Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА МАШИН
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИН
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2018
УДК 629.7.015.4:624.04(075.8)
С 863
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. И.П. Олегин
д-р техн. наук, проф. А.В. Гуськов
Работа подготовлена на кафедре
прочности летательных аппаратов НГТУ
для студентов III и IV курсов ФЛА дневной формы обучения
(направление 15.03.00 – Прикладная механика)
С 863 Строительная механика машин. Поперечный изгиб пла-
стин: учебное
пособие / Т.Б. Гоцелюк, К.А. Матвеев, А.Н. Пель,
Н.В. Пустовой. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 91 с.
ISBN 978-5-7782-3496-3
Изложены основы теории поперечного изгиба пластин в линейной
постановке. Рассмотрены основные методы решения задач поперечного изгиба пластин. Приведены конкретные примеры решения для
прямоугольных и осесимметричных пластин. Даны методики расчета
на прочность пластин, работающих в условиях поперечного изгиба.
УДК 629.7.015.4:624.04(075.8)
ISBN 978-5-7782-3496-3 © Гоцелюк Т.Б., Матвеев К.А.,
Пель А.Н., Пустовой Н.В., 2018
© Новосибирский государственный
технический университет, 2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Разрешающие уравнения линейной теории поперечного изгиба
пластин ................................................................................................................. 4
2. Граничные условия в задачах поперечного изгиба пластин ........................ 12
3. Пластина, шарнирно опертая по контуру ...................................................... 17
3.1. Шарнирно опертая пластина под синусоидальной нагрузкой .............. 17
4. Методы решения задач поперечного изгиба пластин ................................... 24
4.1. Метод двойных тригонометрических рядов (метод Навье) ................... 24
4.2. Метод ординарных тригонометрических рядов (метод Леви) ............... 28
4.3. Метод Ритца ............................................................................................... 47
5. Осесимметричные
5.1. Осесимметричный изгиб круговых и кольцевых пластин .................... 63
5.2. Общий случай изгиба круговых и кольцевых пластин.......................... 68
Библиографический список ................................................................................. 81
Приложение ........................................................................................................... 82
пластины ............................................................................ 61
z x y
1. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА
ПЛАСТИН
Основные допущения теории тонких пластин
Пластина – тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями,
расстояние между которыми h существенно меньше размеров в плане.
Выделим в пластине срединную плоскость – поверхность, равноот-
стоящую от верхней и нижней плоскости (рис. 1.1).
h
h/2
h/2
a
Рис. 1.1. Геометрические характеристики пластины
b
В силу малости толщины пластины h (h << a, h << b) поведение ее
в процессе деформации обладает важными особенностями по сравнению с деформированием массивных трехмерных тел. Эти особенности
позволяют сформулировать допущения, которые упрощают разрешающие уравнения теории тонких пластин. Они называются гипотезами
Кирхгофа.
1. Нормальный элемент в процессе деформации пластины не
изменяет своей длины и остается прямым и перпендикулярным к поверхности, в которую переходит срединная плоскость пластины.
4
2. Отрезок нормали, лежащий между нижней и верхней поверх-
x
z A z
A΄A
z
x
x
x
x
ностью пластины, не изменяет своей длины.
3. Гипотеза о ненадавливании слоев: слои, параллельные средин-
ной поверхности, не давят друг на друга, т. е. напряжения
z
не учитываются.
Дифференциальные уравнения изгиба пластин
Рассмотрим процесс деформирования тонкой пластины (рис. 1.2).
u
α
΄
малы и
tg α ≈ α =
w
Рис. 1.2. Деформирование пластины
Произвольная точка A, находящаяся на расстоянии z от срединной
w
плоскости, вследствие поворота нормали на угол
перемещает-
ся на расстояние u в направлении оси x (точка A΄). При этом перемещение u оказывается пропорциональным расстоянию z:
uz
. (1.1)
w
По аналогии эта же точка получает соответствующее перемещение
в направлении по оси y:
w
vz
. (1.2)
5
Для вычисления деформации используем соотношения Коши:
x
x
x
x
y
uuv
yxz
; ;
xxy
vuw
; ;
yzx
wvw
zyz
; .
zzy
yx
(1.3)
В силу второй гипотезы Кирхгофа линейная деформация в направ-
лении оси z равна нулю:
z
, и, интегрируя это выраже-
z
w
0 0
ние, получим
(, )wwxy
, (1.4)
т. е. прогиб пластины не зависит от координаты z и для всех точек,
расположенных на одной нормали, одинаков. Пользуясь выражениями (1.1) и (1.2), выразим линейные деформации:
2
w
z
x
y
;
2
(1.5)
2
w
z
2
y
и угловую деформацию:
2
xy
Две оставшиеся угловые деформации
w
z
2.
