Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
Функция прогиба должна удовлетворять граничным условиям:
0, 0, 0,
xww
,0, 0.
xa w w
Введем безразмерную координату
I
(4.107)
II
; xdx ad
, в дальнейшем
a
штрих будет означать производную по
2
Na
. Обозначим также
2
.
(4.108)
EI
Дифференциальное уравнение запишется
IV 2 II
0.ww
(4.109)
Выпишем общий интеграл однородного линейного дифференци-
ального уравнения
12 3 4
sin cos .wa a a a
(4.110)
Накладываем граничные условия в концевых сечениях стержня:
(4.111)
0,aa
откуда
откуда
41
23
,aa
.aa
0, 0,aa
14
23
Общее решение упростится:
1cos sin .wa a
13
Из оставшихся граничных условий при
(4.112)
получим систему
1
однородных уравнений:
(1 c os ) (sin ) 0,
aa
13
aa
13
22
cos sin 0.
51
(4.113)
Приравнивая к нулю определитель системы, получим трансцендентное
уравнение для определения параметра
.
tg
. (4.114)
Из второго уравнения (4.113):
aa
cos
31
sin
. (4.115)
Так как уравнение содержит тригонометрические функции, получим бесконечную последовательность собственных значений. Каждому значению параметра
будет соответствовать собственная
функция вида (4.112)
cos
wa
(, ) 1 cos (sin ).
ii ii
1
sin
i
i
(4.116)
Аналогичные действия следует предпринять для нахождения аппроксимирующих функций вдоль второй координаты. Учитывая характер закрепления пластины по кромкам y = const (см. рис. 4.8), получим функцию
Параметр
a
= 1.
1
(, ) sin , ( ).
wa i
1
iii
a
может принимать любое значение, в частности
1
(4.117)
Во многих случаях решение с допустимой степенью точности
можно получить, учитывая всего одно слагаемое в разложении (4.98).
Функцию прогиба пластины представим в виде
Функции
()f
и
(, ) () ().wAfg
возьмем в виде первых гармоник представ-
()g
(4.118)
лений (4.116) и (4.117):
cos
( ) 1 cos (sin ),
f
111
() sin .
g
1
sin
52
1
1
(4.119)
Вернемся к выражению полной энергии пластины (4.99):
D
2
AA
22
w w w w dx dy q w dx dy
() 2(1 ) .
xy xx yy
Преобразуем это выражение к виду
D
A
22 2
ww w ww
xx yy xy xx yy
2
dx dy q w dx dy
2(1 ) 2
(4.120)
A
.
Введем безразмерные координаты:
xya
, , , , .
dx ad dy b d
(4.121)
abb
Тогда потенциальная энергия запишется:
ab D
4
a
A
242 22 2
ww w ww
2
dd qwdd
2(1 ) 2
ab
A
(, ) () ().wAfg
(4.122)
.
Подставим сюда (4.118):
2
ab A D
4
a
A
22 422 222 2
f g fg fg f gfg
2
2(1 ) 2
dd Aab qfgdd
A
(4.123)
.
Обозначим и вычислим интегралы:
D
22 422 222 2
Ifgfg fgfgfgdd
1
Iqfgdd
2
A
2
.
A
2(1 ) 2 ,
(4.124)
53
Выражение для полной энергии принимает вид
2
ab A
IAabI
12
4
a
(4.125)
.
Минимизируя полную энергию по параметру A, получаем
2
dabA
dA
I abI
12
4
a
(4.126)
0,
откуда
4
aI
2
y
a/2
b
AI
.
(4.127)
2
1
a/2
0
h
1
Рис. 4.10. Пластина ступенчато-переменной
толщины
h
2
x
q(x, y)
В качестве еще одного примера рассмотрим пластину ступенчатопеременной толщины (рис. 4.10),
h
2
дом из участков,
k
отношение толщин
h
1
, hh
– толщина пластины на каж-
12
. Задачу решим с по-
мощью метода Ритца:
здесь
A
– неизвестные коэффициенты;
(, ) () ()wx y A f x g y
, (4.128)
()gy
()fx
и
– аппрокси-
мирующие функции, удовлетворяющие кинематическим граничным
54
условиям по соответствующим направлениям. Для нахождения этих
E
функций воспользуемся описанной выше методикой. Так, для определения функции f(x) рассмотрим задачу устойчивости для стержня переменной жесткости с такими же
условиями закрепления, как и у пластины (рис. 4.11). Стержень разобьем
на два участка, каждый из которых
имеет постоянную жесткость на из
гиб. Для каждого участка запишем
дифференциальное уравнение устой-
-
Рис. 4.11. Стержень переменной
жесткости под действием продольной силы
чивости:
IV II
EIw N w x
11
0, 0 ,
2IV II
Iw Nw x a
22
a
0, .
