Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика. Учебные задания и примеры по расчету статически определимых систем. Учебное пособие
.pdf
B Схема нагружения
Таблица 3
a
0
1
2
M
3
4
5
l
1
q
1
P
P
2
P
2
l
2
q
P
1
q
2
M
P
2
q
1
P
2
q
1
l
3
q
P
q
1
P
l
4
M
q
2
P
q
1
M
2
q
2
q
2
M
l
5
q
2
b
M
6
M
7
8
P P
9
P
2
q
1
q
1
q
1
P
2
P
M
M
q
1
q
2
P P
q
2
q
2
M
q
2
11
2. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
Для балки, изображенной на рис. 1, требуется выполнить задания в соот-
ветствии с требованиями гл. 1
2.1. Степень статической неопределимости и проверка
геометрической неизменяемости
Определим степень статической неопределимости, используя формулу
n
где
= n
ст.н
n
— число опорных реакций (опорных стержней);
о.р
+ 3 · nк− 3 − n
о.р
= 7 + 3 · 0 − 3 − 4 = 0,
о.ш
nк— число замкнутых
контуров; n
Поскольку
поскольку
— число одиночных шарниров.
о.ш
n
n ⩾
0, необходимое условие геометрической неизменяемости вы-
= 0, то система статически определима. Кроме того,
ст.н
полнено. Однако дополнительно требуется провести структурный анализ.
В качестве структурного анализа может выступать этажная схема (см. рис. 1).
Поскольку она может быть построена, то достаточное условие геометрической неизменяемости также выполнено.
2.2. Построение этажной схемы
Построим этажную схему. Главное звено отсутствует, так как в балке нет
звена, имеющего три опорных связи. Начинаем построение с условно главного
звена, в качестве которого выступает диск «3-D-E-4» как имеющий в своем
составе две опорные связи (реакции
VDи
VE). Далее будем разрезать балку
в шарнирах (по звеньям), заменяя шарнир на шарнирно-неподвижную опору
(в ней, как и в шарнире, две неизвестные связи). Будем располагать звенья
так, чтобы после добавления каждого следующего звена балка оставалась
геометрически неизменяемой. Результат построения этажной схемы приведен
на рис. 1.
12
а)
б)
A
A
q1= 26
I
кН
м
1
Рис. 1. Исходная схема балки (а)). Этажная схема балки (б))
P = 80 кН M = 100 кНм
II
2
C
2
III
C
Z
6
Y
B
1
B
3
-
q2= 42
D E
3
D
X
V
кН
м
4
4
E
F
IV
F
Рис. 2. Глобальная система координат
В соответствии с этажной схемой определим порядок расчета балки: от
верхних звеньев к нижним (см. римские цифры на рис. 1). При этом последовательность расчета звеньев, расположенных на одном уровне, может быть
произвольной (в приведенном примере последовательность расчета звеньев
III и IV может быть изменена). Расчеты ведутся в глобальной правой системе
координат, изображенной на рис. 2.
2.3.
Общие сведения, которые могут быть полезны при построении эпюр
Как известно, эпюра моментов строится на растянутом волокне. Для
определения, какое волокно в сечении растянуто, следует изобразить в виде
стрелки суммарный действующий момент с той стороны от сечения, с которой
он определяется. Направление стрелки выбирается исходя из направления
действия тех сил и (или) моментов, которые вносят больший вклад в итоговую
сумму. То волокно, которое находится со стороны «оперения» у стрелки,
и будет растянуто.
13
R = 58 кН
P = 20 кН m = 100 кНм
x
1
3,5 5,0 2,0 2,0
−
q = 10 кН/м
M
1
+
Рис. 3. Определение величины изгибающего момента M в сечении 1
47 кНм
Например, рассмотрим фрагмент балки, изображенный на рис. 3. Требуется определить величину изгибающего момента
M
и то, какое волокно
растянуто в сечении 1. Определить, какое волокно растянуто (верхнее или
нижнее), на глаз проблематично. Поэтому запишем величину изгибающего
момента в сечении 1 по определению: как сумма всех моментов слева от
сечения.
Примем условно, что силаPсоздает положительный момент относительно
точки 1. Тогда момент, создаваемыйq, будет также положительный (так как
q
сонаправленаP), а моменты, создаваемые
какRи
m
направлены в противоположнуюPсторону). Получим выражение
Rиm
, — отрицательные (так
P · 12,5 − R · 9 + q · 5 · 6,5 − m = 20 · 12,5 − 58 · 9 + 10 · 5 · 6,5 − 100 = −47 кНм.
Поскольку получившееся выражение отрицательное, то направление,
выбранное
за положительное, «проиграло» отрицательному направлению,
значит, момент в сечении 1 будет направлен в противоположную сторону
действия силыP(так как именно это направление было условно выбрано за
положительное). «Оперение» стрелки расположено снизу, значит, в сечении 1
растянуто нижнее волокно, следовательно, величина 47
кНм
откладывается
вниз и берется ее абсолютное значение.
