Сопротивление материалов. Сборник заданий с примерами их решения. Учебное пособие

Для построения эпюр углов поворота и прогибов балки следует в

E



E

xxE

x

полученные уравнения (4), (5) подставить характерные значения абсцисс сечений (см. рис. 4.14).

Эпюра углов поворота сечений балки на основе уравнения (4):

x = 0 →



  



x = 2l →

  

Iql

z

333

ql

EI

z

IqlR q ql   

zB

0,667 0,667 22,2 10 1

ql

EI

z

3



→

22,2 10 1

210 184010

 





58

23

(2 ) (2 )

33

ll



0,00776

0,667

рад = −0,44

26

3-33



58

210 184010

 



0,00518

рад = 0,30

→

о

;

о

;

на участке I определим сечение, где эпюра пересекает ось абсцисс

3

x = 4l →



EI ql R q M l l

IqlR q   = 0 → x = 1,39l = 1,39 м;

zB

     

zB

qql



0,333 0,333 22,2 10 1

  

x = 5l →



EI ql R q M l l

 

3-33

ql

EI

z

     

zB

(5 2 ) (5 4 )

qR ql

3

32

ll ll



62

23

26

23

(4 ) (4 )

ll

26

3

ll



(4 2 )

6

2

l





58

210 184010

 

23

(5 ) (5 )

ll



26

0,333

(4 2 )

3

0,00258

(5 2 )

2

l



→

рад = −0,15

2

l



→

K

24

lxl



0,833

3

о

;

81

0,833 0,833 22,2 10 1

E

  

333

EI

ql

z



58

210 184010

 



0,00647

рад = − 0,37о.

Эпюра прогибов сечений балки на основе уравнения (5):

x = 0 → 0



x = 1,39l →

I =ql l R q ql   

zB

0,874 0,874 22,2 10 1

  

x = 2l →



0,667 0,667 22,2 10 1

  

x = 4l →



EI = ql l R q M q

     

zB

I = →  = 0;

z

34

(1, 39 ) (1, 39 )

34

(1, 39 ) 0, 87 4

ll

→

624

434

ql

EI

z

I =ql l R q ql   

zB

ql

EI

z

3

(4 ) 0

34

434



58

210 184010

 

(2 ) 0,667



58

2 10 1840 10

 

34 2 4

(4 ) (4 ) (4 2 ) (4 2 )

l l ll ll



34

(2 ) (2 )

ll

0,00678

624



0,00518

м = −6,78 мм;

→

м = −5,18 мм;



624 2 24

→  = 0;



x = 5l →

34 2

(5 ) (5 ) (5 2 )

3

EI = ql l R q M

    

zB

(5 )

ll ll



(5 2 ) (5 4 )

qR ql

 

24 6

0,667 0,667 22,2 10 1

  

434

ql

EI

z

2 10 1840 10

 

ll ll

624 2

43

K



58



0,667

0,00518



→

4

м = −5,18 мм.

Эпюры углов поворота и прогибов сечений балки приведены на рис. 4.14.

82

5. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

Задача. Расчет вала редуктора 

с цилиндрическими косозубыми колесами

Промежуточный вал (материал – сталь) косозубой цилиндрической передачи опирается на два подшипника (рис. 5.1) и при равномерном вращении передает заданную мощность. При работе в месте зацепления зубчатых колес возникает усилие, составляющие которого показаны на расчетной схеме. Исходные данные приведены в таблице.

Требуется определить диаметр вала сплошного сечения из условия статической прочности силой и перерезывающими силами пренебречь.

