Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие для студентов вузов
.pdf
рассматривать продукцию по категориям (сортам), то она может быть либо
. . .
.
только I категории (сорта), либо только II категории (сорта) – в данном контексте следует рассматривать эти признаки как два противоположных собы-
тия. Признаки, которыми обладают одни единицы и не обладают другие,
называются альтернативными. Количественно вариация альтернативного
признака в численности всей совокупности обозначается p, а доля единиц, не
обладающих этим признаком, обозначается q и принимает значения: p=1, q=0.
1. Среднее значение для доли альтернативного признака
2. Дисперсия альтернативного признака
Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим
Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц,
обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p=q, дисперсия достигает своего максимума pq=0,25.
Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.
Среднеквадратическое отклонение доли альтернативного признака
7.3. Виды дисперсии и правило их сложения
Изучение вариации (колеблемости, рассеивания) признака по всей совокупности в целом предусматривает изучение вариации для каждой из составляющих ее групп, а также между этими группами. В простейшем случае, когда
совокупность разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, меж-
групповой и внутригрупповой.
Общая дисперсия
2
(x) измеряет вариацию признака по всей совокуп-
ности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна
среднему квадрату отклонений отдельных значений признака (хi) от общей
средней величины и может быть вычислена следующим образом:
71
72
1) простая дисперсия;
. , .
. ,.
.
2) взвешенная дисперсия
Межгрупповая дисперсия (факторная) характеризует систематическую
вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признакафактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату
отклонений групповых (частных) средних от общей средней:
Внутригрупповая дисперсия (частная, остаточная, случайная) отражает
случайную вариацию неучтенных факторов и не зависящую от признакафактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату
отклонений отдельных значений признака внутри группы (хi) от средней арифметической этой группы (xср) (групповой средней) и может быть исчислена
следующим образом:
1) простая дисперсия;
2) взвешенная дисперсия
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе можно
определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:
Правило сложения дисперсий
Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме
средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.
Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический
коэффициент детерминации – показатель, представляющий собой долю меж-
групповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характе-
2
общ
2
σ
δ
η2
2
общ
σ
δ
ηη
2
2
.
.
ризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:
При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен
нулю, а при функциональной связи – единице.
Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из
эмпирического коэффициента детерминации:
Он показывает тесноту связи между группировочным и результативным
признаками.
Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения
от 0 до 1.
Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т. е.
все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не
будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей
вариации.
Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно
единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии,
т. е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный
признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее,
ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
8. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
8.1. Определение выборочного наблюдения
Статистические исследования очень трудоемки и дороги, поэтому возникла мысль о замене сплошного наблюдения выборочным.
Основная цель несплошного наблюдения состоит в получении характеристик изучаемой статистической совокупности по обследованной ее части.
Выборочное наблюдение – это метод статистического исследования, при
котором обобщающие показатели совокупности устанавливаются только по отдельно взятой части на основе положений случайного отбора.
При выборочном методе изучению подвергается только некоторая часть
изучаемой совокупности, при этом подлежащая изучению статистическая совокупность называется генеральной совокупностью.
73
74
Выборочной совокупностью или просто выборкой можно называть
отобранную из генеральной совокупности часть единиц, которая будет подвергаться статистическому исследованию.
Значение выборочного метода: при минимальной численности исследу-
емых единиц проведение статистического исследования будет происходить в
более короткие промежутки времени и с наименьшими затратами средств и
труда.
Если в период обследования будут соблюдены все правила его научной
организации, то выборочный метод даст довольно точные результаты, поэтому
данный метод целесообразно применять для проверки данных сплошного
наблюдения.
Этот метод получил широкое распространение в государственной и вневедомственной статистике, потому что при исследовании минимальной численности изучаемых единиц позволяет тщательно и точно провести исследование.
Изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками. Состав выборочной совокупности может отличаться от состава генеральной совокупности, это расхождение между характеристиками
выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки.
Ошибки, свойственные выборочному наблюдению, характеризуют размер
расхождения между данными выборочного наблюдения и всей совокупности.
Ошибки, возникающие в ходе выборочного наблюдения, называются ошибками
репрезентативности и делятся на случайные и систематические.
Если выборочная совокупность недостаточно точно воспроизводит всю
совокупность из-за несплошного характера наблюдения, то это называют слу-
чайными ошибками, и их размеры определяются с достаточной точностью на
основании закона больших чисел и теории вероятностей.
Систематические ошибки возникают в результате нарушения принципа
случайности отбора единиц совокупности для наблюдения.
8.2. Виды и схемы отбора или формирования выборки
Размер ошибки выборки и методы ее определения зависят от вида и схемы отбора.
