Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие для студентов вузов
.pdf
Пример
.4,18
25
4*207*1910*184*17
x
Возраст, лет
х
i
Количество рабочих, чел. fi
20–24
22
3
24–28
26 6 28–32
30
8
32–36
34
10
Свыше 36
38
6
.2,31
33
1030
610863
6*3810*348*306*263*22
x
,
Определить средний возраст, если в группе 25 человек, из них 4–17 лет,
10–18 лет, 7–19 лет, 4–20 лет.
Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующуюся
у каждого из них.
Вычисление средних величин производят по данным, сгруппированным в
виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до). В этом
случае значение признака хi равно середине интервала.
Пример
Условная протяженность открытых интервалов принимают равной протяженности ближайшего к нему закрытого интервала (в некоторых случаях
граница назначается логически).
Пример
До 3 (1–3)
3–5
5–10
10–20
20 и более (20–30)
Следует помнить, что средняя величина, рассчитанная на основе интервального ряда, является величиной приближенной и в первую очередь выполняет роль оценки.
61
62
Свойства средней арифметической:
. . ; ; ;
1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме
средних арифметических величин. Если хi = yi + zi, то
Это свойство показывает, в каких случаях можно суммировать средние
величины;
2) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьиру-
ющего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону:
Это правило демонстрирует, что средняя является равнодействующей;
3) если все значения признака увеличить или уменьшить на одно и то же
постоянное число, то средняя увеличится или уменьшится на это же постоянное
число:
4) если все значения признака увеличить или уменьшить в А раз, то сред-
няя также увеличится или уменьшится в А раз:
5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров
весов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть
взяты не только относительные, но и абсолютные величины.
Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и тоже число d,
то средняя не изменится.
2. Средняя гармоническая
Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь
ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f.
Допустим, известны индивидуальные значения признака х и произведения хf, а частоты f неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим
произведение хf = m; откуда
,
.
.
Далее преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по существующим данным х и m исчислить среднюю. Выразив в формуле средней
арифметической через х и m, получим
Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной
и обозначается х
гарм. взв
.
Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f, а известно
произведение fх = m .
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию
подлежат не сами варианты, а обратные им величины: .
Когда произведения fх одинаковы или равны единицы (m = 1) применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле
где х – отдельные варианты;
N – число вариантов.
3. Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных
функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.
Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квад-
ратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений
признака на их число.
Средняя квадратическая взвешенная равна:
Пример. Вычислить среднюю величину измеренных отклонений факти-
ческой длины изделий от заданной нормы.
63
64
Отклонения , мм
Число изделий
-1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96 0 10
8,28
.
.
Для расчета средней квадратической взвешенной определяем и заносим в
таблицу и . Тогда средняя величина отклонений длины изделий от заданной нормы равна
Средняя арифметическая в данном случае была бы непригодна, так как в
результате мы получили бы нулевое отклонение.
4. Средняя геометрическая
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и
позволяет определить средний коэффициент роста.
Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:
Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэф-
фициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.
Пример. Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возрос-
ло в 1,57 раза, в том числе за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18
и за 4-й – в 1,12 раза.
Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет
ежегодно росло в среднем на 12 %.
Средняя геометрическая взвешенная используется, когда временные интервалы неодинаковы:
, т. е. число зарегистрированных преступлений
6.3. Структурные средние величины. Мода и медиана
,
Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся
мода и медиана.
Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется зна-
чение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.
Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.
Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.
В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).
В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является
модой.
где хо – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
i – величина модального интервала;
fm – частота модального интервала;
f
– частота интервала, предшествующего модальному;
т—1
f
– частота интервала, следующего за модальным.
m+1
Мода зависит от величины групп, точного положения границ групп.
Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (явля-
ется величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение
(наиболее часто встречающийся тип покупателя).
Медиана (Me) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.
Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно
меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.
Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.
Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем
при использовании других форм средних.
65
66
Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду
,
следующий:
располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;
определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты;
по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.
Для интервального ряда в этом случае определяется только интервал, в
котором будет находиться Me[x], само значение приближённо можно определить следующим образом
где x0 – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i – величина медианного интервала;
f
– частота медианного интервала;
Ме
S
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
me-1
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где
накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы
частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности
совокупности.
Медиану можно определить графически, по кумуляте. Для этого последнюю ординату, равную сумме всех частот или частостей, делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой.
Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.
Пример. Дан ряд чисел: 15; 15; 12; 14; 13. Найдите размах, среднее
арифметическое, медиану и моду этого ряда.
1) размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из
этих чисел. В данном случае размах равен R = 15-12 = 3;
2) среднее арифметическое данного ряда находим по формуле средней
арифметической простой: Хср = (15+15+12+14+13)/5=13,8;
3) для определения медианы необходимо предложенный ряд упорядо-
чить – расположить числа, например, в порядке возрастания: 12; 13; 14; 15; 15.
Медиана нечетного количества чисел в дискретном ряде – это число, записанное посередине. Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.
Поскольку в нашем случае количество чисел ряда нечетное, то Ме = 14;
4) мода дискретного ряда чисел – это число, которое встречается в дан-
ном ряде чаще других. Так как число 15 встречается в нашем ряде чаще других,
то Мо = 15.
