Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы в теплотехнических исследованиях. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
чат проверяемой гипотезе об однородности дисперсий. Тогда дисперсия ошиб-
N
i
iош
s
N
s
1
22
1
}{}{
j
j
j
jj
j
bs
b
bs
b
t
}{jbs
j
b
)1(mN
b
)(}{
22
Nmsbs
ошj
)1(mN
b
ки эксперимента оценивается по формуле
(3.8)
со степенями свободы ош = N(m – 1).
Если проверка воспроизводимости дала отрицательный результат, то остается признать невоспроизводимость эксперимента вследствие наличия в объекте источников неоднородности, для выделения которых следует обратиться к
приемам дисперсионного анализа.
После проверки воспроизводимости эксперимента можно перейти к определению модели эксперимента в виде уравнения регрессии.
Регрессионный анализ результатов полного факторного эксперимента
В статистический анализ полученного уравнения регрессии входит проверка статистической значимости вычисленных коэффициентов и пригодности
(адекватности) полученного уравнения для описания экспериментальных данных.
При проверке значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии
требуется проверить нулевую гипотезу Н0: βj=0 относительно альтернативной
Н
: β≠0. Проверка гипотезы проводится с помощью t–статистики Стьюдента,
1
которая вычисляется по формуле
, (3.9)
где
– среднеквадратичное отклонение оценки коэффициентов
j=0,1,…,k.
,
Дисперсия коэффициентов bj оценивается с числом свободы
по формуле
, где N – число всех опытов в плане, m – число дуб-
лирующих опытов.
Если найденная tj превышает значение t
ложения для числа степеней свободы
31
, определенного по табл.3 При-
крит
и выбранной вероятности
21
, то нулевая гипотеза Н0 отвергается и коэффициент bj считается значи-
2
ост
N
i
i
i
ост
yym
dN
s
1
22
)
ˆ
(
1
dN
ост
2
2
ош
ост
s
s
F
dN
ост
)1(mN
ош
мым. В противном случае (при tj≤ t
) нуль-гипотеза принимается и коэффи-
крит
циент bj считается статистически незначимым.
После исключения факторов с незначимыми коэффициентами производится проверка адекватности полученной модели.
Рассеяние результатов эксперимента относительно подобранного уравнения регрессии характеризуется остаточной дисперсией
, оценка которой
находится следующим образом:
, (3.10)
где m – число параллельных опытов; d – число оцениваемых коэффициентов в
уравнении регрессии.
Остаточная дисперсия оценивается с числом степеней свободы
.
Для определения адекватности модели необходимо рассчитать F-
статистику:
. (3.11)
Если вычисленное отношение меньше F
жения для соответствующих степеней свободы числителя
теля
и выбранной вероятности 1-α, то принимается гипотеза об
, найденного по табл.4 Прило-
крит
, знамена-
адекватности полученного уравнения. В противном случае модель признается
непригодной для представления выборочных данных.
Задание и порядок выполнения работы
1. Провести кодирование (3.1) факторов, приведенных в табл. 2.
32
Таблица 2
Фактор
Минимальное
значение
фактора
Максимальное
значение
фактора
Основной
уровень
фактора
Диапазон
варьирования
Расход топлива
а1
b1
с1
d1
Температура воздуха
а2
b2
с2
d2
Температура металла в
начале нагрева
а3
b3
с3
d3
Относительные потери
тепла (1-η)
а4
b4
с4
d4
i
у
2
i
s
max
G
Факторы для построения математической модели
2. Написать уравнение регрессии и построить матрицу планирования
в виде таблицы, предусмотрев место для записи результатов наблюдений при
дублировании опытов m=3, среднего значения по результатам эксперимента и
расчетного значения по полученной модели.
3. Запустить программу «Модель нагревательной печи». Выбрать но-
мер варианта и количество дублирующих опытов (m=3).
4. Установив дисперсию помехи по заданию преподавателя, провести
эксперимент, задав соответствующие значения факторов.
5. Рассчитать среднее значение отклика
(3.3) и вычислить коэффи-
циенты уравнения регрессии bi (3.4).
6. Рассчитать оценку дисперсий воспроизводимости
нить проверку гипотезы об однородности оценок дисперсии
(3.6) и выпол-
(3.7). Сделать
вывод о воспроизводимости эксперимента.
7. Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения
регрессии с помощью t – статистики Стьюдента (3.9) для каждого коэффициента и сделать выводы об их статистической значимости. По результатам проверки, с учетом исключенных коэффициентов, написать итоговое уравнение регрессии.
33
8. По полученному уравнению провести расчет регрессии (
i
y
ˆ
2
ост
s
зультаты записать в таблицу.
9. Проверить точность работы полученной модели, рассчитав оста-
) и ре-
точную дисперсию
(3.10).
10. Сделать вывод об адекватности модели, рассчитав F-статистику
(3.11).
Контрольные вопросы
1. Что подразумевается под определением «полный» при реализации
факторного эксперимента?
2. Какого типа модель может быть построена при проведении ПФЭ?
3. В чем заключается кодирование факторов?
