Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
В правые части этих равенств подставим выражения для моментов
x
D
(1.15), получим:
22
ww
QD
1
22
x
xy
22
ww
QD
2
2
y
xy
Выражения в скобках представляют собой оператор Лапласа
;
(1.21)
.
2
2
или
гармонический оператор:
22
2
22
xy
.
Тогда
QDw
1
QDw
2
;
x
(1.22)
.
y
Производные от перерезывающих сил введем в уравнение (1.19),
получим
0Dwq
,
или
Dwq
. (1.23)
Это разрешающее уравнение поперечного изгиба пластин, или
уравнение Жермен–Лагранжа. Оператор
называется бигармониче-
ским. В развернутом виде он записывается
444
2 ,
4224
xy y
так что уравнение изгиба можно представить следующим образом:
444
wwwq
2.
4224
xxyy
11
2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ЗАДАЧАХ
x
x
ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ПЛАСТИН
Уравнение Софи Жермен–Лагранжа имеет четвертый порядок по
каждой из координат. Следовательно, на каждой из четырех кромок
пластины нужно назначить по два граничных условия.
Возможны три случая опирания кромок пластины.
1. Кромка x = a (y = b) защемлена (рис. 2.1)
В этом случае должны быть ограничены прогибы и углы поворота
сечений на кромке:
w
, 0, 0,
xaw
ybw
, 0, 0 .
= a
(y = b)
x
(2.1)
w
y
= a
(y = b)
Рис. 2.1. Защемленная кромка
пластины
Рис. 2.2. Шарнирно опертая
кромка пластины
2. Кромка x = a (y = b) шарнирно оперта (рис. 2.2)
При таком случае опирания также ограничивается прогиб, но при
этом в отношении углов поворота кромка остается свободной. Значит,
второе условие должно быть наложено на статический фактор – изгибающий момент:
22
ww
MD
1
22
xy
12
(2.2)
0.
При этом сама кромка в процессе деформации пластины остается
x
прямолинейной. Это означает, что вторая производная прогиба по координате y, пропорциональная кривизне этой кромки в направлении
2
wy
, а значит, равенство нулю изгибающего
оси y, равна нулю,
момента эквивалентно равенству нулю второй производной
0
2
2
wx
.
0
2
Таким образом, при шарнирном опирании кромки накладываются
граничные условия:
22
ww
, 0, 0, , 0, 0 .
xaw ybw
22
xy
(2.3)
3. Кромка x = a (y = b) свободна (рис. 2.3)
На свободной кромке обращаются в нуль все внутренние силовые
факторы:
0, 0, 0.QM H
11
(2.4)
Получаем три граничных условия вместо двух. Так происходит потому, что в
силу гипотез прямых нормалей два внутренних силовых фактора являются взаимно
связанными. Каждый элемент границы
a
поворачивается как жесткий элемент
на угол
wy
(рис. 2.4). Крутящий момент,
Рис. 2.3. Свободная кромка
действующий на кромке, заменим парой сил
Н, действующих на границах элемента dy. На
соседнем элементе действует такая же пара
H
dy
сил, но с приращением
. Значит, на
y
границах участков действует статически не-
Рис. 2.4. Поворот элемента границы как
жесткого целого
уравновешенная сила
этому крутящий момент Н можно полагать
H
dy
(рис. 2.5). По-
y
13
статически эквивалентным распределенной по кромке погонной попе-
x
x
x
x
H
речной нагрузке
, которую следует добавить к перерезывающей
y
силе
:Q
1
Сила
*
QQ
11
H
dy
а
Рис. 2.5. Эквивалентная замена крутящего момента
погонной распределенной нагрузкой
*
Q
называется обобщенной перерезывающей силой. Подставляя
1
H
. (2.5)
y
dy
б
сюда выражения для внутренних силовых факторов, получаем
*
QD wD w Dw w
1
() (1 ) ( (2 ))
xy
y xxx xyy
. (2.6)
По аналогии на кромке y = b также действует обобщенная перерезывающая сила
H
*
QQ D wD w
22
xy x
((2 ))
Dw w
() (1 )
yyy
14
y
. (2.7)
y
Таким образом, на свободной кромке назначаются два граничных
x
условия:
, 0, (2 )
xaw w w w
xyy xxx xyy
(,
0, ( )2) .
ybw w w w
yy xx yyy xxy
;
(2.8)
Следует заметить, что, преобразуя крутящие моменты, как это было сделано выше, мы определяем не только погонные усилия на кромках, но также и сосредоточенные силы в угловых точках прямоугольной пластины. Численно они равны соответствующему крутящему
моменту в этих точках. Направление и конкретные значения этих угловых сил определяются
характером деформирования пластины и гра-
ничными условиями на ее кромках.
