Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
kx
xa
имея в виду, что функция
sin
и ее вторая производная обеспечи-
a
вают выполнение граничных условий на кромках
y
b
a
0x
и
.
0
x
q
0
Рис. 4.6. Шарнирное опирание кромок,
перпендикулярных оси х
Действующая нагрузка может быть представлена в виде аналогичного ряда:
коэффициенты при
(, ) ()sin
qx y q y
kx
sin
n
k
1
можно вычислить с помощью стандартной
k
kx
, (4.66)
a
a
процедуры:
a
2
() (, )sin
qy qxy dx
k
aa
0
kx
. (4.67)
Подставляя ряды для прогиба (4.65) и нагрузки (4.66) в дифференциальное уравнение изгиба пластин
q
w
, (4.68)
D
41
имеем
42
kk kx
aa a
k
() 2 sin
wy
k
k
24
() ()
dw y dw y
kk
24
dy dy
()
qy
k
sin
kx
. (4.69)
Da
Приравнивая коэффициенты при каждой гармонике, получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение
42
dw dw q
kk k
2
42
dy dy
24
kk
aaD
w
k
. (4.70)
Решение данного уравнения можно представить в виде
где
w
– общее решение однородного дифференциального уравнения;
w
k
*
– частное решение неоднородного уравнения.
k
www
kk
*
k
, (4.71)
Для решения однородного дифференциального уравнения
42
dw k dw k
kk
20
42
dy dy
24
aa
w
k
(4.72)
имеем характеристическое уравнение
24
kk
42
20
aa
2
2
2
k
a
42
0
; (4.73)
; (4.74)
k
A
где
ka
.
1234
a
, (4.75)
Тогда в соответствии с (4.75) общее решение принимает вид
где
kk k k
=sh sh ch ch
wA yBy yC yDy y
k
kk k k
, , ,
BCD
– константы интегрирования, подлежащие опреде-
лению из граничных условий на кромках
0y
и
yb
, (4.76)
.
Если шарнирно опертыми являются кромки, перпендикулярные
оси y (рис. 4.7), то в этом случае прогиб нужно разложить в ряд по
координате y:
n
wwx
k
1
k
()sin
ky
. (4.77)
b
y
b
0
a
x
q0
Рис. 4.7. Шарнирное опирание кромок,
перпендикулярных оси у
Аналогичный ряд запишем для действующей нагрузки:
(, ) ()sin
qx y q x
n
k
k
1
43
ky
, (4.78)
b
где
A
x
b
2
() (, )sin
qx qxy dy
k
bb
0
ky
. (4.79)
После подстановки рядов (4.77) и (4.78) в дифференциальное уравнение изгиба пластин (4.68) получим
42
k
() ()
dw x dw x
kk
dx dx
2 ()sin
42
24
kkky
bbb
qx
k
Db
k
()
sin
ky
wx
k
. (4.80)
Выделяя общее и частное решение (4.71), имеем
где
определению из граничных условий на кромках
=sh sh ch ch
wA xBy xC xDy x
k
kk k k
kb
,
, , ,
BCD
kk k k
– константы интегрирования, подлежащие
, (4.81)
и
0x
.
a
Остановимся на выделении частных решений. В зависимости от
характера нагрузки возможны следующие варианты.
Нагрузка постоянна вдоль оси, по которой функция прогиба рас-
кладывается в ряд по синусам. По другой координате нагрузка –
произвольная функция
(, ) ()qx y qy
(см. рис. 4.6). Тогда в соответ-
ствии с выражением (4.67) получим
aa
22()4()
() ()sin sin
q y q y dx dx
k
aaaak
00
kx qy kx qy
. (4.82)
Дифференциальное уравнение для частного решения в соответствии с (4.70) принимает вид
4* 2*
dw dw
kk
2
42
dy dy
24
kkqy
aakD
44
w
*
k
4()
. (4.83)
Другой случай, допустим, что
y
y
yy
y
yy y
()
qy q
y
– линейная функция,
0
b
тогда
4* 2*
dw dw q
kk
2
42
dy dy
24
kk
aakbD
4
*
wy
k
0
. (4.84)
Будем искать частное решение также в виде линейной функции
где
*
wa
kk
– неизвестный коэффициент. Подставив это решение в уравне-
a
k
y
, (4.85)
b
ние (4.84), получим
4
ky
ay
abkbD
Приравниваем коэффициенты при аргументе
44
() 4
ka qa
bkbD
4kq
0
. (4.86)
:
y
0
k
,
откуда
4
4
qa
a
k
0
()
kD
. (4.87)
5
Тогда частное решение примет вид
*
w
k
0
()
kD
. (4.88)
5
b
4
4
qa
С учетом (4.76) решение уравнения (4.70) запишем следующим образом:
4
4
12 34
wA
kk k k k
sh sh ch ch
A
A
45
A
aq
0
5
()
kbD
. (4.89)
Функция прогиба (4.65) принимает вид
n
12 3
wAyAyyAy
k
sh sh ch
kk k
1
4
4
4
ch sin
Ay y y
k
aq
kbD
()
0
5
kx
a
. (4.90)
Пусть нагрузка является линейной функцией вида
y
где
– константа.
