Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы в теплотехнических исследованиях. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
- средние арифметические
jg
y
m
l
jgl
jg
y
m
y
1
1
j
y
22
1
2
1 1
2
11
u
g
jg
u
gml
jgl
j
y
u
y
mu
y
g
y
11
1
1
1 1
1
11
u
j
jg
u
jml
jgl
g
y
u
y
mu
y
1 2
1 1 1
21
1
uju
gml
jgl
y
mии
у
2
0
2
0
2
12
2
1
2
2
серий из т повторных наблюдений для
каждого сочетания уровней j и g факторов х1 и х2
; (2.1)
- средние арифметические
по строкам из и2т параллельных наблюде-
ний для каждого g-го уровня фактора х1
- средние арифметические
по столбцам их и1т параллельных наблюде-
ний для каждого j-го уровня фактора х2
- общее среднее арифметическое y всех и
сочетаниям уровней
; (2.2)
; (2.3)
т наблюдений по всем и1и
1и2
2
. (2.4)
При указанном расположении наблюдений их рассеивание в каждой серии
относительно среднего той же серии обусловлено действием только случайных
причин (с дисперсией
). Рассеивание же самих средних серий по всем воз-
можным сочетаниям уровней х1 и х2 вокруг общего среднего помимо фактора
случайности (с дисперсией
х1х
(с дисперсией
2
). Кроме этих факторов на рассеивание средних по стро-
кам оказывает влияние только один фактор х1 (с дисперсией
средних по столбцам – только один фактор х2 (с дисперсией
) вызывается влиянием фактора взаимодействия
), а рассеивание
), так как все
уровни другого фактора в каждом из этих случаев осреднены.
21
В соответствии с основной идеей дисперсионного анализа разложим сумму
12210
1 1 1
2
1 2
)( ССССyyС
uju
gml
jgl
1 2
1 1 1
2
)(
uju
gml
jgl
yyС
1 2
1 1 1
2
0
)(
uju
gml
jg
jgl
yyС
1
1
2
21
)(
u
j
j
yymuС
j
y
2
1
2
12
u
g
g
yymuС
g
y
1 2
1 1
2
12
uju
g
gjjg
yyyymС
jg
y
12210
,,,,
С квадратов отклонений наблюдений от общего среднего на компоненты, отве-
чающие перечисленным факторам.
, (2.5)
где
1)
вание отдельных наблюдений y
- общая сумма квадратов, характеризующая рассеи-
в общей совокупности за счет влияния всех
jgl
факторов;
2)
- сумма квадратов отклонений «внутри серий», ха-
рактеризующая рассеивание отдельных наблюдений за счет влияния фактора
случайности;
3)
рактеризующая рассеивание средних
тора случайности, фактора х1 и фактора взаимодействия х
4)
- сумма квадратов отклонений «между строками», ха-
по строкам в результате действия фак-
;
1х2
- сумма квадратов отклонений «между столбцами»,
характеризующая рассеивание средних
фактора случайности, фактора х2 и фактора взаимодействия х
5)
сериями», характеризующая рассеивание средних
ствия фактора случайности, фактора взаимодействия х
по столбцам в результате действия
.
1х2
- сумма квадратов отклонений «между
серий в результате дей-
.
1х2
Величины С, С0, С1, С2, С12, деленные каждая на соответствующее ей число
степеней свободы
, дают несмещенные оценки дисперсий:
1) выборочная общая дисперсия по всем наблюдениями
22
2
12
2
2
2
1
2
0
2
С
s
(2.6)
1
21
muu
2
0
0
0
2
0
С
s
)1(
210
muu
2
12
2
12
2
0
1
1
2
1
mmu
С
s
1
11
u
2
12
2
21
2
0
2
2
2
2
mmu
С
s
1
22
u
2
12
2
0
12
12
2
12
m
С
s
)1)(1(
2112
uu
12210
2
1
2
2
0,0
2
2
2
1
2
1
s
2
12
s
2
2
s
2
12
s
),(
121
2
12
2
1
1
F
s
s
F
),(
122
2
12
2
2
2
F
s
s
F
с числом степеней свободы
;
2) выборочная дисперсия рассеивания «внутри серий» (или остаточная
оценка)
(2.7)
с числом степеней свободы
;
3) выборочная дисперсия рассеивания «между строками»
(2.8)
с числом степеней свободы
;
4) выборочная дисперсия рассеивания «между столбцами»
(2.9)
с числом степеней свободы
;
5) выборочная дисперсия рассеивания «между сериями»
(2.10)
с числом степеней свободы
Число степеней свободы проверяется по соотношению
.
.
Анализ значимости факторов х1 и х2 и их взаимодействия х1х2 проводится
по критерию Фишера при выбранном уровне значимости в следующем порядке:
1) влияние факторов х1 и х2 с дисперсиями
знается значимым (т.е.