14
Убедимся, что эпюра не изменится, если мы примем момент, создаваемый
опорной реакциейRотносительно точки 1, как положительный. В этом случае
выражение получится следующим:
−P · 12,5 + R · 9 − q · 5 · 6,5 + m = −20 · 12,5 + 58 · 9 − 10 · 5 · 6,5 + 100 = 47 кНм.
Поскольку получившееся выражение — положительное, то направление,
выбранное за положительное, «победило» отрицательное направление, значит,
момент в сечении 1 будет направлен в сторону действия реакцииR(так как
именно это направление было условно выбрано за положительное). «Оперение»
стрелки расположено снизу, значит, в сечении 1 растянуто нижнее волокно,
следовательно, величина 47
значение.
Как видно, результаты совпали.
Знаки на эпюрах моментов носят вспомогательный характер и не отвечают
за направление действия усилия в сечении. Однако наличие знаков на эпюре
моментов облегчает построение эпюры перерезывающих силQ. Знак эпюры
моментов зависит от выбора ориентации местной оси для каждого стержня,
который может быть произвольным в общем случае. По ориентации местной
оси определяется, где у стержня «начало», а где — «конец».
Для того чтобы проиллюстрировать выбранное направление местной оси,
можно использовать два различных обозначения.
1. Пунктир (см. рис. 4).
Пунктир проводится снизу (сверху) или слева (справа) от стержня. При
этом местная ось стержня проводится так, чтобы, мысленно двигаясь по
кНм
откладывается вниз и берется ее абсолютное
стержню в направлении местной оси, пунктир был справа по ходу движения.
Эпюра моментов, оказавшаяся со стороны пунктира принимается положительной, а с противоположной стороны — отрицательной.
2. Cтрелочка (см. рис. 5).
Стрелочка явным образом обозначает направление местной оси. При этом
эпюра моментов, оказавшаяся справа по ходу движения в направлении местной
оси (при движении по стрелочке), становится положительной, а с противоположной стороны — отрицательной.
15
x
−
+
x
1
Рис. 4. Способ обозначения местной оси стержня с помощью пунктира. Местная ось
стержня указана справочно. Знаки указаны для эпюры M
−
+
x
1
Рис. 5. Способ обозначения местной оси стержня с помощью стрелочки. Знаки указаны
x
+
−
1
x
1
+
−
для эпюры M
− +
− +
1
+ −
x
1
x
1
+ −
x
1
Как видно, оба правила идентичны друг-другу.
В балке удобнее всего пунктир проводить снизу (местную ось стержней
направлять вправо). Так и будет сделано для всех звеньев балки (см. рис. 3),
поэтому пунктир далее на схемах в балке показывать не будем.
2.4. Расчет элементарных балок (звеньев)
Горизонтальные нагрузки отсутствуют. Следовательно, горизонтальные
реакции не возникают. Уравнение суммы проекций сил на ось
X
обращается
в тождество 0 ≡ 0. Поэтому эти реакции не показаны на всех рисунках.
2.4.1. Звено I (A-1)
Эпюра моментов на данном звене (см. рис. 6) может быть построена без
определения опорных реакций. Для этого найдем момент над опоройAслева:
лев
M
= q1· 1,5
A
Момент над опорой
A
1,5
= 26 · 1,125 = 29,25 кНм.
2
слева растягивает верхние волокна, значит, он
должен быть отложен наверх.
На данном звене можно выделить два участка: левее и правее опорыA. На
обоих участках рассматриваемого звена эпюра моментов изменяется по закону
квадратичной параболы, так как оба участка нагружены равномерно распределенной нагрузкой
q1= 26
кН/м
. Известно, что парабола строится однозначно
по трем точкам. В качестве первых двух точек выступают значения моментов
в начале и конце участка. В качестве третьей, пока неизвестной, точки может
выступать середина участка. Значение эпюры моментов посередине участка,
16
7,308 кНм
M
0
V
A
q1= 26 кН/м
A
1,5 8,2
29,25 кНм
−
V1= 103 кН
1
0
0,75
Рис. 6. Расчетная схема звена I
+
204 кНм203,9 кНм
3,9624,1
нагруженного равномерно распределенной нагрузкой, может быть определено
как
Mс=
где
Mс— момент посередине участка;
Mк+ M
2
Mн— момент в начале участка;
н
±
2
ql
уч
, (1)
8
Mк—
момент в конце участка.
При использовании этой формулы начало и конец стержня определяют-
ся исходя из ориентации местной оси (см. п. 2.3). Значения моментов
M
н
и
Mкв формулу подставляются со своим знаком. Знак «плюс» в формуле
используется, когда равномерно распределенная нагрузка и пунктир расположены по разные стороны от стержня, а знак «минус», когда равномерно
распределенная нагрузка действует со стороны пунктира. Тогда
− 29,25 + 0
=
2
0 + (−29,25)
=
2
M
M
1уч
с
2уч
с
Определим опорную реакцию
V1(ее значение потребуется далее при расчете
26 · 1,5
+
26 · 8,2
+
следующих звеньев). Для определения опорной реакции
2
= −7,308 кНм;
8
2
= 203,9 кНм.
