Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. – М.: Машино-
строение, 1977.
2. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. – М.: Маши-
ностроение, 1973.
3. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. / под ред. И.Ф. Образцова // Строительная механика летательных аппаратов: учебник для авиационных специальностей вузов. – М
4. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. –
СПб.: БХВ–Петербург, 2007.
5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.:
Физматгиз, 1963.
6. Атапин В.Г., Пель А.Н., Темников А.И. Сопротивление материалов. Базовый курс. Дополнительные главы: учебник. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,
2011.
7. Ventsel E., Krauthammer Th.
applications. New York – Basel: Marcel Dekker, Inc., 2001.
.: Машиностроение, 1986.
Thin plates and shells. Theory, analysis, and
81
ПРИЛОЖЕНИЕ
x
x
x
yz
x
x
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ ПЛАСТИН
Материал пластины, работающей в условиях поперечного изгиба,
находится в сложном напряженном состоянии. В поперечных сечениях
пластины действуют пять внутренних силовых факторов: изгибающие
моменты
Эти силовые факторы обусловлены действием нормальных и каса-
.Q
2
,,MM
12
крутящий момент Н, перерезывающие силы
тельных напряжений, распределенных по высоте сечения так, как показано на рис. П1.
,,
xyxy
y
y
,
xz yz
z
Рис. П1
В точках, прилежащих к внешней и внутренней поверхностям пластинки, возникает плоское напряженное состояние (рис. П2, а). Суще-
ственно, что напряжения
достигают максимума при z = ±h/2
yxy
,,
и равны нулю на срединной плоскости пластины. Напротив, касательные напряжения
zyz
достигают максимума в точках, расположен-
,
ных на срединной плоскости, и равны нулю при z = h/2. Напряженное
состояние при этом имеет вид, показанный на рис. П2, б.
Максимальные значения этих напряжений вычисляются по форму-
и
Q
1
лам:
66
MM
12
xyxy
;;;
222
hhh
6
H
(П.1)
QQ
33
12
xz yz
;.
22
hh
82
Поэтому для обеспечения прочности пластины необходимо прове-
x
x
y
z
z
yz
xz
x
x
x
рить точки, лежащие на ее срединной плоскости, и точки, находящиеся
у поверхности.
y
x
y
y
x
а б
Рис. П2
Для вычисления эквивалентных напряжений по какой-либо теории
прочности определим вначале главные напряжения.
В точках, прилежащих к верхней поверхности пластины (рис. П2, а),
главные напряжения удобно представить на круговой диаграмме
(рис. П3), так как положение одной из главных площадок заранее известно – это площадка, свободная от напряжений.
τ
τ
max
τ
xy
σ
σ3 = 0
σ
σ
y
2
σ
σ
1
x
Рис. П3
Диаграмма на рис. П3 построена для случая растягивающих напряже-
, при этом главные напряжения определяются выражениями:
ний и
y
xy
;
1
2
22
xy
22
1
()4
1
()4
0 .
3
22
yxy
22
yxy
; (П.2)
83
В точках, лежащих на срединной плоскости пластины (рис. П2, б),
x
x
положение ни одной из главных плоскостей заранее не известно. Поэтому для вычисления главных напряжений воспользуемся кубическим
уравнением
32
, (П.3)
123
0SJSJSJ
где S – корни кубического уравнения – главные напряжения данного
напряженного состояния, а инварианты вычисляются по формулам:
J
1
xyz
J
2
x y y z x z xy yz xz
J
3
y z xy yz xz z xy x yz y xz
;
222
2.
222
;
(П.4)
На срединной плоскости пластины (рис. П2, б) из шести компонент
напряженного состояния ненулевыми являются только две – и ,
zyz
а остальные равны нулю:
xyzxy
0,
(П.5)
следовательно
JJ
13
J
2
0,
22
yz xz
(П.6)
.
Кубическое уравнение принимает вид
2
0,SS J
2
откуда
0, .
SS
123
22
(П.7)
yz xz
84
Наибольший корень кубического уравнения – главное напряже-
ние
:
1
22
(П.8)
yz xz
1
.
Наименьший корень кубического уравнения – главное напряжение
:
3
3
22
(П.9)
yz xz
.
А второе главное напряжение равно нулю:
0. (П.10)
2
Главные напряжения приведены на круговой диаграмме (рис. П4).
τ
τ
max
σ
σ
3
σ2 = 0
Рис. П4
σ
1
При расчете на прочность конструкций, выполненных из пластических материалов, используются два критерия предельных состояний.
1. Критерий Треска–Сен–Венана
В основе этой теории предельного состояния лежит гипотеза о равенстве наибольших касательных напряжений в заданном и эквивалентном напряженных состояниях:
max max
экв кон
85
, (П.11)
max
x
где
стоянии, а
– наибольшие касательные напряжения в эквивалентном со-
экв
max
– наибольшие касательные напряжения, действующие
кон
в рассматриваемой конструкции.