Концепция угловых сил не ограничивается случаем пересечения
двух свободных кромок, где сосредоточенные силы очевидно должны
быть равны нулю. В общем случае в каждой угловой точке, где, по
крайней мере, на одной из пересекающихся границ имеется крутящий
момент, возникает сосредоточенная сила.
(,)
()
∗
∗
()
∗
∗
Рис. 2.6. Сосредоточенные силы, действующие в угловых
точках пластины
Рассмотрим, например, симметрично нагруженную, шарнирно
опертую прямоугольную пластину (рис. 2.6). В угловых точках сов-
15
местное действие крутящих моментов
M
x
()
MH
xy yx
приводит к
образованию сосредоточенных сил
2
w
SH D
22(1)
y
в каждой угловой точке.
Таким образом, распределенные крутящие моменты оказываются
статически эквивалентными погонным распределенным силам на
кромках, а также сосредоточенным силам в угловых точках.
Направления сосредоточенных сил в угловых точках на рис. 2.6
указаны для пластины, симметрично нагруженной положительной поперечной нагрузкой. В начале системы координат, исходя из характера
кручения смежных
элементов, получаем, что момент H имеет отрицательный знак. Соответственно сосредоточенная сила S в этой точке
направлена вверх. В других угловых точках значения крутящих моментов будут чередоваться, но угловые силы всюду будут направлены
вверх при симметричном нагружении пластины.
16
3. ПЛАСТИНА, ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ
x
D
y0x
ПО КОНТУРУ
3.1. ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ ПЛАСТИНА
ПОД СИНУСОИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
Рассмотрим прямоугольную пластину размерами a × b и толщиной h, шарнирно опертую по всем четырем кромкам (рис. 3.1). Положим, что нагрузка распределяется по поверхности пластины следующим образом:
y
(, ) sin sin
qx y q
0
a
b
. (3.1)
ab
Рис. 3.1. Шарнирно опертая пластина
Разрешающее уравнение принимает вид
444
www xy
2sinsin
4224
xxyy
q
0
. (3.2)
ab
Функция прогиба должна удовлетворять граничным условиям
2
w
шарнирного опирания (2.3):
0, , 0, 0 ,
xaw
17
2
x
2
x
x
x
x
w
0, , 0, 0.
ybw
y
(3.3)
2
Функцию прогиба будем разыскивать в виде ряда
y
(, ) sin sin
wx y A
. (3.4)
ab
Такой вид функции прогиба автоматически обеспечивает выполнение
граничных условий (3.3). Подставим выражение (3.4) в разрешающее
уравнение (3.2):
4224
A
2 sin sin sin sin
aabbabDab
q
yxy
0
. (3.5)
Это равенство возможно, если равны коэффициенты при
sin sin
y
в правой и левой части:
ab
4
A
ab D
22
11
2
q
0
, (3.6)
откуда
q
A
4
D
0
22
11
ab
. (3.7)
2
Искомая функция прогиба, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению (3.2) и граничным условиям (3.3), принимает вид
q
wx y
(, ) sin sin
4
D
0
2
22
11
ab
18
ab
y
. (3.8)
Теперь могут быть найдены изгибающий и крутящий моменты, дей-
x
x
ствующие в поперечных сечениях пластины:
q
M
1
2
M
2
2
H
2
0
22
11
ab
q
0
22
11
ab
1
q
0
22
11
ab
1
22 2
22 2
2
sin sin ;
ab
1
sin sin ;
ab
xy
cos cos .
ab
ab
y
ab
y
(3.9)
ab
Очевидно, что максимальный прогиб и максимальные изгибающие
моменты действуют в центре пластины:
q
w
max
4
D
0
22
11
ab
;
2
q
M
M
1
max
2
max
2
2
0
22
11
ab
q
0
22
11
ab
19
1
22 2
ab
22 2
ab
;
(3.10)
1
.
Для квадратной пластины (a = b):
M
x
x
4
qa
0
w
max
MM
12
max
;
4
4
D
2
qa
max
0
4
(
1)
2
(3.11)
.
Оценим линейные деформации, действующие на поверхности пластины.
16
. (3.12)
() )(
xxy
E
Eh
2
M
12
Подставим сюда выражения для моментов (3.9):
qh
x
22
2
0
11
aD
22
ab
sin sin
2
ab
y
. (3.13)
По аналогии:
qh
y
22
2
0
11
bD
22
ab
sin sin
2
ab
y
. (3.14)
Максимальные деформации также действуют в центре пластины:
qh
(;
)
x
max
22
2
(.
)
y
max
22
2
0
11
aD
22
ab
qh
0
11
bD
22
ab
20
2
(3.15)
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]