Различают четыре вида отбора совокупности единиц наблюдения:
1) случайный;
2) механический;
3) типический;
4) серийный (гнездовой).
1. Случайный отбор – наиболее распространенный способ отбора в слу-
чайной выборке, его еще называют методом жеребьевки, при нем на каждую
единицу статистической совокупности заготовляется билет с порядковым номером.
Далее в случайном порядке отбирается необходимое количество единиц
статистической совокупности. При этих условиях каждая из них имеет одинаковую вероятность попасть в выборку, например, тиражи выигрышей, когда из
общего количества выпущенных билетов в случайном порядке наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. При этом
всем номерам обеспечивается равная возможность попасть в выборку.
2. Механический отбор – это способ, когда вся совокупность разбивает-
ся на однородные по объему группы по случайному признаку, потом из каждой
группы берется только одна единица. Все единицы изучаемой статистической
совокупности предварительно располагаются в определенном порядке, но в зависимости от объема выборки механически через определенный интервал отбирается необходимое количество единиц.
3. Типический отбор – это способ, при котором исследуемая статистиче-
ская совокупность разбивается по существенному, типическому признаку на
качественно однородные, однотипные группы, затем из каждой этой группы
случайным способом отбирается определенное количество единиц, пропорциональное удельному весу группы во всей совокупности.
Типический отбор дает более точные результаты, так как при нем в выборку попадают представители всех типических групп.
4. Серийный (гнездовой) отбор. Отбору подлежат целые группы (серии,
гнезда), отобранные случайным или механическим способом. По каждой такой
группе, серии проводится сплошное наблюдение, а результаты переносятся на
всю совокупность.
Точность выборки зависит и от схемы отбора. Выборка может быть
проведена по схеме повторного и бесповторного отбора.
Повторный отбор. Каждая отобранная единица или серия возвращается
во всю совокупность и может вновь попасть в выборку. Это так называемая
схема возвращенного шара.
Бесповторный отбор. Каждая обследованная единица изымается и не
возвращается в совокупность, поэтому она не попадает в повторное обследование. Эта схема получила название невозвращенного шара.
Бесповторный отбор дает более точные результаты, потому что при од-
ном и том же объеме выборки наблюдение охватывает большее количество
единиц изучаемой совокупности.
Комбинированный отбор может проходить одну или несколько ступе-
ней. Выборка называется одноступенчатой, если отобранные однажды единицы совокупности подвергаются изучению.
Выборка называется многоступенчатой, если отбор совокупности про-
ходит по ступеням, последовательным стадиям, причем каждая ступень, стадия
отбора имеет свою единицу отбора.
75
76
Многофазная выборка – на всех ступенях выборки сохраняется одна и
x
,
та же единица отбора, но проводится несколько стадий, фаз выборочных обследований, которые различаются между собой широтой программы обследования
и объемом выборки.
Для отобранных единиц рассчитываются обобщенные показатели (сред-
ние или относительные), и в дальнейшем результаты выборочного исследования распространяются на всю генеральную совокупность.
8.3. Ошибки выборки
В статистике приняты следующие условные обозначения.
Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности
к числу единиц генеральной совокупности:
где N – объем генеральной совокупности;
n – объем выборки.
Выборочная доля (w), или частность, определяется отношением числа
единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности (n):
Два основных вида обобщающих показателей, которые используют в
выборочном методе, – это средняя величина количественного признака и
относительная величина альтернативного признака.
В генеральной совокупности доля единиц, которая обладает изучаемым
признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака – это генеральная средняя (обозна-
чается
).
Основной задачей при выборочном исследовании является определение
ошибок выборки. Ошибка выборки присуща только выборочным наблюдениям.
Для характеристики надежности выборочных показателей различают
предельную и среднюю ошибки выборки.
Выборочная средняя и выборочная доля – это случайные величины, при-
нимающие различные значения в зависимости от единиц изучаемой статистической совокупности, которые попали в выборку. Соответственно ошибки вы-
борки – тоже случайные величины и также могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю
ошибку выборки.
Рассмотрим ошибки при 4-х видах отбора.
1. Собственно-случайная выборка – это отбор единиц из всей генераль-
n
Г
x
2
,
,
ной совокупности посредством жеребьевки (например, розыгрыш лотерей) или
другим подобным способом (например, по таблице случайных чисел).
Принципом случайности является то, что на включение или исключение
объекта из выборки не может повлиять любой фактор, кроме случая.
Собственно-случайный отбор в чистом виде в практике выборочного
наблюдения встречается редко, но он является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного статистического наблюдения.
Средняя ошибка выборки определяется объемом выборки: чем больше
численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней
ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.