с
()
qy q с
0
, (4.91)
b
Тогда дифференциальное уравнение для нахождения частного решения (4.70) примет вид
4* 2*
dw dw q
kk
2
42
dy dy
24
kk y
aakDb
4
*
w с
0
k
Представим частное решение в виде линейной функции:
*
wa b
kk k
y
. (4.93)
b
Из соотношения (4.92) получим
4
ky y
ab с
ab kDb
kk
4
q
0
. (4.94)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
откуда
4
k
4
4
qa
a
k
0
5
()
kD
,
a
akD
46
4kq
0
, (4.95)
. (4.92)
:
y
y
A
тогда
b
k
4
q сa
0
()
kD
4
k
akD
4
.
5
4kq с
b
0
, (4.96)
Частное решение примет вид
4
4
qa
*
w с
k
()
kD
0
5
. (4.97)
b
4.3. МЕТОД РИТЦА
Метод Ритца можно применять для пластин с любыми вариантами
опирания кромок. Поперечная нагрузка, действующая на пластину,
произвольна. Этот метод применим также к пластинам переменной
толщины.
На рис. 4.8 показана пластина, нагруженная произвольной поперечной нагрузкой. Остановимся на общей схеме метода Ритца.
Искомую функцию прогиба представим в виде двойного ряда:
Здесь
(, ) () ( ).wx y A f x g y
– некоторые коэффициенты, подлежащие определению из
(4.98)
условия стационарности (минимальности) полной энергии деформации
пластины, а
и
()fx
– наперед заданные функции, такие что
()gy
ряд (4.98) заранее удовлетворяет как минимум кинематическим граничным условиями. Кроме того, желательно, чтобы эти функции обладали свойствами полноты и ортогональности на соответствующих отрезках;
, 1, 2,..., n
– немые индексы суммирования.
Как известно, метод Ритца основан на минимизации полной энергии пластины.
D
2
AA
22
w w w w dxdy qwdxdy
() 2(1 ) .
xy xx yy
47
(4.99)
y
b
a
0
x
q(x, y)
Рис. 4.8. Пластина под действием
произвольной нагрузки
Для вычисления полной энергии пластины (4.99) выполним предварительные выкладки. Так,
wAfxgyAfxgy
xx
wAfxgyAfxgy
yy
wAfxgyAfxgy
xy
() () () () () () () ()wA fxgy fxgy A fxgy fxgy
2
( ) () () () ()
wAAfxgyfxgy
() () () ( ),
() () () (),
() () () ().
() () () ()
fxgy fxgy
(4.100)
,
() () () () () () () ()
fxfxgygy fxfxgygy
AA
fxfxgygy fxfxgygy
() () () () () () () ()
48
(1)
.
AAT
2
f
gygy
A
( ) () () () ().
wAAfx
xy
ww A A f xg yf xg y
xx yy
() () () ()
x
AAfxfxgygy
1
ww AA fxgyfxgy fxfxgygy
xx yy
() () () () () () () ( )
2
() () () ( ),
.
() () () ()
fxfxgygy
2
( ) () () () ()
wwwAA fxgyfxgy
xy xx yy
1
2
fxfxgygy
AAT
() () () ()
(2)
.
С помощью этих выражений вычислим потенциальную энергию
пластины:
ab
Uw wwwdxdy
D
2
00
AA T T dxdy
22
() 2(1 )
ab
D
(1) ( 2)
00
AU n
2
1
xy xx yy
2(1 )
, , , , 1, 2,..., ,
(4.101)
2
а также работу внешней распределенной нагрузки:
ab ab
AqwdxdyAqfxgydxdyAR
00 00
() ()
49
. (4.102)
Полная энергия равна их разности:
A
A
A
A
f
g
f
род
П ,
AAAUAR
1
. (4.103)
2
В состоянии равновесия полная энергия пластины, как функция параметров
, должна иметь стационарное (минимальное) значение.
ij
Поэтому
П 11
A
ij
AU AU R
22
11
AU U R
22
ij ij ij
ij ij ij
Таким образом, неизвестные коэффициенты
0.
(4.104)
ряда для функции
ij
прогиба должны быть определены из решения следующей системы
линейных алгебраических уравнений:
Функции
URij n
()
x
k
ij ij
и
, , , , 1, 2, ..., .
()
y
можно получить из решения задачи
k
(4.105)
устойчивости для стержня с такими же условиями закрепления, как и
соответствующие кромки пластины.
Очевидно, что они будут отвечать
всем требуемым условиям.
()
x
k
Рис. 4.9. Стержень под действием
ольной силы
п
Для нахождения функции
решим задачу устойчивости стержня
с такими же условиями закрепления,
как и у пластины (рис. 4.9). Запишем дифференциальное уравнение
устойчивости:
42
dw dw
EI N
42
dx dx
50
(4.106)
0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]