4. Зачем требуется ортогональность планов проведения эксперимен-
тов?
5. С какой целью в матрицу плана вводится фиктивный фактор?
6. Как формулируются оценки дисперсии: воспроизводимости, адек-
ватности; разброс каких случайных величин они характеризуют?
7. Каким образом производится количественная оценка влияния фак-
торов?
34
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ДРОБНЫЕ ФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ
Цель работы – знакомство с идеей и методикой построения дробных
факторных планов экспериментов для создания линейной регрессионной модели исследуемого объекта.
Принципы построения дробных планов
При использовании факторного плана на двух уровнях число опытов N=2k
заметно растет с увеличением числа факторов. В результате при больших k эти
планы становятся практически неприемлемыми. Если при получении уравнения, моделирующего процесс, можно ограничиться линейным приближением,
то количество опытов может быть существенно сокращено применением дробных реплик от полного факторного эксперимента. Для сохранения ортогональности плана в качестве реплики используется полный факторный план с меньшим числом факторов. Число факторов при построении дробного факторного
плана должно быть больше или равно числу неизвестных коэффициентов в
уравнении регрессии.
Пусть необходимо выявить влияние трех факторов, когда каждый из факторов находится на двух уровнях. Эта задача может быть решена при использовании факторного плана с числом опытов N=23=8. Однако при использовании
дробной реплики число опытов можно сократить вдвое, т.е. провести всего 4
опыта.
Построение дробного факторного плана в этом случае производится следующим образом. Сначала строится полный факторный план не для трех факторов, а для двух, например, только для х1 и х2. Такой план приведен в табл.1.
Используя столбец х1х2 для фактора х3, получим сокращенный план, называемый полурепликой от ПФЭ 23.
Очевидно, что при осуществлении дробного факторного плана мы потеряли
часть информации, т.е. не можем оценить в уравнении регрессии коэффициенты парного взаимодействия. Иначе говоря, в приведенном дробном плане по
35
сравнению с факторным планом 23 коэффициенты парного взаимодействия бу-
№ опыта
х0
х1
х2
х3=х1х2
1
+1
+1
+1
+1 2 +1
–1
–1
+1 3 +1
–1
+1
–1
4
+1
+1
–1
–1
дут смешаны с коэффициентами уравнения регрессии. Только равенство нулю
коэффициентов парного взаимодействия позволит получить несмешанные
оценки коэффициентов уравнения регрессии. Однако на практике часто невозможно постулировать отсутствие парных взаимодействий.
Таблица 1
Дробный факторный план (полуреплика от полного факторного плана 23)
Выражение х1х2=х3 называется генератором плана или генерирующим соотношением.
Если обе части генератора плана умножить на х3, получим х
2
=х1х2х
3
= I=1
3
– так называемый определяющий контраст. При этом следует учитывать, что
2
х
=1. Определяющий контраст позволяет выявить смешанные оценки.
j
При умножении определяющего контраста I=х
поочередно на х
1х2х3
, х2, х
1
3
получится следующее:
х1 = х
х2 = х1х
х3 = х1х2х
2
х2х
1
= х
3
2
х
= х
2
3
2
= х
3
2х3
1х3
1х2
Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок, т.е.
коэффициент b1 смешан с b23, b2 – с b13, b3 – с b12.
сокого порядка, при k>4 полуреплики от ПФЭ обеспечивают несмешанные
оценки для линейных и парных эффектов взаимодействия, т.е. все линейные
Можно показать, что, пренебрегая взаимодействиями тройного и более вы-
36
эффекты и эффекты парного взаимодействия смешаны только с эффектами
тройного и более высокого порядков.
При составлении дробных планов кроме полуреплик могут использоваться
1/4 реплики, 1/8 реплики и т.д. Дробную реплику от полного факторного плана
обозначают 2
k-p
, где р=1, 2, 3 и т.д., соответственно для 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 и т.д.
реплики. Такие планы называют дробными, а для построения дробного факторного плана типа 2
k-p
из множества k отбирают (k-p) основных факторов, для ко-
торых строят факторный план. Затем его дополняют столбцами для оставшихся
факторов. Каждый из столбцов получают поэлементным перемножением не
менее двух и не более (k-p) столбцов, соответствующих основным факторам.
Каждый из р столбцов образуют путем выбора генерирующего соотношения
(генератора плана).
При использовании дробного факторного плана типа 2
k-p
число генерато-
ров плана равно р. Из этого ясно, что с увеличением числа факторов (при неизменном р) растет количество генераторов плана и, соответственно, возможных
вариантов дробных факторных планов. Очевидно, что путем выбора числа генераторов плана (р) для оставшихся факторов можно заметно сократить число
проводимых опытов. Однако применение малых дробей реплики при k<5 вёдет
к получению смешанных оценок для парных и даже иногда линейных эффектов
взаимодействия. Идеальной для использования малых дробей реплики является
ситуация, в которой наличие двухфакторных взаимодействий маловероятно и
даже главные (основные) эффекты встречаются редко.
Реализация дробного плана для четырех факторов
Требуется экспериментальным путем найти интерполяционную формулу
для описания зависимости выхода y исследуемого объекта от четырех нормированных факторов х, варьируемых на двух уровнях.
