Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика. Учебные задания и примеры по расчету статически определимых систем. Учебное пособие
.pdf
0,07317
+
F
0
IV
3
= 42 кН/м
2
P = 80 кН M = 100 кНм
K
K
K
4
0,4
−
0
2
K
V
D E
3
0
0,5
3
+
1
1
C
2
III
3 3 1 4 4
0
0,5
−
1,5
+
0
33
−
0
+
0,083
2
0
0,5
−
0
+
0,083
и K
2
44
, K
1
II
B
0,2857
0
+
0
−
0,04761
0,0476
0
−
1
0,05714
0,09523
0,009523
Рис. 19. Линии влияния изгибающего момента для сечений K
I
= 26 кН/м q
1
q
A
1,5 8,2 0,8 4,0 3,0 1,0 3,5 2,5 1,0 8,0 0,8 8,2 1,5
0,01
0
−
1
K
ЛВ M
K
ЛВ M
0
+
2
0,001741
3
K
ЛВ M
+
0
0,00174
41
– под фиктивной опорой 3:
ЛВ3=
– под фиктивной опорой 2:
ЛВ2=
– под силой P :
ЛВP=
– под фиктивной опорой 1:
ЛВ1=
1 · 0,5
= 0,125;
4
1 · 0,125
= 0,02083;
6
4 · 0,02083
= 0,0119;
7
0,8 · 0,02083
= 0,00238;
7
– на конце левой консоли:
1,5 · 0,00238
ЛВ =
8,2
– под фиктивной опорой 4:
0,8 · 0,5
ЛВ4=
– на конце правой консоли:
1,5 · 0,1
ЛВ =
8,2
Линия влияния перерезывающей силы в сечении K3(над опорой D слева)
Построение линии влияния начинаем со звена, в котором находится опора,
т. е. со звена V.
= 0,000435;
= 0,1;
4
= 0,01829.
Используем типовой вид для линии влияния перерезывающей силы в
консольной балке (см. рис. 17) и применим его для звена V: откладываем
1 над опорой
и получаем линию влияния звена V.
После того как линия влияния в пределах звена V построена, нужно
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку на
42
D
и 1 над фиктивной опорой 3. Соединяем прямой две точки
рассматриваемое звено V могут влиять все расположенные выше звенья, то
линию влияния следует продлить до начала звена I влево. Однако продлевать
линию влияния вправо (на звено IV) не нужно, так как, несмотря на то что
звено расположено выше, линия влияния не может перескочить через пролет
D-E и, как результат, вправо не пойдет.
Нетрудно убедиться, что если подвижная сила
A,B,C
как воздействие силыPбудет целиком воспринято опорамиA,B,C). Таким
образом, на каждом звене имеется по две точки: на опорахA,B,
ние 0) и под фиктивными опорами 1, 2, 3. Соединяем их попарно прямыми,
захватывая соответствующие консоли.
изгибающих моментов: положительные ординаты откладываем вниз, отрицательные — вверх. Ординаты линий влияния перерезывающих сил являются
безразмерными. Значение ординат определяем из подобия треугольников:
, то изгибающий момент в сечении
Знаки линий влияния перерезывающих сил такие же, как и линии влияния
– под фиктивной опорой 2:
1 · 1
ЛВ2=
6
– под силой P :
K3окажется равным нулю (так
= 0,1667;
P
окажется над опорами
C
(значе-
4 · 0,1667
ЛВP=
7
– под фиктивной опорой 1:
0,8 · 0,1667
ЛВ1=
7
– на конце левой консоли:
1,5 · 0,01906
ЛВ =
8,2
Линия влияния перерезывающей силы в сечении K3(над опорой D справа)
Построение линии влияния начинаем со звена, в котором находится опора,
т. е. со звена V.
Используем типовой вид для линии влияния перерезывающей силы в пролете простой балки (см. рис. 16) и применим его для звена V: откладываем 1 под
= 0,09526;
= 0,01906;
= 0,003487.
43
опорой
в том числе консоли 3-D и E-4).
определить, куда линия влияния будет распространяться далее. Поскольку
на рассматриваемое звено V могут влиять все расположенные выше звенья,
то линию влияния следует продлить до начала звена I влево и до конца звена
IV вправо.
D
и 1 над опоройE. Получаем две ветви линии влияния (захватывая
После того как линия влияния в пределах звена V построена, нужно
Нетрудно убедиться, что если подвижная сила
A,B,C,F
(так как воздействие силыPбудет целиком воспринято опорамиA,B,C,F).
Таким образом, на каждом звене имеется по две точки: на опорахA,B,C,
F
(значение 0) и под фиктивными опорами 1, 2, 3, 4. Соединяем их попарно
прямыми, захватывая соответствующие консоли.
