Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
Потребуем, чтобы функция w удовлетворяла уравнению
где
(, )qxy
– некоторая часть внешней нагрузки, и краевым условиям:
(, ),Dwqxy
(4.27)
0, 0.
xaww
Таким образом, при выделении частного интеграла
ем» часть нагрузки
(, )qxy
xx
(4.28)
w
мы «снима-
и подчиняем его однородным краевым
условиям (4.28). Это позволяет сохранить краевые условия шарнирного опирания для общего интеграла
w , что является необходимым
условием для применения метода Леви.
Тогда для разыскания общего интеграла
w из (4.17) и (4.18) полу-
чим уравнение
( , ) ( , ) ( , )D w qxy q xy qx y
(4.29)
и краевые условия:
0, 0,
xaww
0(),
ywwwwx
yb w w x w w x
xx
yy xx
wwwwx
(2 ) (2 ) ( ),
yyy yxx
yy xx
yyy yxx
(), ().
22
yy
1
(4.30)
1
yy
Решение для функции
w в соответствии с методом ординарных
тригонометрических рядов разыскиваем в виде (4.19):
wFy
m
m
1
()sin .
31
mx
(4.31)
a
Такое представление решения позволяет выполнить краевые усло-
F
F
вия шарнирного опирания при x = 0, x = a из (4.30).
(, )qx y
Функция
также раскладывается в ординарный тригономет-
рический ряд. Для разложения нагрузки в ряд по синусам функция
(, )qx y
продлевается нечетным образом в интервале (0, –a). Согласно
теории рядов Фурье:
qx y q y
(, ) ()sin ,
() (, )sin .
qy qxy dx
m
m
1
m
a
2
aa
0
mx
a
mx
(4.32)
(4.33)
Полученные представления вводим в уравнение (4.29):
DFy
m
1
42
mm mx
aa a
m
2sin
m
В силу линейной независимости функций
24
() ()
dF y dF y
mm
24
dy dy
1
qy
m
()sin .
mx
a
(4.34)
mx
sin
коэффициенты
a
при этих функциях должны быть равны для каждого значения m. Тогда
()
y
для неизвестной функции
получим обыкновенное дифференци-
m
альное уравнение
42
() ()
dF y dF y
mm
dy dy
2()().
42
24
mm
aa
32
yqy
mm
(4.35)
Таким образом, рассматриваемый метод позволяет разделить пере-
x
x
x
менные и свести задачу к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения при известных краевых условиях:
2
0()sin(),
yFyx
yb F y x
1
m
1
m
1
m
1
m
()
dF y
m
2
dy
3
() ()
dF y dF y
mm
dy
()sin (),
m
2
dF y
m
2
dy
(2 ) sin ( ),
3
mx
a
()
mx
sin ( ).
Представим функции
2
mmx
aa
a
()
i
m
2
mmx
ady a
2
x
2
()
и
, i = 1, 2 в виде тригонометри-
i
1
1
(4.36)
ческих рядов:
1
1
m
() sin ,
xb
1
2
1
m
() sin ,
xc
1
m
() sin ,
xa
mx
m
m
a
mx
a
(4.37)
mx
m
a
() sin .
xd
2
1
m
mx
m
a
33
Тогда из (4.36) получим
F
F
A
2
()
dF y
0(),
yFya
yb F y c
m
2
dy
3
() ()
dF y dF y
mm
dy
() ,
mm
2
dF y
m
dy
(2 ) ,
3
()
d
2
2
m
a
m
ady
.
m
mm
2
b
m
(4.38)
Общий интеграл уравнения (4.35) записывается в виде
( ) sh sh ch ch ( ),
y A yBy yC yDy yFy
mmmmmmmmmm
(4.39)
()
y
где
m
– частный интеграл неоднородного уравнения (4.35),
m
ma
. Коэффициенты
, , ,
BCD
mm m m
определяются из краевых
условий (4.38). Решение рассматриваемой задачи изгиба прямоугольной пластины представляется в виде
ww Fy A yBy y
m
( ) sh sh
mmmmm
1
mx
CyDyy
ch ch sin .
mm m m
(4.40)
a
Зная w, из (1.15), (1.21) и (1.9) можно получить выражения для
моментов, перерезывающих сил и напряжений в пластине.
Рассмотренный метод позволяет решить широкий класс задач изгиба пластин. В большинстве случаев полученные решения хорошо
сходятся, что дает возможность ограничиться в результате несколькими слагаемыми ряда.
34
В качестве примера, иллюстрирующего метод Леви, рассмотрим
изгиб прямоугольной пластины с двумя противоположными шарнирно
опертыми кромками (рис. 4.5). Сформулируем постановку задачи.
y
b
x
a
(, )
qxy qb
y
0
Рис. 4.5. Две шарнирно опертые кромки,
перпендикулярные оси х
Уравнение изгиба пластины:
y
Dwq
.
(4.41)
0
b
Условия на кромках:
0, 0, 0, ( 0 ),
xaw w M
00,(0),
ywwM
yy xx
xx
wwQ
yb ww
(2 ) 0, ( 0),
yyy yxx
0.
y
Решение задачи разыскиваем в виде суммы частного
w
интеграла. При этом частный интеграл определим таким образом,
го
1
2
2
(4.42)
w
и обще-
чтобы «не испортить» краевых условий шарнирного опирания на
кромках x = 0, a.
