.5. Звено V (3-D-E-4)
Поскольку «силовые потоки» растекаются по этажной схеме сверху вниз,
то звено III будет воздействовать через опорную реакцию
Чтобы отразить это воздействие, приложим опорную реакцию
V3на звено V.
V3на звено V
в качестве нагрузки. При этом следует изменить направление ее действия на
противоположное (см. рис. 9).
Эпюра моментов на данном звене может быть построена без определения
опорных реакций. Для этого найдем момент над опорой D слева:
лев
Момент над опорой
M
D
слева растягивает верхние волокна, значит, должен
= V3· 1 = 11,21 кНм.
D
быть отложен наверх.
Момент над опорой
E
равен нулю. В этом легко можно убедиться, если
записать выражение для суммы моментов всех сил справа от сеченияE,
которое ввиду отсутствия нагрузки будет ≡ нулю.
21
V
D
q2= 42 кН/м
3
V
E
V3= 11,21 кН
M
D E
1,0 8,0 0,8
11,21 кНм
0
−
+
330,4 кНм
4,0
Рис. 9. Расчетная схема звена V
0 0
4
На данном звене можно выделить два участка: левее и правее опорыD.
На первом участке эпюра моментов изменяется по линейному закону, так как
данный участок не загружен. На втором участке эпюра моментов изменяется
по закону квадратичной параболы, так как участок нагружен равномерно
распределенной нагрузкой q2= 42 кН/м.
Значение моментов посередине второго участка:
2
= 330,4 кНм.
8
M
2уч
с
0 − 11,21
=
42 · 8
+
2
2.5. Построение эпюры поперечных сил по эпюре моментов
Значение поперечной силы на участке может быть вычислено по формуле (2). В формуле присутствует длина участка. Следовательно, всю балку
необходимо разбить на участки. При этом количество участков не зависит от
количества звеньев: логичнее всего разбивать балку на минимально возможное
количество участков. Критерием для этого служат требования о гладкости
и непрерывности эпюры моментов в пределах одного участка:
22
Q
H
K
=
MK− M
l
уч
H
±
q · l
2
уч
; (2.1)
F
= 42 кН/м
2
K
4
0
0
166,6
−
4,0
11,21
0
+
28,03
330,4
+
169,4
2
K
D E
3
1
71,98
C
32,76
2
0
−
32,75 11,21
P = 80 кН M = 100 кНм
= 26 кН/м q
1
q
+
98,28
+
B
1
A
1,5 8,2 0,8 4,0 3,0 1,0 3,5 2,5 1,0 8,0 0,8 8,2 1,5
1 уч. 2 уч. 3 уч. 4 уч. 5 уч. 6 уч. 7 уч.
90,72
29,25
− −
47,25
0
4,1
+
0
M
кНм
203,9
+
110,2
0
Q
123,83
−
Рис. 10. Итоговая эпюра моментов M и перерезывающих сил Q в балке
39
кН
23
H
Q
K
где
MН— момент в начале участка;
MK− M
=
l
уч
MК— момент в конце участка;
H
∓
q · l
2
уч
, (2.2)
lуч—
длина участка;q— равномерно распределенная нагрузка, действующая на
участке.
При использовании формул (2) начало и конец стержня определяются
исходя из ориентации местной оси (см. п. 2.3). Значения моментов
в формулу (2) подставляются со своим знаком. Формула (2.1) со знаком
Mни
M
±
используется, когда равномерно распределенная нагрузка и пунктир расположены по разные стороны от стержня, а формула (2.2) со знаком∓, когда
равномерно распределенная нагрузка действует со стороны пунктира.
