Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строительная механика машин. Поперечный изгиб пластин. Учебное пособие
.pdf
5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПЛАСТИНЫ
r
r
Круговые и кольцевые пластины в полярной системе координат
показаны на рис. 5.1.
q
Q
r
M
θ
r
Q
θ
h
H
M
θ
F
r
θ
J
J
2
z
J
rz
r
2
F
2
J
2
r
Рис. 5.1. Напряжения и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях
круговых пластин
1. Уравнение изгиба в полярной системе координат:
Dwq
,
22
11
222
rr
rr
(5.1)
.
2. Моменты и перерезывающие силы:
22
MD
r
MD
HD
11
rr
(1 ) ,
www
222
rr
11
rr
www
22
22 2
rr
,
,
(5.2)
2
11
ww
rr
2
r
h
QD wQD w
r
( ), ( ).
rr
1
61
3. Напряжения:
3
12
z
,,
h
12
h
12
M
3
z
,,
M
3
z
.
H
3
h
rrrz
r
max
max
z
Q
r
2
h
3
Q
(5.3)
2
h
4. При решении задач поперечного изгиба в полярной системе координат граничные условия на кромках пластины (r = const) принима-
ют вид:
шарнирное опирание
0, 0,
MMD
rr
22
wwww
222
rr
11
rr
; (5.4)
так как после деформации кромка в направлении шарнира остается
2
плоской, то
и граничные условия принимают вид
0w
2
2
ww
0, 0
w
2
rr
r
; (5.5)
защемленная кромка
w
w
0
; (5.6)
r
свободная кромка
1
0,
*
MQQ
rrr
H
. (5.7)
rr
По окружной координате на решение задачи изгиба круговых или
кольцевых пластин накладывается условие периодичности.
В центре круговой пластины накладываются условия ограниченно-
сти решения.
62
5.1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
КРУГОВЫХ И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН
Рассмотрим изгиб круговых или кольцевых
пластин, у которых действующая на них нагрузка не зависит от окружной координаты –
случай осесимметричного изгиба (рис. 5.2):
(), ().qqr wwr
(5.8)
Уравнение осесимметричного изгиба
Рис. 5.2. Круглая пластина под осесиммет-
ричной нагрузкой
22
dr dr
1 () 1 () ()dddwrdwrqr
rdr r dr D
Оператор уравнения (5.9) представим в виде
2
dd dddd
2
dr
2
11 1
rdr r dr dr r dr dr
rr
.
(5.10)
Тогда из уравнения (5.9) получим
1 1 () ()dd ddwr qr
rr
rdr dr r dr dr D
. (5.11)
Последовательно интегрируя (5.11), получим общий интеграл зада-
чи осесимметричного изгиба круговых и кольцевых пластин
11()
()
wr r drdrdrdr
rrD
rq r
. (5.9)
22
ln ln .cr rcr c rc
1234
(5.12)
Постоянные интегрирования определяются из условий опирания
кромок пластины.
63
Рис. 5.3. Круглая пла-
ру
стина под постоян ной наг
зкой
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Пусть круговая пластина, защемленная
по внешнему контуру, изгибается под действием постоянной нагрузки q (рис. 5.3).
В этом случае общий интеграл уравнения осесимметричного изгиба круговых и кольцевых
пластин (5.12) запишется
4
qr
( ) ln ln .
wr cr rcr c rc
64
D
22
1234
(5.13)
Из условия ограниченности решения в цен-
тре пластины следует
На внешней кромке пластины
13
()ra
(5.14)
0.cc
в соответствии с условиями опи-
рания
dw
w
(5.15)
0.
dr
Отсюда
2
qa
32
qa
,
D
(5.16)
4
.
D
c
2
c
4
64
Тогда общее решение задачи запишется в виде
q
wra
64
222
().
(5.17)
D
64
Выражение для функции прогиба позволяет
M
построить функции изгибающих моментов
,
M
и пререзывающую силу
r
Q
.
r
2. Пусть кольцевая пластина, шарнирно
опертая по внешнему контуру, соединена с бесконечным невесомым диском, к которому приложена сила P (рис. 5.4).
Общий интеграл рассматриваемой задачи
согласно (5.12)
Рис. 5.4. Кольцевая
пластина под действием сосредоточен ной силы
Краевые условия:
ra w
rb
Подставив (5.18) в (5.19), получим
22
ln ln 0,
ca aca c ac
1234
2(1 )ln 3 2(1 ) (1 ) 0,
ca c c
123
(2ln 1) 2 0,
cb b bc c
123
() ln lnwr cr rcr c rc
22
1234
2
dw dw
dr
dw
0,
2
rdr
0,
0,
. (5.18)
(5.19)
dr
2
ddw dw P
D
dr r dr b
dr
1
2
.
2
1
2
a
1
(5.20)
b
P
8
65
.
D
c
1
Система алгебраических уравнений
(5.20) определяет постоянные интегрирова-
С
ния
(i = 1, 2, 3, 4) общего интеграла рас-
i
сматриваемой задачи (5.18).