), если окажется значимым соответствен-
и
соответственно при-
но отличие
от
и
от
, т. е. если
и
. (2.11)
23
Значения
),(21F
0
2
1
0
2
2
)(
2
12
2
0
m
2
1
s
2
12
s
2
2
s
2
12
s
),(
1211
FF
2
12
2
0
211
2
1221
2
11
2'
12
)1)(1()1(
)1)(1()1(
m
uuu
suusu
s
)1(
12
'
12
uu
),(
1222
FF
2
12
2
0
212
2
1221
2
22
2''
12
)1)(1()1(
)1)(1()1(
m
uuu
suusu
s
)1(
21
''
12
uu
0
2
1
0
2
2
2
1
s
2
2
s
2
12
s
)(
2
12
2
0
m
2
12
2
0
2121
2
1221
2
22
2
11
2'''
12
)1)(1()1()1(
)1)(1()1()1(
m
uuuu
suususu
s
1
21
'''
12
uu
2
12
0
2
12
2
12
s
2
0
s
),
012
2
0
2
12
12
F
s
s
F
),(
01212
FF
0
2
12
2
12
s
2
0
s
2
0
2121
2
021
2
1221
2
0
)1()1)(1(
)1()1)(1(
muuuu
smuusuu
s
1
2121
0
uumuu
определяются по табл.4 приложения.
2) если одно из этих неравенств не выполняется, т.е. влияние соответствующего фактора незначимо (
получаем две оценки
и
или
или
и
), то для дисперсии
соответственно, которые можно
объединить в сводную оценку;
- если
, (2.12)
;
- если
, (2.13)
;
3) если оба неравенства не выполняются, т.е. влияния обоих факторов не-
значимы (
и
), то оценки
можно объединить в сводную
;
4) влияние взаимодействия х
(
мым (
), если отличие
5) если
), и обе оценки
и
, то влияние взаимодействия х
,
с дисперсией
1х2
и
для дисперсии
признается значимым
окажется значимым, т.е. если
; (2.15)
1х2
и
можно объединить в одну
, (2.14)
считается незначи-
, (2.16)
;
24
6) если влияние факторов х1, х2 и их взаимодействия х1х2 незначимы, то
2
s
2
1 1
u
gml
jglj
yY
1
1 1
u
jml
jglg
yY
1 2
1 1 1
2
1
uju
gml
jgl
yQ
1
1
2
2
2
1
u
j
j
Y
mu
Q
2
1
2
1
3
1
u
g
g
Y
mu
Q
1 2
1 121
4
1
uju
gml
jgl
y
m
Q
2
1
21
2
1
21
5
21
11
u
g
g
u
j
j
Y
muu
Y
muu
Q
2
s
2
0
s
2
1
s
2
2
s
дисперсию воспроизводимости можно оценить выборочной общей дисперсией
.
Для практических вычислений сумм С удобно пользоваться их преобразо-
ванными выражениями:
где
С = Q1 – Q5 ; С0 = Q1 – Q
С
= Q3 – Q
2
= Q4 + Q5 – Q2 – Q3,
5 С12
(j=1…u1),
,
4
С
= Q2 – Q5; (2.17)
1
,
,
Задание и порядок выполнения работы
1. Запустить программу Laba2. Выбрать номер варианта.
2. Выбрать пункт меню «Двухфакторный анализ».
(g=1…u2),
,
.
3. Задать количество:
– уровней варьирования фактора № 1 – 4;
– уровней варьирования фактора № 2 – 4;
– дублирующих опытов – 5;
4. Нажать кнопку «выполнить опыты».
5. По выражениям (2.17) рассчитать значения сумм С.
6. Рассчитать:
выборочную общую дисперсию по всем наблюдениями
выборочную дисперсию рассеивания «внутри серий»
выборочную дисперсию рассеивания «между строками»
выборочную дисперсию рассеивания «между столбцами»
(2.6),
(2.7),
(2.8),
(2.9),
25
выборочную дисперсию рассеивания «между сериями»
2
12
s
7. Проанализировать влияние факторов х1, х2 и х1х2 в соответствии с (2.11)-
(2.16).
Контрольные вопросы
1. Что называется фактором изменчивости и случайности?
2. Какого типа практические задачи обычно решаются методом дис-
персионного анализа?
3. Какие основные предпосылки применения дисперсионного анали-
за?
4. В чём заключается основная идея метода дисперсионного анализа?
5. Как формулируются оценки дисперсии: общая, между сериями и
(2.10).
остаточная; разброс каких случайных величин они характеризуют?
6. Каким образом производится количественная оценка влияния фак-
торов?
26
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ПЛАНИРОВАНИЕ ТИПА 2k
Цель работы – знакомство с идеей и построением планов экспериментов
для разработки многофакторной линейной регрессионной модели исследуемого
объекта.
Основы теории планирования эксперимента
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) является одним из способов по-
строения математической модели (идентификации) недетерминированного
объекта.
Математическая модель в этом случае может быть получена в виде урав-
нения связи выходной зависимой переменной y от независимых переменных Х1,
Х2, …,Хj,…, Х
. В пространстве связи k+1 факторов уравнение связи является
k
описанием некоторой поверхности отклика и может быть задано функцией отклика y=f(Х
, Х2, …, Х
1
k
).
Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то
можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например, в степенной ряд в виде полинома
Y=В
+ B
0
+ … + B
1Х1
kХk
+ В
12Х1Х2
+ … В
kk-1ХkХk-1
+ В
2
+ … + ВkkX
11Х1
2
+….
k
Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама
функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.
Факторы могут иметь разные размерности и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов. Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных
факторов, причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе
начала координат в точку с координатами Х
1ср, Х2ср
, …, Х
nср
.
27
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для
j
jj
j
X
XХ
х
0
...
1
3
,...,
1,...,
2,...,11
2
,...,
1,...,11
0
N
k
kkkk
Nki
Nkj
Nk
ijkkji
N
k
kkk
Nkj
Nk
jkkj
N
k
kk
xbxxxbxbxxbxbbY
каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, и
вычитание – нижний уровни фактора. Для упрощения записи условий каждого
опыта и обработки выборочных данных желательно, чтобы верхний уровень
соответствовал +1, нижний –1, а основной – 0. Это легко достигается с помощью преобразования
, (3.1)
где хj – кодированное значение j-го фактора: Хj – натуральное значение фактора,
Х
натуральное значение основного уровня фактора, ΔХj – интервал варьиро-
j0 –
вания j-го фактора.
Уровни факторов могут быть количественные и качественные. Если фактор изменяется дискретно, например, он является качественным, то каждому
уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1
до –1. Так, при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.
Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы
Y=f(x
,…, х
1
Y=b0+b
) и записана в полиномиальном виде
k
1х1+b2х2
+…+bkх
k+b12х1х2
+…+b
kk-1хk-1хk+b11х1
2
+ …+bkkх
2
+….
k
Очевидно, что Bi ≠ bi .
Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния
факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их
коэффициента bi. Для полинома в натуральных факторах величина коэффициента Вi еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.
Степенной вид полинома может быть записан в более компактной форме
28
Планирование полного факторного эксперимента
kjj
ki
jiij
k
i
ii
xxbxbbY
,...,
1,...,11
0
.
Номер
опыта
Матрица планирования
Выход уj
x0
x1
x2
x1x2
1
+1
+1
+1
+1
y1
2
+1
+1
-1
-1
y2 3 +1
-1
+1
-1
y3
4
+1
-1
-1
+1
y4
Если выбранная модель включает только линейные члены полинома и их
произведения, то для оценки всех параметров модели используется план эксперимента с варьированием всех факторов на двух уровнях. Такие планы принято
называть планами 2k, где 2k=N – количество всех возможных опытов, k – коли-
чество факторов. Число изучаемых факторов может быть любым. Таким образом, рассматривается полином вида:
. (3.2)
План эксперимента 2k задает способ симметричного расположения экспериментальных точек (опытов) относительно нулевого уровня. Симметричное
расположение достигается выбором интервалов варьирования.
Для определения коэффициентов уравнения регрессии b0, b1, b2 … b
k-1,k
необходимо построить матрицу планирования (МП). С учетом концепции многофакторности варианты опытов эксперимента составляют полный набор комбинаций уровней факторов с использованием кодированных значений -1, +1 и
могут быть построены в виде матрицы планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа 2k.
Таблица 1
Матрица планирования ПФЭ типа 22
Строки выделенных столбцов х1 и х2 матрицы планирования задаются экспериментатором, то есть условия опытов, реализуемых при всех возможных
комбинациях уровней факторов.
29
Проведение любого эксперимента связано с ошибками, знание которых
m
l
ilii
y
m
yy
1
1
N
i
ji
N
i
i
ji
j
x
yx
b
1
2
1
N
i
i
jij
yx
N
b
1
1
m
i
iili
yy
m
s
1
22
)(
1
1
N
i
i
i
s
s
G
1
2
2
max
max
необходимо для оценки результатов эксперимента. Выделить ошибку эксперимента s
2
, оцениваемую как возможную только при дублировании опытов по-
ош
вторением т раз каждой строки матрицы планирования. Результаты эксперимента для каждой строки опытов записываются в столбцы yi1,…, yim таблицы и
производят их осреднение:
, i=1…N. (3.3)
Любой коэффициент уравнения регрессии bj определяется по соотношению
, j=0….k . (3.4)
Для ПФЭ эту зависимость можно преобразовать к виду
. (3.5)
Прежде чем приступить к определению модели эксперимента в виде уравнения регрессии, необходимо произвести проверку воспроизводимости эксперимента для исследуемого объекта.
Оценка дисперсий в строках плана находится следующим образом:
. (3.6)
Проверку гипотезы об однородности оценок дисперсии можно проводить
по критерию Кохрена. Для этого необходимо рассчитать статистику вида
. (3.7)
Если вычисленное значение G
окажется меньше значения G
max
, найден-
крит
ного по табл.2 (см. Приложение) для числа степеней свободы 1 = m – 1, 2 = N
и для выбранного уровня значимости α, то данные эксперимента не противоре-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]