2
a
2
(4.129)
Функции прогиба должны удовлетворять граничным условиям:
0, 0, 0,
xw w
11
,0, 0
xa w w
22
и условиям «склейки» решения при
I
(4.130)
II
a
x
:
2
I I II 2 II III 2 III
здесь
,, , ,w w w w EIw EIw EIw EIw
1212 1 2 1 2
2
– отношение жесткостей на изгиб на первом и втором участ-
(4.131)
ках. Предположим, что балка имеет прямоугольное сечение на обоих
участках постоянной ширины b и переменной высоты h. Тогда отношение жесткостей может быть выражено через отношение
3
,.
kk
12
3
12
3
bh
1
Ibh h
23
22 2
Ih
11
3
2
(4.132)
55
Введем безразмерную координату
штрих будет означать производную по
2
Na
2*
,.
EI
Дифференциальные уравнения запишутся:
; xdx ad
, в дальнейшем
a
. Обозначим также
(4.133)
IV 2 II
ww
11
ww
2
IV II
22
2
0, 0 ,
0, 1.
1
2
1
2
(4.134)
Выпишем общие интегралы этих однородных линейных дифференциальных уравнений:
sin cos ,
**
(4.135)
Здесь для
waa a a
wbb b b
212 3 4
w
приняли другую форму решения, чтобы в дальнейшем
2
112 3 4
(1) sin(1) cos(1).
придать граничным условиям симметричный вид.
Накладываем граничные условия в концевых сечениях стержня:
(4.136)
0,aa
откуда
откуда
,aa
4
23
,aa
0, 0,aa
14
23
1, 0, 0bb b
14 4
следовательно,
0.b
1
56
,
Общие решения упростятся:
wa a
wb b
(1 c os ) (s in ) ,
11 3
22 3
(1) sin(1).
*
(4.137)
Для записи остальных граничных условий (4.131) нам потребуются
производные:
I
wa a
11 3
II 2 2
wa a
11 3
III 3 3
wa a
11 3
I**
wbb
223
II *2 *
wb
23
III *3 *
wb
23
Подчиним решения условиям «склейки» при
sin (cos 1),
cos sin ,
sin cos ,
cos ( ( 1)),
sin ( ( 1)),
cos ( ( 1)).
(4.138)
1
. Получим ли-
2
нейную однородную систему уравнений относительно неизвестных
коэффициентов
1cos sin sin 0,
aa bb
13 23
aa bb
13 23
aab
133
aa b
13 3
, , , aab b
1323
2222 2
sin cos 1 cos 0,
22 2
22*22
cos sin sin 0,
22 2
33*32
sin cos cos 0.
22 2
:
1
*
*
*
(4.139)
*
*
57
Условием существования ненулевых решений этой системы явля-
ется равенство нулю ее определителя:
1cos ; sin ; ; sin ;
2222 2
sin ; cos 1 ; 1; cos ;
22 2
22 *22
cos ; sin ; 0; sin ;
1
*
*
*
0.
*
(4.140)
22 2
33 *32
sin ; cos ; 0; cos
*
22 2
Это трансцендентное уравнение относительно неизвестной
. Оно
имеет бесчисленное множество корней – собственных чисел задачи
устойчивости стержня. Каждому собственному числу соответствует
свое нетривиальное решение – собственная функция задачи. Допустим,
что первые
вим
1
2
n собственных чисел найдены и
в уравнения, выражающие условия «склейки» решения при
i
. Все константы выразим через
.
a
3
– одно из них. Подста-
i
Сумма второго и четвертого уравнений из (4.139) дает
0,
откуда
ba
23
.
i
ab
32
i
Сумма первого и третьего уравнений дает
1
откуда
aa
13
.
i
aa b
13 2
В третье уравнение подставим выражение для
32 2
cos sin sin
ab
33
ii i
22 2
i
0,
22
:
a
1
ii i
58
,
откуда
g
cos sin
() .
G
где
i
i
sin
baG
33
ii
22
i
2
,
()
i
Таким образом, функции прогиба с точностью до множителя
a
имеют вид
() (1 cos ) sin , 0 ;
wi a
13
iiii
wi a G
Коэффициент
принять
() (1) ()sin(1), 1.
23
3
a
3
. Тогда функцию f для аппроксимации прогиба пласти-
1a
ны в направлении оси
(1 ) si n cos , 0 ,
iiii
f
i
(1 ) ( ) sin (1 ), 1.
ii
ii
i
1
2
может быть произвольным. В частности, можно
x можно принять в виде
G
i
1
2
1
2
(4.141)
1
2
(4.142)
Аналогичные действия следует выполнить для нахождения функции
лении оси
, аппроксимирующей функцию прогиба пластины в направ-
y
y. В данном примере вид ее достаточно очевиден, так как
пластина имеет шарнирное опирание на обеих сторонах, перпендикулярных оси
y:
3
y
где
g
– собственные числа задачи устойчивости шарнирно опер-
i
i
sin
ii
, (4.143)
b
того стержня постоянной жесткости.
59
Введем безразмерную координату
A
получим аппроксимирующую функцию
y
;;01
dy b d
b
,
sin ( )
g
ii
. (4.144)
Функции (4.142) и (4.144) используются для вычисления коэффициентов линейной системы (4.105). Решив ее, получим значения
построим функцию прогиба (4.98).
и
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]