Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы в теплотехнических исследованиях. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
7. Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения
i
y
ˆ
2
ост
s
регрессии с помощью t–статистики Стьюдента (3.9) для каждого коэффициента
и сделать выводы об их статистической значимости. По результатам проверки,
с учетом исключенных коэффициентов, написать итоговое уравнение регрессии.
8. По полученному уравнению провести расчет по полученному урав-
нению регрессии (
) и результаты записать в таблицу.
9. Проверить точность работы полученной модели, рассчитав оста-
точную дисперсию
(3.10).
10. Сделать вывод об адекватности модели, рассчитав F-статистику
(3.11).
Контрольные вопросы
1. Что называется дробной репликой?
2. Какого типа модель может быть построена при проведении ДФЭ?
3. В чем заключается кодирование факторов?
4. Какой смысл придается генератору плана?
5. Какую роль играет определяющий контраст?
6. Что такое смешение оценок коэффициентов и как это влияет на каче-
ство модели?
7. Как формулируются оценки дисперсии: воспроизводимости, адек-
ватности; разброс каких случайных величин они характеризуют?
8. Каким образом производится количественная оценка влияния факто-
ров?
41
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ БОКСА-УИЛСОНА
Цель работы – знакомство с идеей и методикой построения факторных
планов экспериментов для создания нелинейной регрессионной модели исследуемого объекта.
Предпосылки и идея композиционного плана
Планы, рассмотренные ранее, базировались на линейной модели изучаемого процесса. В практике планирования факторного эксперимента может понадобиться исследование нелинейных объектов. Для ее описания приходится использовать нелинейные полиномы – чаще всего полиномы второго порядка.
Очевидно, что применение ПФЭ даже на трех уровнях типа 3k приведет к заметному увеличению числа опытов. При этом число коэффициентов уравнения
регрессии, которые необходимо определить, значительно меньше числа опытов. Например, при трехфакторном эксперименте, выполняемом на трех уровнях, требуется определение всего 10 коэффициентов уравнения регрессии, при
четырехфакторном – 15, пятифакторном – 25. Очевидно, что число опытов в
плане типа 3k растет значительно интенсивнее, чем число коэффициентов уравнения регрессии, которые необходимо определить. Приведенные соображения
показывают, что план типа 3k неприемлем, так как не может рассматриваться
как оптимальный вследствие большого числа опытов.
Сокращение числа опытов достигается применением так называемых композиционных планов, которые были предложены Боксом и Уилсоном в 1951 г.
Идея композиционного плана заключается в следующем. Предполагается, что,
попав в почти стационарную область, исследователь сначала ставит опыты, используя планы, основанные на линейной модели. Затем, убедившись, что гипотеза линейности отвергается, он достраивает линейный план до плана второго
порядка.
42
Если уже был ранее сформирован план ПФЭ, но точность его функции от-
),...,3,2,1,0( kix
i
,,,...,1,,...,1,0, jikjkixx
ji
),0,(
,22
0
kkN
k
k 2 3 4 5
6
ОЦКП
9
15
25
43
77
ПФЭ 32
9
27
81
243
729
.0
1Nk
jkik
xx
клика не удовлетворяет, то мы можем достроить этот план до плана второго
порядка (композиционный план) и сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, без потери информации о ранее сделанных опытах.
Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, чтобы матрица С=ХтХ оказалась диагональной. Используем этот подход, реализованный в ПФЭ типа 2k, и при построении планов
второго порядка. План называется центральным, если все точки расположены
симметрично относительно центра плана. ОЦКП – ортогональный центральный
композиционный план.
В ОЦКП входят: ядро – план ПФЭ с N0= 2k точками плана, k0 - центральная
точка плана
и по две “звездные” точки для каждого фактора
α – плечо “звездных” точек.
При этом в каждой плоскости, содержащей ось y и координатную ось i-
того фактора (проходящей через центр плана), оказываются три значения фактора хi
и три соответствующих значения y.
Общее количество точек в плане ОЦКП составляет
(5.1)
где для ОЦКП k0=1.
При k>2 в ОЦКП будет меньшее количество опытов, чем в плане ПФЭ 3k.