Таким образом, в балке можно выделить семь участков, которые показаны
на рис. 10:
– 1-й участок:
Q
H
K
MK− M
=
l
уч
H
±
q1· l
2
уч
=
−29,25 − 0
1,5
QH= 0,
26 · 1,5
±
=
2
= −19,5 ± 19,5 =
QK= −39 кН;
– 2-й участок:
к
Q
H
K
MK− M
=
– 3-й участок:
H
Q
K
– 4-й участок:
H
Q
K
– 5-й участок:
H
Q
K
q1· l
H
l
уч
±
= −6,833 ± 117 =
MK− M
=
MK− M
=
MK− M
=
l
уч
H
l
уч
H
l
уч
H
=
уч
2
−90,72 − (−29,25)
=
9
QH= 110,2 кН,
QK= −123,83 кН;
98,28 − (−90,72)
=
4
−32,76 − 98,28
=
4
−71,98 − (−32,76)
3,5
26 · 9
±
= 47,25 кН;
= −32,75 кН;
= −11,21 кН;
=
2
24
– 6-й участок:
Q
H
K
=
MK− M
l
уч
H
−11,21 − 28,03
=
3,5
= −11,21 кН;
– 7-й участок:
Q
H
K
MK− M
=
l
уч
H
±
q1· l
2
уч
0 − (−11,21)
=
8
QH= 169,4 кН,
±
42 · 8
=
2
= 1,4 ± 168 =
QK= −166,6 кН.
После того как определены значения перерезывающего усилия на каждом
из участков, можно построить итоговую эпюру перерезывающих силQ. При
этом для построения эпюры перерезывающих сил
Q
пользуются следующим
алгоритмом:
1. Вычисляют значение перерезывающей силы Q по формуле (2).
2.
Если полученная величина оказывается отрицательной, то ее отклады-
вают со стороны пунктира (или справа от местной оси
x1) и присваивают
знак «−» (минус).
3.
Если полученная величина оказывается положительной, то ее отклады-
вают с противоположной пунктиру стороны (или слева от местной оси
x1) и
присваивают знак «+» (плюс).
4.
Полученные значения в началах и концах всех участков соединяют
прямыми линиями, так как в случае, когда на балку действуют только равномерно распределенная нагрузка, сосредоточенные силы и моменты, значение
перерезывающей силы изменяется по линейному закону.
Результат построения итоговой эпюры перерезывающих сил
Q
для всей
балки приведен на рис. 10.
2.6. Определение опорных реакций
Рассмотрим равновесие вырезанных из балки опор. Сечения расположим
справа и слева бесконечно близко к сечениям опор. Значения поперечных сил
следует брать с эпюр, без учета знака. Чтобы учесть направление перерезывающей силы
Q
в сечении, следует воспользоваться правилом тупого угла:
при движении от узла (опоры) к сечению по эпюре моментов, направление
перерезывающего усилияQдолжно составлять тупой угол с эпюрой моментов.
25
Q
лев
= 39 кН
VA= 149,2 кН
Рис. 11. Равновесие опоры A
A
Q
прав
= 110,2 кН
Поперечные силы на рис. 11 – 15 показаны красными линиями, перпендикулярными балке (фрагмент балки показан жирной черной линией). Тонкой
синей линией условно показана эпюра моментов (ее контур).
2.6.1. Опора A
Чтобы определить направление поперечной силы в сечении (см. рис. 11),
нужно, двигаясь от узла по эпюре моментов при пересечении с красной линией
Q
, повернуть в ту сторону, в которую будет направлен тупой угол: для
при движении от узла к сечению нужно повернуть вниз; для
Q
прав
— также
Q
лев
вниз:
X
FZ= VA− Q
лев
− Q
прав
= 0 ⇒ VA= 39 + 110,2 = 149,2 кН.
2.6.2. Опора B
Чтобы определить направление поперечной силы в сечении (см. рис. 12),
нужно, двигаясь от узла по эпюре моментов при пересечении с красной линией
Q
, повернуть в ту сторону, в которую будет направлен тупой угол: для
при движении от узла к сечению нужно повернуть вниз; для
Q
прав
— также
Q
лев
вниз:
X
FZ= VB− Q
лев
− Q
прав
= 0 ⇒ VB= 123,83 + 47,25 = 171,08 кН.
2.6.3. Опора C
Чтобы определить направление поперечной силы в сечении (см. рис. 13),
нужно, двигаясь от узла по эпюре моментов при пересечении с красной линией
26
лев
Q
= 123,83 кН
лев
Q
= 32,75 кН
B
VB= 171,08 кН
Рис. 12. Равновесие опоры B
C
VC= 21,54 кН
Q
Q
прав
прав
= 47,25 кН
= 11,21 кН
Рис. 13. Равновесие опоры C
Q
, повернуть в ту сторону, в которую будет направлен тупой угол: для
при движении от узла к сечению нужно повернуть вниз; для Q
X
FZ= VC− Q
лев
+ Q
прав
= 0 ⇒ VC= 32,75 − 11,21 = 21,54 кН.