Допускаемое

напряжение

Номер

строки

Схема,

1 1 60 30 200 0,1F

2 2 70 35 240 0,2F

3 3 80 40 280 0,1F

4 4 90 45 300 0,2F

5 5 60 50 340 0,2F

6 6 70 55 380 0,1F

7 7 80 60 400 0,2F

8 8 90 40 420 0,1F

9 9 70 45 450 0,1F

0 10 80 50 250 0,1F

е г д е д е

[σ] N n F

рис. 5.1

МПа кВт мин

. При определении диаметра вала продольной

Исходные данные к задаче

Мощность

Скорость вращения

–1

Осевое усилие

a

Радиальное

усилие

Диаметры

зубчатых

колес

F

D1 D2 a b c

r

− − м м

0,3F

t

0,3F

t

0,4F

t

0,4F

t

0,3F

t

0,3F

t

0,4F

t

0,3F

t

0,4F

t

0,3F

t

0,2 0,4 0,2 0,4 0,3

t

0,5 0,3 0,3 0,4 0,3

t

0,4 0,5 0,2 0,3 0,2

t

0,5 0,4 0,3 0,4 0,2

t

0,3 0,4 0,3 0,3 0,3

t

0,5 0,2 0,4 0,4 0,4

t

0,4 0,3 0,2 0,2 0,2

t

0,2 0,3 0,4 0,3 0,2

t

0,3 0,2 0,4 0,2 0,3

t

0,4 0,2 0,4 0,3 0,4

t

Линейные

размеры

83

F

r

F

t

Fa2F

r

F

r

F

t

Fa2F

r

F

r

F

t

Fa2F

r

F

r

F

t

F

r

F

t

Fa2F

r

F

r

F

t

F

r

F

r

F

t

Fa2F

r

F

r

F

t

Fa2F

r

F

r

t

F

t

F

r

F

r

F

t

1

2

3

4

5

F

a1

a b

F

a1

a b

F

a1

F

t1

a b

F

a1

F

t1

a b

F

a1

F

t1

a b

F

t1

2

1

a2

F

2

c

F

t1

1

2

c

a2

6

7

F

a1

a b

F

a1

a b

F

t1

2

1

a2

F

2

c

F

t1

1

2

c

8

F

a1

1

F

2

c

t1

a b

1

2

c

9

F

2

1

2

c

2

1

2

c

10

F

1

a b

F

t1

a b

a1

1

c

a1

1

c

2

a2

2

Рис. 5.1. Расчетные схемы к задаче

84

Пример решения и оформления задачи

р

Промежуточный вал (материал – сталь) косозубой цилиндрической передачи опирается на два подшипника и при равномерном вращении передает заданную мощность. При работе в месте зацепления зубчатых колес возникает усилие, составляющие которого показаны на расчетной схеме (рис. 5.2, а). Исходные данные: P = 47 кВт, n = 258 об/мин,

= 0,1Ft , Fr = 0,4Ft , D1 = 0,5 м, D2 = 0,4 м, a = 0,2 м, b = 0,3 м,

F

a

c = 0,2 м, [σ] = 80 МПа.

Требуется определить диаметр вала сплошного сечения из условия статической прочности. При определении диаметра вала продольной силой и перерезывающими силами пренебречь.

Решение

Определение внешней нагрузки.

Определяем момент, передавае-

мый валом:

 

M

е

P

9554 9554 1740

n

47

258

Н·м.

Определяем усилия, действующие на зубчатые колеса:



окружные усилия:

FD Н,

радиальные и осевые усилия:



M

1

t

(2)0,52

1

1740

6960

FD Н,

t

M

2

(2)0,42

2

1740

8700

На пе

FF Н

rt

вом колесе На втором колесе

0,1 696

11

at

0, 4 2784

11

FF Н

22

at

FF Н

22

rt

0,1 870

0, 4 3480

На рис. 5.2, б изображена расчетная схема вала, на которой все внешние нагрузки приведены к оси вала. При приведении нагрузок к оси вала от осевых сил дополнительно возникают сосредоточенные моменты, приложенные в местах крепления колес:

MFD Н·м,

111

a

/2 174

MFD Н·м.

222

a

/ 2 174

85

F

Fa1F

В

Р

y

а

z

б

Mx

(Н·м)

2983 Н

Mz

(Н·м)

597

2486 Н

F

t1

F

a1

F

r1

0,2 м 0,3 м

M

1

M

r1

е

F

t1

M

ертикальная плоскость (xy)

2784 Н 3480 Н

174 Н·м

771

Горизонтальная плоскость (xz)

6960 Н 8700 Н

a2

F

a2

F

t2

F

r2

x

0,2 м

2

r2

M

е

t2

1740

3281 Н

830

656

4226 Н

My

(Н·м)

497

M

экв

(Н·м)

1967

777

ис.5.2. Расчетная схема вала и эпюры

845

21967

1070

86

Определение опасного сечения. Для данной расчетной схемы

M



(рис. 5.2, б) рассматриваем раздельно:

кручение от моментов М



щий момент M

изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях:



);

x

– вертикальной плоскости xy от сил F ренний силовой фактор – изгибающий момент M

− горизонтальной плоскости xz от сил F

тор – изгибающий момент M

(внутренний силовой фактор – крутя-

е

и моментов М1, М2 (внут-

r

),

z

(внутренний силовой фак-

t

; при построении эпюры My горизонталь-

y

ная плоскость xz повернута в вертикальную).