Таблица 1
Число точек в плане
Для ортогонального плана необходимо, чтобы выполнялось соотношение
43
Это означает необходимость выполнения требования, чтобы сумма эле-
axx
jkjk
2'
k
х0
х1
х2
х3
х1х2
х1х3
х2х3
х1х2х3
х4=х
1
2
-
а
х5=х
2
2
-
а
х6=х
3
2
-
а
у
Точки плана ПФЭ
2
3
(N
0
=2
n
точек)
1
+1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
1-а
1-а
1-а
у1 2 +1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
1-а
1-а
1-а
у2 3 +1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
1-а
1-а
1-а
у3 4 +1
+1
+1
–1
+1
–1
–1
–1
1-а
1-а
1-а
у4 5 +1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
1-а
1-а
1-а
у5 6 +1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
1-а
1-а
1-а
у6 7 +1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
1-а
1-а
1-а
у7 8 +1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
1-а
1-а
1-а
у8
Звездные
точки (2n то-
чек)
9
+1
–α 0 0 0 0 0 0
α2-а
–а
–а
у9
10
+1
+α 0 0 0 0 0 0
α2-а
–а
–а
у10
11
+1 0 –α 0 0 0 0 0 –а
α2-а
–а
у11
12
+1 0 +α 0 0 0 0 0 –а
α2-а
–а
у12
13
+1 0 0
–α 0 0 0 0
–а
–а
α2-а
у13
14
+1 0 0
+α 0 0 0 0
–а
–а
α2-а
у14
Нулевая
точка
15
+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
у15
N
k
ik
x
1
- N 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
N
k
ik
x
1
2
-
N
2
22 a
n
2n
2
0
2
222
)22(
)(2)1(2
anna
aa
n
ментов любого столбца (кроме j=0), включая столбцы, соответствующие квадратам фактора, должна быть равна нулю. Это возможно, если члены столбцов,
соответствующих квадратам факторов, преобразованы, иначе сумма квадратов
факторов не может быть равна нулю.
Преобразование элементов этих столбцов осуществляется в виде
,
где а – величина, зависящая от числа факторов.
Реализация ортогонального композиционного плана
В общем случае ортогональный центрально-композиционный план для
трех (k=3) факторов представлен в табл. 2.
Таблица 2
Ортогональный центрально-композиционный план для 3 факторов
44
В ОЦКП каждый фактор фиксируется, в общем случае, на пяти уровнях
)(
2
1
00
NNN
N
N
a
0
k
х0
х1
х2
х3
х1х2
х1х3
х2х3
х1х2х3
х4’
х5’
х6’
у
1
+1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
0,27
0,27
0,27
у1 2 +1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
0,27
0,27
0,27
у2 3 +1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
0,27
0,27
0,27
у3 4 +1
+1
+1
–1
+1
–1
–1
–1
0,27
0,27
0,27
у4 5 +1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
0,27
0,27
0,27
у5 6 +1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
0,27
0,27
0,27
у6 7 +1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
0,27
0,27
0,27
у7 8 +1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0,27
0,27
0,27
у8 9 +1
–1,215
0 0 0 0 0 0 0,75
–0,73
–0,73
у9
10
+1
+1,215
0 0 0 0 0 0 0,75
–0,73
–0,73
у10
11
+1 0 –1,215
0 0 0 0 0
–0,73
0,75
–0,73
у11
12
+1 0 +1,215
0 0 0 0 0
–0,73
0,75
–0,73
у12
13
+1 0 0
–1,215
0 0 0 0 –0,73
–0,73
0,75
у13
14
+1 0 0
+1,215
0 0 0 0 –0,73
–0,73
0,75
у14
15
+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
у15
N
k
ik
x
1
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N
k
ik
x
1
2
15
10,952 8
4,373
(-α, -1, 0, 1, +α).
Неизвестные “а” и “α” зависят только от числа влияющих факторов и
определяются следующим образом:
,
. (5.2)
Например, для ОЦКП при числе факторов k=3 имеем следующие параметры плана
,
,
.
Сам план принимает вид, представленный в табл. 3.
План ОЦКП при числе факторов k=3
Таблица 3
В отличие от планов ПФЭ для ОЦКП сумма квадратов факторов разных
столбцов не является одинаковой.
45
По результатам опытов плана формируется полином
).()()(
ˆ
2
36
2
25
2
14321123
3223311321123322110
axbaxbaxbxxxb
xxbxxbxxbxbxbxbbY
6541232313123210
,,,,,,,,,, bbbbbbbbbbb
2
36
2
25
2
14321123322331132112332211
'
0
ˆ
xbxbxbxxxbxxbxxbxxbxbxbxbbY
abababbb
6540
'
0
k 2 3 4 5 6 7 8 α
1
1,215
1,414
1,596
1,761
1,909
2,045
a
0,667
0,730
0,800
0,860
0,910
0,946
0,968
N 9 15
25
43
77
143
273
Фактор
Минимальное
значение
фактора
Максимальное
значение
фактора
Основной
уровень
фактора
Диапазон
варьирования
Расход топлива
а
1
b1
с
1
d1
Температура воздуха
а
2
b2
с
2
d2
Температура металла в
начале нагрева
а
3
b3
с
3
d3
Относительные потери
тепла (1-η)
а
4
b4
с
4
d4
Коэффициенты полинома
определяются в со-
ответствии с методикой, рассмотренной в лабораторной работе № 3 «Планирование типа 2k».
Можно преобразовать полином к виду
,
где
.
Таблица 4
Значения параметров ОЦКП при числе факторов
k
При k =2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 23. Звездные точки ОЦКП только
в этом случае лежат на границах варьирования факторов.
План ОЦКП не является насыщенным. Так, например, для k=3 полином
имеет 11 членов со своими коэффициентами, но для их определения используются 15 опытов.
Задание и порядок выполнения работы.
1. Провести кодирование (3.1) факторов приведенных в табл. 5.