Знаки линий влияния перерезывающих сил такие же, как и линии влияния
изгибающих моментов: положительные ординаты откладываем вниз, отрицательные — вверх. Ординаты линий влияния перерезывающих сил являются
безразмерными. Значение ординат определяем из подобия треугольников:
– под фиктивной опорой 3:
– под фиктивной опорой 2:
, то изгибающий момент в сечении
1 · 1
ЛВ3=
= 0,125;
8
P
окажется над опорами
K3окажется равным нулю
– под силой P :
– под фиктивной опорой 1:
– на конце левой консоли:
44
ЛВ2=
ЛВP=
ЛВ1=
ЛВ =
1 · 0,125
= 0,2083;
6
4 · 0,02083
= 0,0119;
7
0,8 · 0,02083
= 0,00238;
7
1,5 · 0,00238
= 0,000435;
8,2
– под фиктивной опорой 4:
ЛВ4=
– на конце правой консоли:
ЛВ =
0,8 · 0,5
= 0,1;
4
1,5 · 0,1
= 0,01829.
8,2
2.8.5.
Определение величины внутренних усилий с помощью линий
влияния
Принцип определения величины внутренних усилий с помощью их линий
влияния такой же, как и при определении опорных реакций (см. п. 2.8.2).
Определение величины изгибающего момента в сечении K
С помощью эпюр
1
Проще всего определить величину момента в сечении, рассмотрев звено
III (см. рис. 8) и определив момент в сечении
K1справа. Тогда момент
M
K
по определению будет равен:
M
= V3· 3 − M = 11,21 · 3 − 100 = −66,37 кНм.
K
1
Так как значение получилось отрицательным, то момент в сечении справа
направлен в ту же сторону, куда и момент
M
, — по часовой стрелке. Такой
момент справа будет растягивать верхние волокна, что и видно на эпюре (см.
1
рис. 8).
С помощью линии влияния
Площадь под распределенной нагрузкой следует принимать с учетом знака
линии влияния, поэтому разбиваем участок линии влияния под равномерно
распределенной нагрузкой на элементарные фигуры (три треугольника):
ω1= −
1
0,01 · 1,5 +
2
1
0,05714 · 8,2 +
2
1
0,0571 · 0,8 = 0,2496 м.
2
Определим тангенс угла наклона линии влияния под сосредоточенным
моментом. В данном случае тангенс отрицательный, так как линия влияния
восходящая:
1,5
tg α = −
= −0,5.
3
45
0,01829
0,01829
= 42 кН/м
2
3
K
F
4
D E
3
C
2
2
K
+
0
+
0
2
IV
0,1
−
0
1
0,1
−
0
(слева и справа) и K
+
0,5
+
0,5
3
V
0,5
0
−
0
1
1
1
1
+
0,125
+
0,125
−
III
3 3 1 4 4
0
0
0
+
0,02083
II
−
0,02083
−
0,1667
46
P = 80 кН M = 100 кНм
= 26 кН/м q
1
q
B
1
A
0,0119
0
+
0,00238
0,0119
0
+
0,00238
0
−
0,01906
0,09526
I
Рис. 20. Линии влияния перерезывающих усилий для сечений K
0
1,5 8,2 0,8 4,0 3,0 1,0 3,5 2,5 1,0 8,0 0,8 8,2 1,5
−
прав
3
K
0,000435
ЛВ Q
0
−
2
K
0,000435
ЛВ Q
лев
ЛВ Q
0
+
3
K
0,003487
Тогда значение изгибающего момента в сечении
K1составит (ордината
под силойPравна
yP=−0,2857, момент
M
= 100
кНм
положительный, так
как действует по часовой стрелке):
M
= q1· ω1+ P · yP+ M · tg α = 26 · 0,2496 + 80 · (−0,2857) +
K
1
+ 100 · (−0,5) = −66,37 кНм.
Значения совпали.
Определение величины поперечной силы в сечении K
С помощью эпюр
2
Проще всего определить значение перерезывающей силы в сечении
итоговой эпюре (см. рис. 10):
169,4 + (−166,6)
Q
K
=
2
2
= 1,4 кН.
K2по
С помощью линии влияния
Площадь под распределенной нагрузкой
q1= 26
кН/м
следует принимать
с учетом знака линии влияния, поэтому разбиваем участок линии влияния
под равномерно распределенной нагрузкой на элементарные фигуры (три
треугольника):
ω1= −
1
0,000435 · 1,5 +
2
1
0,00238 · 8,2 +
2
1
0,00238 · 0,8 = 0,01038 м.
2
Определим тангенс угла наклона линии влияния под сосредоточенным
моментом. В данном случае тангенс положительный, так как линия влияния
нисходящая:
0,125
tg α =
= 0,02083.
6
Площадь под распределенной нагрузкой
q2= 42
кН/м
следует принимать
с учетом знака линии влияния, поэтому разбиваем участок линии влияния
под равномерно распределенной нагрузкой на элементарные фигуры (два
треугольника):
ω2= −
1
0,5 · 4 +
2
1
0,5 · 4 = 0 м.