Для перечисленных выше внутренних силовых факторов строим эпюры.

Для определения опасного сечения строим эпюру эквивалентного момента, используя формулу

222

экв zyx

MMM

.

По эпюре эквивалентного момента определяем (см. рис. 5.2):

M

экв max

= 2105 Н·м.

Расчет на прочность (определение диаметра вала). Из условия

прочности

M

с учетом W

эквmax

= πd3/32 ≈ 0,1d3 определяем диаметр вала:

z

M

экв

3

d

 

max



0,1 0,1 80





W

2105 10

3





[]

z

6

м = 64 мм. Ответ

0,064

Оценка влияния нормальной силы. Размер вала d = 64 мм получен

без учета нормальной (продольной) силы, вызываемой силой F

a

Для оценки влияния нормальной силы рассмотрим две схемы опирания вала и установим наиболее неблагоприятное расположение опор

(рис. 5.3).

87

.



696 Н

Эпюра N Эпюра N

870 Н

696 Н

870 Н

174 Н

Неблагоприятное положение

Рис. 5.3. Расчетные схемы вала для учета влияния

870 Н

нормальной силы

696 Н

174 Н

Как видно из рис. 5.3, для наиболее неблагоприятного расположения опор имеем N

= 870 Н.

max

Определяем нормальные напряжения с учетом деформаций изгиба и растяжения (сжатия) для наиболее опасного сечения:

22

MM



    

zy

WA

z

N



45,2 0, 27 45, 47 МПа.

226 6

 

830 845 10 870 10



0,1 0,064 (3,14 0,064 4)



32

Касательные напряжения от кручения:

6

M

1740 10

x

  

W

0, 2 0, 064

p





33,2 МПа

3

.

Эквивалентные напряжения по критерию наибольших касательных

напряжений:

экв

22

480,5 МПа >[ ] 80 МПа  . Ответ

Перегрузка составляет

80,5 – 80 / 80 1()00 % 0,6 %,



что допустимо.

88



у

6. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ  СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

Задача. Расчет статически неопределимой

плоской рамы методом сил

Стальная плоская рама, изготовленная из балок двутаврового профиля, имеет опорные устройства в точках B, C и D (рис. 6.1). Изгибная жесткость поперечных сечений вертикальных стержней равна 2EI, горизонтальных стержней EI. Допускаемое напряжение [ ] 160

дуль упругости Е = 2·10

Номер

строки

Расчетная

схема,

рис. 6.1

1 1 1,0 15 ql ql

2 2 1,2 20 2ql 2ql

3 3 1,4 15 3ql 3ql

4 4 1,6 20 2ql ql

5 5 1,8 25 3ql ql

6 6 2,0 30 ql 2ql

7 7 1,3 35 ql 3ql

8 8 1,5 40 2ql 3ql

9 9 1,8 20 3ql 2ql

0 10 2,0 30 2ql ql

5

МПа. Исходные данные приведены в таблице.

Исходные данные к задаче

Тип опоры Длина Нагр

B C D

l,

м

 МПа, мо-

q,

кН/м

F М

зка

2

е д г е д

89

1

q

B

K

D

M

C

l

l l

q

2

K

F

C

B

D

ll

3

l

q

D

K

B

C

l

F

l

ll

4

M

B

q

K

C

D

ll

7

C

K

M

l l

D

B

q

5

B

l

K

l

8

C

l

F

10

K

F

C

D

q

M

C

ll

q

K

D

B

ll

q

D

B

ll

6

l

F

l

B

9

K

l

F

l

D

q

D

K

C

q

B

l

ll

C

l

ll

Рис. 6.1. Расчетные схемы к задаче

Требуется:

раскрыть статическую неопределимость рамы методом сил и

1)

построить эпюры внутренних силовых факторов;

2)

обосновать правильность раскрытия статической неопределимо-

сти рамы статической и деформационной проверками;

90