Таблица 5
Факторы для построения математической модели
46
2. Рассчитать количество опытов (5.1), плечо «звездных» точек «а» и
i
у
2
i
s
max
G
i
Y
ˆ
2
ост
s
величину сдвига «α» (5.2).
3. Написать уравнение регрессии и построить матрицу планирования
в виде таблицы, предусмотрев место для записи результатов наблюдений при
дублировании опытов m=3, среднего значения по результатам эксперимента и
расчетного значения по полученной модели.
4. Запустить программу «Модель нагревательной печи». Выбрать но-
мер варианта и количество дублирующих опытов.
5. Установив дисперсию помехи по заданию преподавателя, провести
эксперимент при соответствующих значениях факторов.
6. Рассчитать среднее значение отклика
(3.3) и вычислить коэффи-
циенты уравнения регрессии bi (3.4).
7. Рассчитать оценку дисперсий воспроизводимости
нить проверку гипотезы об однородности оценок дисперсии
(3.6) и выпол-
(3.7). Сделать
вывод о воспроизводимости эксперимента.
8. Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения
регрессии с помощью t–статистики Стьюдента (3.9) для каждого коэффициента
и сделать выводы об их статистической значимости.
9. По результатам проверки, с учетом исключенных коэффициентов,
написать итоговое уравнение регрессии.
10. По полученному уравнению провести расчет регрессии (
) и ре-
зультаты записать в таблицу.
11. Проверить точность работы полученной модели, рассчитав оста-
точную дисперсию
(3.10).
12. Сделать вывод об адекватности модели, рассчитав F-статистику
(3.11).
47
Контрольные вопросы
1. В чем состоит идея композиционного планирования?
2. Какого типа модель может быть построена при реализации компози-
ционных планов?
3. Что такое «звездная точка»?
4. Что означает «центральность» композиционного плана?
5. Каким образом достигается ортогональность центральных компози-
ционных планов?
6. Как формулируются оценки дисперсии: воспроизводимости, адек-
ватности; разброс каких случайных величин они характеризуют?
7. Каким образом производится количественная оценка влияния факто-
ров?
48
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
y
ˆ
constу)ˆ(
2
constу)ˆ(
2
РОТОТАБЕЛЬНОЕ ОРТОГОНАЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНО-
КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Цель работы – знакомство с идеей и методикой построения рототабельного ортогонального центрально-композиционного плана экспериментов для
создания нелинейной регрессионной модели исследуемого объекта.
Ортогональные центральные композиционные планы Бокса-Уилсона
(ОЦКП) имеют недостаток, связанный с различной точностью предсказаний
значений
на разных удалениях от центра плана, т.е.
, при R=const,
где R – радиус-вектор в факторном пространстве, т.е. дисперсия (точность)
предсказания выхода по найденному уравнению регрессии постоянна в различных направлениях факторного пространства в точках, расположенных на одинаковом расстоянии от центра планирования.
Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план (РОЦКП)
строится аналогично рассмотренному ранее ОЦКП. К использованному в качестве
ядра плану ПФЭ 2k добавляются “звездные” точки - по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. “Звездные” точки должны располагаться на поверхности гиперсферы с радиусом R, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2k, то есть
величина плеча “звездных” точек α должна равняться радиусу R. Это может быть
обеспечено при выполнении условия ортогональности, только при соответствующем выборе числа наблюдений в центральной (нулевой) точке плана k0. Для
РОЦКП k0 зависит от числа факторов k. Напомним, что в ОЦКП k0 = 1 для любого
числа k.
В РОЦКП обеспечивается равная точность предсказания выхода внутри
области планирования, т.е.
, при R=var,
49
Таким образом, при построении РОЦКП с ядром из плана ПФЭ 2k плечо
.k
.2
2
4
2
0
k
k
k
k
k
1 2 3 4 5 6 7
8
k
1
1,414
1,732
2
2,236
2,45
2,646
2,83
.2
2
4
2
0
k
k
k
k
4 8 10,5
12
13,13
14,25
15,53
17
N0=2k
2 4 8
13
32
64
128
256 N 8
16
24,5
36
55,13
90
157,55
289
NNа
0
0,5
0,5
0,574
0,67
0,76
0,84
0,9
0,94
Фактор
Минимальное
значение
фактора
Максимальное
значение
фактора
Основной
уровень
фактора
Диапазон
варьирования
Расход топлива
а
1
b1
с
1
d1
Температура воздуха
а
2
b2
с
2
d2
Температура металла в
начале нагрева
а
3
b3
с
3
d3
Относительные потери
тепла (1-η)
а
4
b4
с
4
d4
“звездных” точек определяется числом факторов
(6.1)
Для РОЦКП число наблюдений в центре плана
(6.2)
Если k0 не целое, то при практическом построении плана его округляют до
целого, но свойство ортогональности плана нарушается.
Параметры РОЦКП в зависимости от числа факторов
Таблица 1
Задание и порядок выполнения работы
1. Провести кодирование (3.1) факторов, приведенных в табл. 2.
2. Определить количество опытов, плечо «звездных» точек «а» и ве-
личину сдвига «α» в соответствии с табл. 2.
Факторы для построения математической модели
Таблица 2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]