35
Потребуем, чтобы частный интеграл удовлетворял уравнению
x
x
x
y
Dwq
(4.43)
0
b
и краевым условиям:
0, 0, 0, ( 0).
xaw w M
Пусть
q
wyx
bD
Тогда для определения функции
4
dx
dx
интеграл которого запишем в виде
4
x
()
Функцию
интеграла
w
(4.45), который подчиняем краевым условиям (4.44).
В результате для
() .
из (4.47) подставляем в представление для частного
w
получим
(, ) ( 2 ).
w
cx c x cx c
1234
4!
qa
0
(4.48)
24
xx
0
().
(4.45)
()
из (4.43) получим уравнение
()
4
32
4
(4.46)
1,
43
D
(4.44)
1
(4.47)
Здесь введены безразмерные координаты
xy
(0 1), (0 1).
ab
36
Общее решение рассматриваемой задачи
D
4
qa
0
(4.49)
ww
24
Сформулируем задачу для разыскания общего интеграла
43
(2 ).
D
w
. Для
этого подставим представление решения (4.49) в уравнение (4.41) и в
краевые условия (4.42). В результате получим уравнение
444
dw dw dw
4224
dddd
24
20
(4.50)
и краевые условия:
0,1 0,
ww
2
00,
12,
ww
22
ww
w
w
Здесь проведено обезразмеривание функции прогиба
a
.
и обозначено
(2 ) 12(2 )( ),
43
43
2.
(4.51)
ww
b
Индексы означают дифференцирование по соответствующей коор-
динате.
Решение уравнения (4.50) согласно методу Леви разыскиваем
в виде
wF m
m
m
1
()sin .
37
(4.52)
qa
0
24
4
Оно удовлетворяет краевым условиям на шарнирно опертых кромках
пластины:
0,1 0.ww
(4.53)
В результате из (4.50) и (4.51) с учетом (4.52) для определения
функции
F
получим уравнение
m
422 4
IV
()2()()()()0
FmFmF
mmm
(4.54)
()
и краевые условия:
22
0()()()0,
1()sin(2),
FmF
mm
22 2
( ) (2 )( ) ( ) sin 12(2 )( ),
FmFm
m
m
mm
1
(4.55)
Fm
m
1
43
()sin ( 2 ).
Fm
m
m
1
43
Здесь штрих означает дифференцирование по .
Разложим функции, стоящие в правых частях равенств (4.55),
в ряды:
43
Коэффициенты разложений
dmd
m
kmd
m
2sin,
2
1
43
2( 2 )sin ,
0
1
2
2( )sin .
0
m
m
1
d
и
m
38
dm
m
1
(4.56)
sin .
km
m
k
определяются по формулам:
m
(4.57)
Выполнив квадратуры (4.57), получим
A
H
m
1
48
5
()
m
m
43
2(1)1sin,
2
m
1
4
3
()
m
m
(1) 1sin .
Тогда краевые условия (4.55) перепишутся в виде
22
0()()()0,
FmF
mm
22
() (2 )( ) (1) 1,
FmF
mm
48(2 )
3
()
m
m
(4.58)
m
m
(4.59)
1()()(1)1.
FF
mm
48
5
()
m
m
Интеграл уравнения (4.54) имеет вид
( ) sh sh ch ch ,
FA B C D
mmmmmmmmm
m
m
.
(4.60)
Подставляем функцию (4.60) в краевые условия (4.55). В результате для каждого значения m (m = 1, 3, 5,…) получим систему четырех
неоднородных алгебраических уравнений для определения коэффици-
ентов
BCD
mmm m
.
, , ,
Введем обозначения для безразмерного прогиба и безразмерных
внутренних силовых факторов:
42 2
qa qa qa
00 0
wwM MM M
24 24 24
,, ,
D
12
12
(4.61)
2
qa qa qa
000
(1 ) , , .
24 24 24
HQ Q Q Q
12
12
39
Возвращаясь к выражению (4.49), запишем выражение для безраз-
мерного прогиба рассматриваемой пластины:
43
(2 ).ww (4.62)
С помощью (4.56) и (4.57) частное решение также можно представить в виде разложения в ряд, тогда безразмерный прогиб примет вид
sh sh
AB
mm m m
wm
m
ch ch
CD
1,3,5,...
mm m m
96
()
m
sin .
5
(4.63)
Безразмерные моменты и перерезывающие силы в пластине определяются выражениями:
Mw w
1
Mww
2
Hw
Qw w
1
Qw w
2
2
2
,
2
3
,
,
(4.64)
,
.
Заметим, что в расчетах в зависимости от требуемой точности за
общее решение задачи принимается соответствующая частичная сумма
ряда (4.63).
Сформулируем алгоритм решения задачи поперечного изгиба пластин по методу Леви без предварительного выделения частного интеграла.
Допустим, шарнирно опертыми являются кромки, перпендику-
лярные оси x (рис. 4.6). Тогда функцию прогиба можем разложить в
ряд по x:
n
wwy
()sin
k
k
1
40
kx
, (4.65)
a
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]