Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
Для вычисления перерезывающих сил воспользуемся выражения-
x
x
ми (1.21):
M
Q
1
Q
2
H
1
M
2
yx
;
y
H
.
(3.16)
По краям пластины действуют опорные реакции (2.5), (2.7):
M
*
QQ
11
HH
yx y
*
QQ
22
M
HH
1
2;
(3.17)
2
2 .
yx
На границе x = a:
q
*
Q
1
11
2
ab
2
0
a
22
21 )
(q
0
22
11
ab
1
22 2
sin
ab
y
b
2
sin
b
ab
y
b
q
a
0
22
11
ab
12
22 2
ab
21
sin
y
. (3.18)
b
По аналогии на границе y = b:
x
q
*
Q
2
0
22
11
b
ab
12
22 2
ba
sin
a
. (3.19)
По условиям симметрии на границах x = 0 и y = 0 реакции направлены в ту же сторону. Интегрируя выражения для обобщенных перерезывающих сил, получаем суммарную реакцию, действующую на пластину со стороны опор:
2
q
0
22
11
ab
11 2 11 2
222 22
abba
ab ba
ba
qab q
00
22
2
ab
yx
sin sin
00
dy dx
(481)
22
11
ab
. (3.20)
Первое слагаемое в этом выражении равняется полной нагрузке на
пластину:
ab
qdxdy
00
sin sin
0
ab
xy
4
qab
0
. (3.21)
2
Второе слагаемое – это сосредоточенные силы S в углах, о которых было сказано при обсуждении граничных условий на свободных
кромках пластины (рис. 3.2):
21 )
(
q
2
SH
,
xayb
2
0
22
11
ab
ab
. (3.22)
2
22
(,)
()
()
∗
∗
∗
∗
Рис. 3.2. Сосредоточенные силы, действующие в угловых точках
пластины
Отрицательный знак в этом выражении показывает, что сосредоточенные силы в угловых точках направлены вверх, как и внешняя
нагрузка.
23
4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
D
B
B
ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ПЛАСТИН
4.1. МЕТОД ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
(МЕТОД НАВЬЕ)
Пусть прямоугольная пластина со сторонами a, b (рис. 4.1) и толщиной h шарнирно оперта по четырем кромкам и нагружена произвольной нагрузкой q = q(x, y). Уравнение задачи:
. (4.1)
(, )
wqxy
Граничные условия:
0, 0;
xaww
Рис. 4.1. Пластина, шарнирно
опертая по четырем кромкам
0, 0.
ybww
Разложим нагрузку в двойной три-
гонометрический ряд:
xx
(4.2)
yy
(, ) sin sin
qx y B
Коэффициенты разложения
4
mn
ab a b
mn
ab
qx y dxdy
00
mn
11
mn
(, )sin sin
mx ny
. (4.3)
ab
определяются выражением
mx ny
, (4.4)
функцию прогибов w разыскиваем в виде ряда, аналогичного (4.3):
wA
mn
mn
11
mx ny
sin sin
ab
. (4.5)
При этом каждое слагаемое представления решения (4.5) удовлетворяет всем краевым условиям (4.2).
24
Представление решения (4.5) и разложение внешней нагрузки (4.3)
подставляем в уравнение (4.1). В результате получаем
DA
mn
mn
11
4224
mmnnmxny
aabbab
2sinsin
mn
11
sin sin ,
B
mn
mx ny
(4.6)
ab
или
2
sin sin 0.
11
mn
AD B
mn mn
22
mn mxny
ab ab
С учетом линейной независимости слагаемых в выражении (4.7)
получим
B
A
mn
D
mn
22
mn
ab
2
. (4.8)
Тогда решение рассматриваемой задачи запишется в виде
(4.7)
mx ny
42
D
11
mn
1
wB
sin sin
mn
mn
ab
ab
22
.
(4.9)
Зная w, из (1.15), (1.21) и (1.9) можно получить выражение для моментов, перерезывающих сил и напряжений в пластине.
25
F
Рис. 4.2. Пластина, нагруженная равно-
мерно распределенной нагрузкой
16
q
Bm
mn
0
mn
2
Тогда
4
16
w
Dmnmn
aq
0
62222
mn
11
Здесь
ax y
;;.
bab
Ниже приведены решения
с помощью метода Навье некоторых практически важных
задач.
1. Рассмотрим изгиб прямоугольной пластины, нагруженной равномерно распределен-
ной нагрузкой
q
(рис. 4.2).
0
Для коэффициентов разложения нагрузки (4.3) получим
; 1,3,5,...
1, 3, 5, ... .
n
sin sin
mn
.
(4.10)
()
(4.11)
Решение рассматриваемой задачи в виде (4.10) хорошо сходится,
так как коэффициенты разложения для прогиба пропорциональны 1
Несколько хуже будут сходиться моменты (
силы (
3
1n
) Здесь n – порядковый номер последнего удерживаемого
4
1n
) и перерезывающие
n
6
.