8
V1запишем уравнения
17
равенства нулю всех моментов относительно опоры A:
X
MA= V1· 8,2 − q1· 8,2
8,2
+ q1· 1,5
2
1,5
= 0 ⇒ V1= 103 кН.
2
Альтернативным способом построения эпюры от распределенной нагрузки является определение значения не посередине участка, а максимального
значения. Максимум на эпюре моментов находится при
Q
= 0 в неизвестном пока сечении. Это сечение можно искать с любой стороны, например на
расстоянииxот опоры 1. В данном примере это удобнее, так как не требует
дополнительного нахождения опорной реакции
опорную реакцию
V1как положительную, тогда равномерно распределенная
VA. Можно условно принять
нагрузка q1станет отрицательной:
прав
Q
= V1− q1· x = 0;
X
103 − 26 · x = 0 ⇒ x = 3,962 м
M
max
= M
прав
= V1· x − q
X
2
x
= 103 · 3,962 − 26
1
2
3,962
2
= 204 кНм.
2
2.4.2. Звено II (1-B-2)
Поскольку «силовые потоки» растекаются по этажной схеме сверху вниз,
то звено I будет воздействовать через опорную реакцию
отразить это воздействие, приложим опорную реакцию
V1на звено II. Чтобы
V1на звено II в ка-
честве нагрузки. При этом следует изменить направление ее действия на
противоположное (см. рис. 7).
Определим опорную реакцию
V2. Для этого запишем уравнения равенства
нулю всех моментов относительно опоры B:
X
MB= V2· 7 − P · 4 + q1· 0,8
0,8
+ V1· 0,8 = 0 ⇒ V2= 32,76 кН.
2
Найдем момент над опорой B слева:
M
лев
= q1· 0,8
B
0,8
+ V1· 0,8 = 90,72 кН.
2
Момент над опоройBслева растягивает верхние волокна, значит, должен
быть отложен наверх.
На данном звене можно выделить три участка: левее опорыB; между
опорой
B
и точкой приложения силыP; между точкой приложения силы
18
V
B
q1= 26 кН/м
1
V1= 103 кН
43,28 кНм
M
P
и опорой 2. На первом участке рассматриваемого звена эпюра моментов
0
B
0,8 4,0 3,0
90,72 кНм
−
Рис. 7. Расчетная схема звена II
P = 80 кН
+
98,28 кНм
V2= 32,76 кН
2
0
изменяется по закону квадратичной параболы, так как участок нагружен
равномерно распределенной нагрузкой
q1= 26
кН/м
. На втором и третьем
участках эпюра моментов изменяется по линейному закону, так как дан-
ные участки не загружены. При этом в точке приложения силы
P
должен
появиться излом, острие которого направлено в сторону действия силы.
Значение моментов посередине первого участка:
2
= −43,28 кНм.
8
M
1уч
с
0 − 90,72
=
26 · 0,8
+
2
Найдем момент в точке приложения силы P справа:
прав
M
= V2· 3 = 98,28 кНм.
P
Момент в точке приложения силыPсправа растягивает нижние волокна,
значит, должен быть отложен вниз.
2.4.3. Звено III (2-C-3)
Поскольку «силовые потоки» растекаются по этажной схеме сверху вниз,
то звено II будет воздействовать через опорную реакцию
Чтобы отразить это воздействие, приложим опорную реакцию
V2на звено III.
V2на звено III
19
VC= 21,55 кН
2
M = 100 кНм
V3= 11,21 кН
3
0
V2= 32,76 кН
M
C
1,0 3,5 2,5
32,76 кНм
0
Рис. 8. Расчетная схема звена III
−
1’ 2’
71,98 кНм
28,03 кНм
+
в качестве нагрузки. При этом следует изменить направление ее действия на
противоположное (см. рис. 8).
Определим опорные реакции V3и VC. Для определения опорной реакции
V3запишем уравнения равенства нулю всех моментов относительно опорыC,
а для определения опорной реакции
VCзапишем уравнения равенства нулю
всех моментов относительно опоры 3:
X
MC= V3· 6 + V2· 1 − M = 0 ⇒ V3= 11,21 кН;
X
M3= V2· 7 − VC· 6 − M = 0 ⇒ VC= 21,55 кН.
Найдем момент над опорой C слева:
лев
M
= V2· 1 = 32,76 кНм.
C
Момент над опоройCслева растягивает верхние волокна, значит, должен
быть отложен наверх.
На данном звене можно выделить три участка: левее опорыC; между
опорой
момента
C
и точкой приложения момента
M
и опорой 3. На всех трех участках эпюра моментов изменяется по
M
; между точкой приложения
линейному закону, так как данные участки не загружены. При этом в точке
приложения момента
M
должен появиться скачок, величина которого равна
величине сосредоточенного момента.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]