(1.6)
y
и
z
равны нулю в силу
z
первой гипотезы Кирхгофа (нормали к срединной плоскости пластины
остаются перпендикулярными после ее деформирования).
6
Полученные выражения (1.5) и (1.6) для деформации позволяют
x
x
x
E
E
E
x
определить напряжения, действующие в произвольной точке пластины
в соответствии с законом Гука:
1
xxyz
E
1
yyxz
E
12(1)
yxy xy
GE
(;
(;
)
)
(1.7)
,
где E – модуль Юнга; µ – коэффициент Пуассона.
В этих выражениях в соответствии с третьей гипотезой Кирхгофа
следует положить
равным нулю. Тогда, разрешив их относительно
z
напряжений, получим:
E
(1.8)
yyx
1
yxy
();
xy
2
1
E
();
2
E
2(1 )
.
Подставим сюда выражение для деформации (1.5) и (1.6):
22
zw w
x
1
y
1
xy
22 2
xy
22
zw w
22 2
yx
2
zw
y
1
7
;
(1.9)
;
.
Таким образом, в поперечных сечениях пластины, перпендикуляр-
x
y
x
M
M
,
и
ных осям x и y, действуют напряжения
, линейно распре-
y
деленные по высоте пластины. Вычислим интеграл:
h
2
1
h
2
. (1.10)
zdz
x
С точки зрения механики выражение (1.10) определяет один из
внутренних силовых факторов – погонный изгибающий момент, действующий в сечениях, перпендикулярных оси z. По аналогии запишем
выражение для другого изгибающего момента:
h
2
2
h
2
(1.11)
zdz
y
и крутящего момента:
h
2
Hzdz
xy
h
2
. (1.12)
В выражения (1.10) – (1.12) подставим напряжения (1.9) и заметим,
что каждый из внутренних силовых факторов содержит интеграл:
h
2
h
2
2
zdz
3
h
. (1.13)
12
Обозначим
3
D
Eh
12(1 )
2
8
. (1.14)
Величина D называется цилиндрической изгибной жесткостью
x
M
y
M
z x y
M
H
M
H
M
M
x
y
пластины. Теперь изгибающие
будут выражены через одну функцию
22
ww
MD
1
MD
2
HD
22
xy
22
ww
2
yx
1.
и
и крутящий H моменты
w
:
;
;
(1.15)
2
2
w
xy
Перейдем теперь к составлению уравнений равновесия элемента
пластины. Поперечными сечениями, параллельными осям x и y, вырежем из пластины элемент размерами dx и dy в плане (рис. 1.3).
Q
1
1
H
Hdy
y
Q
2
Qdy
2
y
2
Hdx
M
2
dy
y
H
x
Q
1
Qdx
1
M
dy
dx
Q
2
2
1
dx
1
x
x
Рис. 1.3. Внутренние силовые факторы, действующие
в поперечных сечениях элемента пластины
К верхней грани пластины приложена поверхностная распределенная нагрузка интенсивностью q. Чтобы уравновесить эту поперечную
нагрузку, к боковым граням приложены вертикальные погонные уси-
Q
лия – перерезывающие силы
Q
и
. Формально их, как и моменты
9
(1.10) – (1.12), можно выразить через соответствующие касательные
HQx
H
напряжения:
h
2
;
h
2
(1.16)
.
h
2
и
zx
zy
Но связать напряжения
Qdz
xzx
h
2
Qdz
yzy
и
zx
с угловыми деформациями
zy
невозможно: в силу первой гипотезы Кирхгофа эти деформации равны
нулю. Это формальное противоречие теории тонких пластин аналогично тому, что имеет место в теории изгиба стержней.
Два уравнения равновесия выражают равенство нулю суммы моментов, приложенных к выделенному элементу относительно осей x и y:
M
H
1
Q
xy
0;
(1.17)
1
M
H
2
Q
yx
0.
(1.18)
2
Третье уравнение – сумма всех сил на вертикальную ось z:
Q
Q
12
x
y
0.
q
(1.19)
Преобразуем эти уравнения. Из уравнений (1.17) и (1.18) выразим
перерезывающие силы:
M
1
1
M
Q
2
2
yx
10
;
y
(1.20)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]