слагаемого.
В случае неплавных и сосредоточенных нагрузок решение, полученное методом двойных тригонометрических рядов, сходится хуже.
2. Прямоугольная пластина, шарнирно опертая по всем четырем
сторонам, изгибается под действием сосредоточенной силы F, приложенной в точке с координатами ξ и η. Вначале представим сосре-
доточенную силу
как нагрузку
quv
0
, равномерно распределенную в
прямоугольной области размером u × v (рис. 4.3).
26
y
B
a
u
u
b
0
Рис. 4.3. Шарнирно опертая пластина под дейст-
В соответствии с (4.4)
mn
4
ab uv a b
v
η
ξ
вием сосредоточенной нагрузки
ab
4
qx y dxdy
(, )sin sin
ab a b
00
uv
22
4
ab uv a b
Fmn
sin sin
uv
Fmxny
uv
22
mx ny
sin sin
sin sin
mu nv
mu nv
22
x
q
0
dx dy
22
ab
. (4.12)
ab
Теперь размеры области устремим к нулю:
mu nv
sin sin
ab
lim 1, lim 1.
uv
22
mu nv
00
ab
22
27
(4.13)
Коэффициенты в разложении нагрузки принимают вид
4
Fm n
B
mn
sin sin
ab a b
. (4.14)
С помощью (4.8) получим коэффициенты в разложении прогиба
mn
F
4sin sin
A
mn
4
Dab
ab
22
mn
22
ab
. (4.15)
2
Теперь прогиб в произвольной точке пластины можно вычислить с
помощью выражения
mnmxny
sin sin sin sin
F
4
w
42
Dab
11
mn
abab
22
mn
ab
.
(4.16)
Таким образом, коэффициенты ряда для прогибов будут пропорци-
ональны
щих сил –
44
1/ , 1/ ,nm
1/ , 1/nm
для моментов –
.
22
1/ , 1/ ,nm
для перерезываю-
4.2. МЕТОД ОРДИНАРНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
(МЕТОД ЛЕВИ)
Этот метод используется в случае, когда две противоположные
кромки пластины шарнирно оперты, а две другие могут опираться
произвольным образом. Рассматриваемый метод более универсален,
чем метод двойных тригонометрических рядов.
Пусть прямоугольная пластина со сторонами a, b (рис. 4.4) и постоянной толщиной h нагружена поперечной нагрузкой
28
(, ).qx y
Уравнение изгиба рассматриваемой пластины
D
(, ).
wqxy
(4.17)
Краевые условия
0, 0, 0, ( 0),
xa w w M
yb w w M
00,0,yM Q
22
xx
0, 0, ( 0),
yy
или
ww w w
yy xx yyy yxx
1
(4.18)
2
0, (2 ) 0.
В соответствии с методом Леви решение рассматриваемой задачи
разыскивается в виде ряда
m
1
()sin .
wFy
m
mx
(4.19)
a
Таким образом, в методе ординарных тригонометрических рядов в
направлении двух шарнирно опертых кромок вид решения задается, а
в другом направлении разыскивается
в результате решения дифференциального уравнения. Такое представление для прогиба сразу позволяет
удовлетворить условиям шарнирного
опирания по одной координате.
При решении задач поперечного
изгиба пластин методом
Леви удоб-
Рис. 4.4. Две кромки, перпендику-
лярные оси х, шарнирно оперты
но вначале выделить частный интеграл. В связи с этим решение уравнения (4.17) разыскиваем в виде
здесь
(4.20)
– общий интеграл однородного уравнения; w – некоторый
w
,www
частный интеграл.
Рассмотрим два примера, когда целесообразно выделить частный
интеграл.
29
Первый. Поперечная нагрузка есть функция одной координаты х:
D
D
(, ) ().qxy px
Уравнение (4.17) с учетом (4.20) запишется в виде
(4.21)
()().Dwwpx
Пусть
Тогда для определения функций
0, .
w
w и w
4
dwx px
dx
(4.22)
получим уравнения:
() ()
4
(4.23)
().wwx
Второй. Поперечная нагрузка – линейная функция координаты y:
(, ) ().qxy ypx
Пусть
Тогда для определения функций
w и w
().wyfx
(4.24)
из (4.17) и (4.20) получим
уравнения:
4
() ()
w
dfx px
0, .
dx
4
(4.25)
Впрочем, в расчетной практике встречаются и случаи, когда выделение частного интеграла задачи затруднительно или нецелесообразно.
Предположим, что рассматриваемая задача (рис. 4.4) позволяет
аналитически выделить частный интеграл уравнения поперечного изгиба пластин:
()(, ).Dwwqxy
30
(4.26)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]