Средняя ошибка выборки зависит от степени варьирования изучае-
мого признака, в свою очередь степень варьирования характеризуется диспер-
сией 2. Чем меньше вариация признака и дисперсия, тем меньше средняя
ошибка выборки, и наоборот.
При случайном повторном отборе средние ошибки рассчитывают по
следующим формулам:
1) для средней количественного признака:
где
2
– средняя величина генеральной дисперсии количественного признака;
г
2) для доли (альтернативного признака):
В эти формулы входит дисперсия признака в генеральной совокупности.
Практически генеральная дисперсия точно не известна, но в теории вероятности доказано, что
где
2
– генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокуп-
г
ности);
2
– выборочная дисперсия того же признака.
в
77
78
Так как величина при достаточно больших n близка к 1, можно счи-
n
B
x
2
. . .
тать, что . Тогда средняя ошибка выборки может быть рассчитана:
Но в случаях малой выборки (при n<30) коэффициент необходимо
учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
При случайной бесповторной выборке приведенные формулы коррек-
тируются на величину . Тогда средняя ошибка бесповторной выборки
и
Так как n всегда меньше N, то множитель ( ) всегда меньше 1. Это
значит, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда меньше, чем при
повторном.
2. Механическая выборка применяется, когда генеральная совокупность
каким-либо способом упорядочена (например, списки избирателей по алфавиту, телефонные номера, номера домов, квартир).
Отбор единиц осуществляется через определенный интервал, который
равен обратному значению процента выборки. Так, при 2%-й выборке отбирается каждая 50 единица =1/0,02, при 5 каждая 1/0,05=20 единица генеральной
совокупности.
Начало отсчета выбирается разными способами: случайным образом,
из середины интервала, со сменой начала отсчета. Главное при этом – избежать
систематической ошибки. Например, при 5%-й выборке, если первой единицей
выбрана 13-я, то следующие 33, 53, 73 и т. д.
При достаточно большой совокупности механический отбор по точно-
сти результатов близок к собственно-случайному. Поэтому для определения
средней ошибки механической выборки используют формулы собственнослучайной бесповторной выборки.
3. Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так
называемая типическая выборка. Она используется, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных,
однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели.
, , ,
Например, при обследовании предприятий это могут быть отрасли, подотрасли,
при изучении населения – районы, социальные или возрастные группы.
Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную
совокупность.
Типическая выборка дает более точные результаты. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.
Следовательно, при нахождении ошибки типической выборки согласно
правилу сложения дисперсий ( ) необходимо учесть лишь среднюю
из групповых дисперсий. Тогда средняя ошибка выборки:
при повторном отборе
при бесповторном отборе
где – средняя из внутригрупповых дисперсий в выборке.
4. Серийный (или гнездовой) отбор применяется в случае, когда гене-
ральная совокупность разбита на серии или группы до начала выборочного обследования. Этими сериями могут быть упаковки готовой продукции, студенческие группы, бригады. Серии для обследования выбираются механическим
или собственно-случайным способом, а внутри серии производится сплошное
обследование единиц.
Поэтому средняя ошибка выборки зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии, которая вычисляется по формуле
где r – число отобранных серий;
– средняя і-й серии.
Средняя ошибка серийной выборки рассчитывается:
при повторном отборе
79
80
, , . . .
при бесповторном отборе
где R – общее число серий.
Средняя ошибка выборки при любом способе отбора зависит главным
образом от абсолютной численности выборки и в меньшей степени – от процента выборки.
Предположим, что проводится 225 наблюдений в первом случае из генеральной совокупности в 4500 единиц и во втором – в 225 000 единиц. Дисперсии в обоих случаях равны 25. Тогда в первом случае при 5%-м отборе ошибка
выборки составит
Во втором случае при 0,1%-м отборе она будет равна
Таким образом, при уменьшении процента выборки в 50 раз ошибка выборки увеличилась незначительно, так как численность выборки не изменилась.
Предположим, что численность выборки увеличили до 625 наблюдений. В этом
случае ошибка выборки равна
Увеличение выборки в 2,8 раза при одной и той же численности генеральной совокупности снижает размеры ошибки выборки более чем в 1,6 раза.
Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения характе-
ристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Если, например средняя продолжительность горения
лампочки по выборке составила 300 ч, а ошибка выборки μ =10 ч, то среднюю продолжительность горения всей партии лампочек, из которой взята
выборка, можно ожидать в пределах 300 10 ч, т. е. от 290 до 310 ч.
Однако то, что генеральная средняя не выйдет за данные пределы, можно
утверждать лишь с определенной степенью вероятности р.
Доказано, что утверждение о том, что генеральные характеристики не отклонятся от выборочных на величину большую, чем ошибка выборки μ, всегда имеет постоянную степень вероятности, равную 0,683. Значит, в 683 слу-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]