Сначала необходимо выбрать модель и вид интерполяционной формулы. В
первом приближении принимается линейная модель. Тогда интерполяционная
формула будет иметь вид
37
43211234432234431134421124321123
433442243223411431132112
4
0
ˆ
xxxxbxxxbxxxbxxxbxxxb
xxbxxbxxbxxbxxbxxbxby
j
jj
Для определения всех коэффициентов b в этом уравнении необходимо выполнить 16 опытов, если использовать ПФЭ 24.
Для окончательного выбора плана эксперимента необходимо проверить
возможность сокращения количества выполняемых опытов. Очевидно, что если
пренебречь некоторыми парными взаимодействиями, пользуясь какой-либо
информацией (например, литературными данными), то, применив дробные реплики, план эксперимента можно упростить, сократив количество опытов.
В соответствии с указанными соображениями составляется полуреплика от
ПФЭ 24. В качестве генерирующего соотношения выберем х4=х1х3, тогда определяющий контраст I=х
. При этом получается система оценок:
1х3х4
х0 = х1х3х
х1 = х3х
4
4
х2 = х1х2х3х
х3 = х1х
х4 = х1х
4
3
х1х2 = х2х3х
х2х3 = х1х2х
х2х4 = х1х2х
4
4
4
3
b0 смешан с b
b1 смешан с b34
b2 смешан с b
b3 смешан с b14
b4 смешан с b13
b
смешан с b
12
b
смешан с b
23
b
смешан с b
24
134
1234
234
124
123
Из приведенной системы оценок ясно, что интересующие коэффициенты
парного взаимодействия эффектов b23 и b24, а также b12 смешаны только с коэффициентами тройного взаимодействия эффектов, которыми можно пренебречь.
Матрица планирования строится следующим образом. МП ПФЭ 24 делится
на 2 полуреплики (см. табл. 2) таким образом, чтобы в опытах каждой из полуреплик определяющий контраст имел один знак (например «+»).
38
Из полуреплики выбирают значения х1, х2, х3, затем рассчитывают х4 и все
422432232112443322110
ˆ
xxbxxbxxbxbxbxbxbby
№ опыта
ПФЭ
х1
х2
х3
х4
I=x1x3x4
1
–1
–1
–1
–1
–1
2
+1
–1
–1
–1
+1
3
–1
+1
–1
–1
–1
4
+1
+1
–1
–1
+1
5
–1
–1
+1
–1
+1
6
+1
–1
+1
–1
–1
7
–1
+1
+1
–1
+1
8
+1
+1
+1
–1
–1
9
–1
–1
–1
+1
+1
10
+1
–1
–1
+1
–1
11
–1
+1
–1
+1
+1
12
+1
+1
–1
+1
–1
13
–1
–1
+1
+1
–1
14
+1
–1
+1
+1
+1
15
–1
+1
+1
+1
–1
16
+1
+1
+1
+1
+1
№
опыта
x0
х1
х2
х3
х4=
=х1х3
х1х2
x2х3
x2х4=
=х1х2х3
y
1
+1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
y1
2
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
y2 4 +1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
y3
5
+1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
–1
y4
6
+1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
y5 7 +1
+1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
y6
8
+1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
y7 9 +1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
y8
парные взаимодействия. План эксперимента и его результаты приведены в
табл. 3.
Для приведенного плана эксперимента уравнение регрессии имеет вид
.
Таблица 2
Матрица планирования ПФЭ 24
Таблица 3
Полуреплика от ПФЭ 24
39
Расчет коэффициентов уравнения и выполнение статистического (регрес-
Фактор
Минимальное
значение
фактора
Максимальное
значение
фактора
Основной
уровень
фактора
Диапазон
варьиро-
вания
Расход топлива
а1
b1
с1
d1
Температура воздуха
а2
b2
с2
d2
Температура металла в
начале нагрева
а3
b3
с3
d3
Относительные потери
тепла (1-η)
а4
b4
с4
d4
i
у
2
i
s
max
G
сионного) анализа уравнения производится так же, как в случае ПФЭ.
Задание и порядок выполнения работы
1. Провести кодирование (3.1) факторов, приведенных в табл. 4.
Факторы для построения математической модели
Таблица 4
2. Написать уравнение регрессии и построить матрицу планирования
в виде таблицы, предусмотрев место для записи результатов наблюдений при
дублировании опытов m=3, среднего значения по результатам эксперимента и
расчетного значения по полученной модели.
3. Запустить программу «Модель нагревательной печи». Выбрать но-
мер варианта и количество дублирующих опытов (m=3).
4. Установив дисперсию помехи по заданию преподавателя, провести
эксперимент при соответствующих значениях факторов.
5. Рассчитать среднее значение отклика
(3.3) и вычислить коэффи-
циенты уравнения регрессии bi (3.5).
6. Рассчитать оценку дисперсий воспроизводимости
(3.6) и выпол-
нить проверку гипотезы об однородности оценок дисперсии
вывод о воспроизводимости эксперимента.
(3.7). Сделать
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]