3. Пусть кольцевая пластина шарнирно
оперта по внешнему контуру и защемлена –
по внутреннему (рис. 5.5). Пластина нагружена распределенной нагрузкой, изменяющейся по радиусу по линейному закону:
()
Рис. 5.5. Кольцевая пластина под действием линейно изменяющейся на-
грузки
() , .
qr q b r a
ra
0
()
ba
Введем безразмерную координату
a
и обозначим
.
(5.21)
b
Тогда
()
() , 1.
qq
0
(1 )
(5.22)
Решение задачи найдем из дифференциального уравнения попе-
речного изгиба пластины при осесимметричной нагрузке:
r
b
22
1()1()()
dddWrdWrqr
22
rdr r dr D
dr dr
(5.23)
,
при заданных граничных условиях:
ra W
0, 0,
dW
dr
rb W M
2
dW dW
0, 0 0 .
dr
2
66
rdr
r
(5.24)
В дифференциальное уравнение поперечного изгиба подставим
безразмерную координату:
22
1()1()()
dddW dW
22
dd
ddD
qb
0
4
(5.25)
(1 )
и обезразмерим функцию прогиба:
D
(5.26)
wW
qb
.
4
0
Получим дифференциальное уравнение для определения w:
22
dd
1()1()()
dddwdw
22
dd
(1 )
(5.27)
.
Граничные условия с учетом обезразмеривания принимают вид:
0, 0,
w
10, 0.
w
dw
d
2
dw dw
d
2
d
(5.28)
Решение этого дифференциального уравнения будем искать в виде
общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:
*
.www
(5.29)
Для общего решения однородного уравнения имеется форма:
( ) ln ln .wc c c c
22
1234
(5.30)
Частное решение должно удовлетворять уравнению
22**
dd
1()1()()
dddw dw
22
dd
67
.
(1 )
(5.31)
Левую часть уравнения представим в виде последовательности
дифференциальных операторов:
11()()
dd ddw
dd d d
*
(5.32)
(1 )
и после интегрирования получим частное решение:
54
1
*
w
1 225 64
.
(5.33)
Таким образом, общее решение уравнения (5.25) имеет вид
54
1
( ) ln ln .
wc c c c
22
1234
1 225 64
(5.34)
Это решение следует подчинить граничным условиям (5.28). В ре-
зультате получим четыре уравнения для определения четырех констант интегрирования
–сс
.
14
5.2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗГИБА КРУГОВЫХ
И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН
Рассмотрим круговую или кольцевую пластину, нагруженную по-
перечной нагрузкой
(, ).qqr
(5.35)
Дифференциальное уравнение поперечного изгиба в полярной си-
стеме координат
(, )Dwqr
. (5.36)
Здесь
22
11
rr
222
rr
.
К уравнению (5.36) необходимо присоединить по два краевых
условия на каждой кромке пластины.
68
Воспользуемся методом разделения переменных. Представим
p
нагрузку в виде
(, ) () ()cos ()sin .
qr q r q r m p r m
0
mm
11
mm
(5.37)
Коэффициенты разложения (5.37) находятся с учетом условий попарной ортогональности сомножителей при первом, втором и третьем
слагаемом:
qr qr d
0
qr qr md
m
m
1
() (, ) ,
() (, )cos ,
rqrmd
() (, )sin .
2
1
1
(5.38)
Пусть
(, ) () ()cos ()sin .
wr W r W r m r m
0
mm
11
mm
(5.39)
Вводим представления (5.37), (5.39) в уравнение (5.36), которое с учетом ортогональности запишется в виде
()
qr
1) ( ) , 0,
2) ( ) cos cos , 1,
3) ( ) sin sin , 1,
4) ( )cos cos , 2,
5) ( ) sin sin , 2.
Wr m
0
Wr m
1
1
Wr m m m
m
m
0
D
()
qr
1
D
()
pr
rm
1
(5.40)
D
()
qr
m
D
()
pr
rm m m
m
D
69
После разделения переменных из (5.40) получим
2
dd
11
1) , 0,
2)
22
dr dr
rdr r dr D
2
dd
11 1
222 2
dr r dr r
rdr r dr
qr
()
1
,1,
2
dW r dW r q r
() () ()
000
2
dWr dWr Wr
() () ()
111
m
D
2
dd
11 1
3)
222 2
dr r dr r
rdr r dr
()
pr
1
,1,
m
2
drdr r
() () ()
111
D
22 2
4) ( )
dr r dr r
11
ddm m
222 2
rdr r dr
()
qr
m
,2,
m
2
() ()
dW r dW r
mm
D
22 2
5) ( )
dr r dr r
11
ddm m
222 2
rdr r dr
2
() ()
drdr
mm
m
Wr
m
m
(5.41)
r
()
pr
m
,2.
m
D
Мы получили обыкновенные дифференциальные уравнения для
W
W
,
,
определения функций
0
m
(m = 1, 2, 3,...). Выполним их инте-
m
грирование.
Решение первого уравнения будет иметь вид
() () ln ln .Wr W r a ar a r ar r
00001020304
22
70
(5.42)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]