2
47
Тогда значение перерезывающей силы в сечении
K2составит (ордината
под силойPравна
yP=−0,0119, момент
M
= 100
кНм
положительный, так
как действует по часовой стрелке):
Q
= q1· ω1+ P · yP+ M · tg α = 26 · (0,01038) − 80 · 0,0119 +
K
2
+ 100 · (0,02083) = 1,401 кН.
Значения совпали.
2.9. Определение перемещений
Для определения внутренних усилий и построения линий влияния в статически определимых задачах не требуется знать их жесткость. При этом
определить любое перемещение в стержневой системе, не зная жесткости ее
элементов, невозможно.
Поскольку балка — это конструкция, работающая преимущественно на
изгиб, то оставим в формуле Максвелла–Мора только слагаемое, отвечающее
за изгибные деформации. Видно, что в формулу входит изгибная жесткость
EI:
m
w
X
∆p=
k=1
l
k
0
MpM
EI
1
dx,
где ∆p— искомое обобщенное перемещение;k— номер расчетного участка;
m
— количество расчетных участков;
момент от заданной нагрузки;
M1— вспомогательный момент от единичной
lk— длинаk-го участка;
Mp— грузовой
обобщенной силы.
Для вычисления интеграла Максвелла–Мора применяют способ численного
интегрирования (формула Симпсона):
w
l
k
где
M
н
pk
MpM
0
н
и
M
1k
1
dx =
EI
— значения момента в началеk-го участка на грузовой и вспомо-
гательной эпюрах соответственно;
k
-го участка на грузовой и вспомогательной эпюрах соответственно;
к
M
— значения момента в концеk-го участка на грузовой и вспомогательной
1k
l
k
6EI
(M
н
pk
· M
M
с
pk
н
1k
и
+ 4M
с
M
1k
с
pk
· M
с
1k
+ M
к
pk
· M
к
1k
),
— значения момента в середине
к
M
и
pk
эпюрах соответственно.
48
V
B
P = 1
V2= 0,5714 кН
M
1
1
0 0
B
0,8 4,0 3,0
+
1,714
Рис. 21. Вспомогательная эпюра звена II
2
0
2.9.1. Определение прогиба в месте действия силы P
Определим прогиб под силойP= 80
кН
. Для этого в ненагруженной балке
приложим единичную силуP= 1 в сечении под силойP= 80
вспомогательное состояние.
Расчет будем вести в соответствии с этажной схемой (см. рис. 1).
кН
. Получим
Звено I (A-1)
Данное звено не нагружено. Все реакции и внутренние усилия равны нулю.
Звено II (1-B-2)
Определим опорную реакцию V2:
X
MB= V2· 7 − P · 4 = 0 ⇒ V2=
P · 4
= 0,5714 кН.
7
Определим изгибающий момент под силой P = 1 кН справа:
прав
Опорная реакция
силойP= 1
кН
M
. Эпюра моментов во вспомогательном состоянии для звена II
= V2· 3 = 0,5714 · 3 = 1,714 кНм.
P
V2растягивает нижнее волокно справа в сечении под
приведена на рис. 21.
Звено III (2-C-3)
Поскольку «силовые потоки» растекаются по этажной схеме сверху вниз,
то звено II будет воздействовать через опорную реакцию
Чтобы отразить это воздействие, приложим опорную реакцию
V2на звено III.
V2на звено III
49
V
C
V2= 0,5714
M
1
2
C
1,0 3,5 2,5
0,5714
0
Рис. 22. Вспомогательная эпюра звена III
−
3
V3= 0,09523
0
в качестве нагрузки. При этом следует изменить направление ее действия на
противоположное (см. рис. 22).
Определим опорную реакцию V3:
X
MC= V3· 6 − V2· 1 = 0 ⇒ V3=
V2· 1
= 0,09523 кН.
6
Определим изгибающий момент над опорой VCслева:
лев
M
= V2· 1 = 0,5714 · 1 = 0,5714 кНм.
V
C
Нагрузка V2растягивает верхнее волокно слева в сечении над опорой VC.
Звено IV (4-F)
Данное звено не нагружено. Все реакции и внутренние усилия равны нулю.
Звено V (3-D-E-4)
Поскольку «силовые потоки» растекаются по этажной схеме сверху вниз,
то звено III будет воздействовать через опорную реакцию
Чтобы отразить это воздействие, приложим опорную реакцию
V3на звено V.
V3на звено V
в качестве нагрузки. При этом следует изменить направление ее действия на
противоположное (см. рис. 23).
Поскольку звено V является главным, а эпюры изгибающего момента можно построить, не определяя опорных реакций, сразу перейдем к определению
изгибающего момента над опорой VDслева:
лев
M
= V3· 1 = 0,09523 · 1 = 0,09523 кНм.
V
D
Нагрузка V3растягивает нижнее волокно слева в сечении над опорой VD.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]