В общем случае наибольшие касательные напряжения связаны с
главными напряжениями:
.
max
13
2
За эквивалентное напряженное состояние принимается напряженное состояние растяжения, так как для него есть надежные результаты
экспериментального определения допускаемых напряжений.
Таким образом, в эквивалентном напряженном состоянии ненулевым является только одно главное напряжение
.
1
Следовательно,
max
. (П.12)
экв
экв
2
В соответствии с распределением напряжений в условиях поперечного изгиба пластины (рис. П1) необходимо проверить выполнение
условия прочности в двух точках.
а) У поверхности пластины
z
h
. Здесь главные напряжения
2
определяются выражениями (П.2). Тогда
max
кон
1
, (П.13)
2
Следовательно,
Заменим
с помощью (П.2):
1
экв
xy
22
. (П.14)
экв 1
1
()4
86
22
yxy
. (П.15)
Напряжения, действующие в пластине, связаны с внутренними си-
M
x
ловыми факторами соотношениями (П.1). Тогда для эквивалентных
напряжений получим
MM
2
12
22
()4
MM H
22
. (П.16)
31
экв 12
h
Таким образом, по известным выражениям для изгибающих и крутящих моментов необходимо найти такую точку у поверхности пла-
стинки, в которой комбинация
MM
12
22
1
()4
до-
12
22
MH
стигает наибольшего значения.
После этого определяется коэффициент запаса прочности пластины
где
– предельное для данного материала напряжение. В расчетах
пр
n
пр
, (П.17)
экв
принимается
0.7
.
пр
б) На срединной плоскости пластины (0)z
Т
значения главных
напряжений определяются выражениями (П.8)–(П.10). Эквивалентное
напряжение вычисляется по формуле
. (П.18)
экв 13
22
2
zyz
Касательные напряжения выразим через перерезывающие силы
(П.1):
3
. (П.19)
экв 12
22
QQ
h
Расчетной точкой срединной плоскости пластины будет та, где
комбинация
22
QQ
12
достигает максимального значения.
87
Затем вычисляем коэффициент запаса прочности пластины:
E
E
n
пр
. (П.20)
экв
2. Критерий Губера–Мизеса
В основе этой теории предельного состояния лежит гипотеза о равенстве удельных потенциальных энергий формоизменения в заданном
и эквивалентном напряженных состояниях:
UU
экв кон
U – удельная потенциальная энергия формоизменения в эквива-
где
экв
лентном напряженном состоянии;
,
U – удельная потенциальная
кон
энергия формоизменения в исследуемой конструкции.
Удельная потенциальная энергия формоизменения определяется
выражением
где
1
кон 12 23 31
, , – главные напряжения; – коэффициент Пуассона;
123
()( )()
6UE
222
, (П.21)
– модуль Юнга.
В эквивалентном напряженном состоянии действует лишь одно
главное напряжение:
.
1 экв
Тогда удельная потенциальная энергия формоизменения для эквивалентного напряженного состояния запишется
U
1
экв экв
6
88
2
2
. (П.22)
Приравняем удельные потенциальные энергии формоизменения в
x
M
M
исследуемом и эквивалентном напряженном состоянии и выразим эквивалентные напряжения:
экв 12 23 31
1
2
а) У поверхности пластины
()( )()
222
z
h
главные напряжения опреде-
2
. (П.23)
ляются выражениями (П.2). Тогда
1
()
. (П.24)
экв 12 2 1
2
222
Подставим значения главных напряжений (П.2), получим
экв
22 2
. (П.25)
yxy xy
3
Напряжения в правой части равенства выразим через внутренние
силовые факторы (П.1):
6
. (П.26)
экв 1212
h
22 2
2
MMM H
3
Таким образом, по известным выражениям для изгибающих и крутящих моментов необходимо найти такую точку у поверхности пла-
стинки, в которой комбинация
22
MMM H достигает
1212
3
наибольшего значения.
После этого определяется коэффициент запаса прочности пластинки:
б) На срединной плоскости пластины (0)
пр
n
. (П.27)
экв
z
значения главных
напряжений определяются выражениями (П.8)–(П.10).
89
Эквивалентные напряжения вычисляются по формуле
x
экв
22
3
zyz
. (П.28)
Максимальные касательные напряжения связаны с перерезывающими силами выражениями (П.1), тогда
. (П.29)
33
экв 12
2
QQ
h
22
Расчетной точкой срединной плоскости пластины будет та, где
комбинация
22
QQ достигает максимального значения. Для этой
12
точки определяется коэффициент запаса прочности пластинки:
пр
n
. (П.30)
экв
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]