прав
— вверх:
Q
лев
2.6.4. Опора D
Чтобы определить направление поперечной силы в сечении (см. рис. 14),
нужно, двигаясь от узла по эпюре моментов при пересечении с красной линией
Q
, повернуть в ту сторону, в которую будет направлен тупой угол: для
при движении от узла к сечению нужно повернуть вниз; для
Q
прав
— также
Q
лев
вниз:
X
FZ= VD− Q
лев
− Q
прав
= 0 ⇒ VD= 11,21 + 169,4 = 180,61 кН.
27
Q
лев
= 11,21 кН
лев
Q
= 166,6 кН
VD= 180,61 кН
Рис. 14. Равновесие опоры D
Рис. 15. Равновесие опоры E
D
E
VE= 166,6 кН
Q
прав
= 169,4 кН
2.6.5. Опора E
Чтобы определить направление поперечной силы в сечении (см. рис. 15),
нужно, двигаясь от узла по эпюре моментов при пересечении с красной линией
Q
, повернуть в ту сторону, в которую будет направлен тупой угол: для
при движении от узла к сечению нужно повернуть вниз; а Q
X
FZ= VE− Q
лев
= 0 ⇒ VE= 166,6 кН.
прав
= 0:
Q
лев
2.6.6. Опора F
Реакция в данной опоре отсутствует. Звено, в которое входит опора, не
нагружено. Все реактивные силы и внутренние усилия отсутствуют. Следовательно, равновесие данной опоры тождественно выполняется.
28
2.7. Статическая проверка
2.7.1. Проверка равновесия всей балки на вертикальную ось Z
X
FZ= VA− q1· 10,5 + VB− P + VC+ VD− q2· 8 + VE=
= 149,2 − 26 · 10,5 + 171,08 − 80 + 21,54 + 180,61 −
− 42 · 8 + 166,6 = 689 − 689 = 0.
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю. Равновесие
для всей балки выполняется. Опорные реакции определены верно.
2.8. Линии влияния
Условимся положительные ординаты линий влияния (ЛВ) откладывать
вниз, а отрицательные — вверх. Типовой вид линий влияния, которым удобно
пользоваться при построении более сложных линий влияния, приведен на
рис. 16 и 17.
2.8.1. Линия влияния реакций опор от подвижной силы P = 1
Построим линии влияния для опорных реакций II и IV (см. рис. 18).
Линии влияния опоры II (VB)
В данном случае опорой II выступает опораB. Построение линии влияния
следует начинать со звена, в котором находится опора, т. е. со звена II.
Используем типовой вид для линии влияния опорной реакции (рис. 16)
в простой однопролетной балке и применим его для звена II: откладываем
значение 1 под опорой
ние 0) в фиктивной опоре 2. Так как линии влияния всегда линейны, проводим
прямую через указанные две точки (захватывая в том числе и консоль 1-B).
После того как линия влияния в пределах звена II построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку на
рассматриваемое звено II могут влиять только расположенные выше звенья
(для этого легко ориентироваться по этажной схеме), то линию влияния следует
B
(первая точка) и фиксируем вторую точку (значе-
продлить влево (до конца звена I) и оборвать справа (в конце звена II).
Очевидно, что если подвижная силаPокажется над опоройA, то опорная
реакция
получено при рассмотрении звена II) и значение 0 на фиктивной опоре 2.
Соединяем их прямой, захватывая и самую левую консоль звена I.
VB= 0. Таким образом, имеется снова две точки: на опореB(значение
29
l + c
R
A
x
K
c a b d
+
P = 1
a + b = l
R
B
d
l
ЛВ R
a
cb
l
c
l
c
l
l
− −
1
1
a
−
1
a
l
+
b
l
+
ab
l
ЛВ R
+
1
l + d
l
d
l
da
l
ЛВ Q
ЛВ M
b
K
K
b
Рис. 16. Типовые линии влияния опорных реакций, изгибающего момента M
и перерезывающей силы QKв двухопорной балке с консолями
Значение ординаты определяем из подобия треугольников:
– под фиктивной опорой 2:
7,8 · 1
ЛВ2=
= 1,114;
7
– под силой P :
3 · 1
ЛВP=
= 0,429;
7
30
K
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]