Показатели дифференциации
.
Если возникает необходимость изучить структуру вариационного ряда
более подробно, вычисляют значения признака, аналогичные медиане. Такие
значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности, называют квантилями, или градиентами. Квартили и децили – частные случаи квантилей.
Квартилями (Q) называют значения признака, которые делят совокуп-
ность на четыре равные по числу единиц части.
Децили (D) – признаки, делящие совокупность на десять равных частей.
Следовательно, кроме медианы, в ряду распределения имеются три квартиля и девять децилей. Медиана одновременно является вторым квартилем и
пятым децилем. Расчет первого (Q1) и третьего (Q3) квартилей аналогичен расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 численности частот, а для третьего квартиля – 3/4 численности частот:
и
Логика построения квинтилей и децилей аналогична.
7. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
7.1. Понятие и показатели вариации для количественных признаков
Термин «вариация» произошел от лат. variatio – «изменение, колеблемость, различие».
Внутри изучаемой совокупности индивидуальные значения признака различаются. Эти различия возникают в результате того, что его индивидуальные
значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов
(условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Различия признаков называются вариацией признаков.
Под вариацией понимают количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены
перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.
Показатели вариации характеризуют колеблемость индивидуальных
значений признака по отношению к среднему значению, что не менее важно, чем определение самой средней. Средняя не показывает строения совокупности, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя
величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном
случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом эти
67
68
отличия велики, т. е. в одном случае вариация признака мала, а в дру-
,
.
гом велика.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что две бригады из
3-х человек каждая выполняют одинаковую работу. Количество деталей, изготовленных за смену отдельными рабочими, составило
в первой бригаде – 95, 100, 105;
во второй бригаде – 75, 100, 125.
Средняя выработка на одного рабочего в бригадах составила
Средняя выработка одинакова, но колеблемость выработки отдельных
рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.
Следовательно, чем больше варианты отдельных единиц совокупности
различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и
наоборот, – варианты, мало отличающиеся друг от друга, более близки по значению к средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю
совокупность.
Поэтому для характеристики и измерения колебаний отдельных зна-
чений признака в совокупности кроме средней используют следующие показатели вариации:
абсолютные – размах вариации, среднее линейное и среднее квадрати-
ческое отклонение, дисперсию;
относительные – коэффициенты вариации.
Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета
1. Размах вариации
Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей, таких как размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (х
) и наименьшим (х т щ) значениями вариантов:
мах
R = X
max
— X
min
.
В нашем примере размах вариации сменной выработки рабочих составляет: в первой бригаде R=105-95=10 дет., во второй бригаде R=125-75=50 дет. (в
5 раз больше). Это говорит о том, что выработка 1-й бригады более «устойчива», но резервов роста выработки больше у второй бригады, так как в случае
достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки, ею
может быть изготовлено 3*125=375 дет., а в 1-й бригаде только 105*3=315 дет.
Недостатком показателя вариационного размаха является то, что его величина не отражает все колебания признака.
Простейшим обобщающим показателем, отражающим все колебания признака, является среднее линейное отклонение
2. Среднее линейное отклонение исчисляют для того, чтобы дать обоб-
– дисперсия невзвешенная (простая);
– дисперсия взвешенная.
щающую характеристику распределению отклонений, которое учитывает различия всех единиц изучаемой статистической совокупности.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая
из отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений:
Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле
средней арифметической взвешенной:
Разности в числителе взяты по модулю, иначе, согласно свойству средней
арифметической, числитель всегда будет равен нулю. Поэтому среднее линейное отклонение в статистической практике применяют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический
смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, рентабельность производства, оборот внешней торговли.
Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
3. Дисперсия
Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого
значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним
квадратом отклонений и обозначается 2. В зависимости от исходных данных
дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
Вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, поэтому ее на основе рассчитывают
среднее квадратическое отклонение.
4. Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характери-
стика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Показывает, на
сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего
значения. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т. д.).
69
70
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квад-
.100
x
σ
V
– среднее квадратическое отклонение невзвешенное;
– среднее квадратическое отклонение взвешенное.
ратный из дисперсии и обозначается :
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя
арифметическая отражает всю представляемую совокупность.
Относительные показатели вариации
Коэффициент вариации, %, характеризует относительную меру откло-
нения измеренных значений от среднеарифметического:
Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений.
Если коэффициент вариации меньше 10 %, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10 до 20 % относится к средней,
больше 20 % и меньше 33 % к значительной и если коэффициент вариации
превышает 33 %, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.
Свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике), ко-
торые позволяют упростить расчеты:
1) если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А2, то
средний квадрат отклонений от этого не изменится;
2) если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А,
то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз;
3) если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, ко-
торая в той или иной степени отличается от средней арифметической х, то он
всегда будет больше среднего квадрата отклонений 2, исчисленного от средней арифметической.
7.2. Дисперсия и среднее значение для доли альтернативного признака
Среди варьирующих признаков, которые изучает статистика, встречаются
признаки, которые проявляются в том, что у одних единиц совокупности эти
признаки наблюдаются, у других нет.
Альтернативный признак – это такой единственный признак, который
может принимать единица совокупности из всех возможных вариантов. Если
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]