Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Сборник заданий с примерами их решения. Учебное пособие
.pdf
3) подобрать номер двутавра по ГОСТ 8239–89;
C
q
F
М
K
определить угол поворота сечения K;
4)
исследовать напряженное состояние рамы при повреждении
5)
каждой из шарнирных опор.
Указание. Влиянием продольных и перерезывающих сил прене-
бречь.
Пример расчета и оформления задачи
Стальная плоская рама, изготовленная из балок двутаврового профиля, имеет опорные устройства в точках B, C и D (рис. 6.2). Изгибная
жесткость поперечных сечений вертикальных стержней равна 2EI, горизонтальных стержней EI. Допускаемое напряжение [ ] 160
5
модуль упругости Е = 2·10
МПа. Исходные данные представлены ни-
же в таблице.
Тип опоры Длина Нагрузка
B
Dl, м
1,0 20 2ql 4ql
, Н/м
q = 20 кН/м
МПа,
2
M = 4ql2 =
= 80 кН·м
C
l = 1 м l = 1 м
Рис. 6.2. Заданная плоская рама
D
91
l = 1 м
B
l = 1 м
Требуется:
D
C
B
M
B
р
раскрыть статическую неопределимость рамы методом сил и
1)
построить эпюры внутренних силовых факторов;
обосновать правильность раскрытия статической неопределимо-
2)
сти рамы статической и деформационной проверками;
подобрать номер двутавра по ГОСТ 8239–89;
3)
определить угол поворота сечения K;
4)
исследовать напряженное состояние рамы при повреждении
5)
каждой из шарнирных опор.
Решение
Анализ степени статической неопределимости
. Степень статической неопределимости системы равна числу лишних связей, т.е. связей, наложенных дополнительно сверх необходимых связей для обеспечения геометрической неизменяемости системы и ее равновесия при
приложении нагрузки. Возникающие в лишних связях усилия – это
q
лишние неизвестные.
Для определения положения плоской
рамы как жесткого целого требуется
наложение трех связей.
В приведенном
M
H
B
примере рама (рис. 6.3) имеет непо-
H
C
V
B
движную опору В с защемлением, эквивалентную трем связям, и шарнирноподвижные опоры C и D, эквивалентные
V
D
каждая в отдельности одной связи. Следовательно, в совокупности для рамы
Рис. 6.3. Плоская рама с реак-
циями опо
имеем пять связей и соответственно этому
пять реакций опор – H
, VB, MB, HC, VD, а
B
уравнений равновесия можно составить только три. Таким образом,
степень статической неопределимости рамы
n = 5 – 3 = 2.
Метод сил.
Основная система. За основную принимаем систему, показанную
на рис. 6.4, а, которая получается из заданной системы путем отбрасывания двух лишних связей – шарнирно-подвижные опоры С и D.
Эквивалентная система (рис. 6.4, б). Для этого загружаем основную систему внешними нагрузками и лишними неизвестными Х
действующими в направлении отброшенных связей H
в опоре С и VD
C
и Х2,
1
в опоре D (см. рис. 6.3).
92
M
q
EI
1м
B
2EI 2EI
M=4ql
C
D
а
Рис. 6.4. Основная (а) и эквивалентная (б) системы
Х
C
1
б
Х
EI
2EI2EI
1м
2
D
2
1м
B
1м
Канонические уравнения метода сил. Для дважды статически неопределимой системы эти уравнения записываются в следующем виде:
XX
11 1 12 2 1
XX
21 1 22 2 2
Коэффициенты
,,,
представляют собой перемещения в
11 12 21 22
основной системе от единичных сил, т.е. от
приложения (см. рис. 6.5, а, б). Свободные члены
0,
F
0.
F
1X
и
1
1X
в месте их
2
,
12
FF
− это пере-
мещения от заданной нагрузки в направлении лишних неизвестных Х
и Х
в том месте, где приложены последние. Величины ,
2
опре-
ik iF
деляются с помощью интегралов Мора
1
ik
MxM x
ik
EI
l
dx
,
iF
() ()
xM x
iF
EI
l
dx
() ()
с заменой операции интегрирования по способу Верещагина:
1
EI
()
C
M
.
1
Используя основную систему, строим:
эпюры изгибающих моментов (
1
1X и
1X , приложенных в точках С и D соответственно
2
,MM ) от единичных нагрузок
12
(рис. 6.5, а, б);
93
эпюры изгибающих моментов (
M
M
M
F
M
(рис. 6.5, в).
1м
1м
) от действующей нагрузки
F
2 2
EI
2EI
1X
1
C
1м
EI
2EI
C
1X
2
q = 20 кН/м
2EI
2EI 2EI
EI
1м
2EI
D
2EI
D
EI
1м
EI
1м
EI
2EI
2EI
1м
1,5
B
1м
а
1м
B
1м
б
2EI
80
1м
1м
80
B
0,5 м
1
70
0,5 м
1
2
57,5
1,5
1
, м
1
1
, м
40
40
C
M = 80 кН·м
D
в
, кН·м
Рис. 6.5. Расчетные схемы и эпюры от единичных (а,б)
и внешних (в) нагрузок
94
M
M
M
E
E
k
Примечание
Для вычислений по способу Верещагина в данной задаче используются
следующие формулы для перемножения эпюр:
1) перемножаются две эпюры, имеющие вид
трапеции:
a
c
l
()
C
1
a
k
c
h
l/2
l
b
l
()
C
1
d
Произведение ординат, имеющих одинаковые
знаки, берутся со знаком плюс, а разные – со знаком минус. Например:
l
22 ;
ac bd ad bc
6
2) одна из эпюр очерчена по квадратной пара-
боле (от равномерно распределенной нагрузки q),
b
другая − трапецеидальная:
d
или
lqlcd
()
C
Macbdadbc
1
6122
22
ac bd ad bc
6
a
c
()
C
(/6)( 4 )
lachkbd
1
(2 2 )
l
3
Используя способ Верещагина, находим значения коэффициентов и
свободных членов канонических уравнений:
11 2 1
11
22 3
11 63
26 6
IEI
22 2 [222]
EI EI
222 211 21 12 ;
b
d
11 2 1 5
22
11 1 [111] ;
IEIEI
232 6
95
1
E
E
E
x
x
12 21
21( 0,5)
EI
11 7
26 4
( 221 211 21 11) ;
IEI
112
1
F
2
F
801(1,5) (802 4702 402)
EI EI
26
1 1070
1 1 1 275
70 0 4 57,5 0,5 40 1 40 1 1
IEIEI
626
40 1( 1,5) ;
23
EI EI
.
Подставляя коэффициенты в канонические уравнения метода сил,
получаем следующую систему уравнений:
63 7 1070
XX
12
64 3
EI EI EI
7 5 275
XX
12
46 6
IEI EI
0;
0.
Решая полученную систему уравнений, находим:
Х
= 38,156 кН, Х2 = 25,128 кН.
1
Построение эпюр внутренних силовых факторов. Предваритель-
но выпишем уравнения равновесия для силовых участков рамы I–VI
(рис. 6.6), используя скользящую систему координат:
y
z
38,156 кН
участок I (0 ≤ x ≤ 1 м):
N = 0,
Q
= 38,156 кН (строим по направлению внешней
y
силы),
= − 38,156 x (строим на сжатом волокне, т. е.
M
z
справа);
Участок I
96
N
B
IIVVVIА
x
x
М
q=20 кН/м
II
38,156
EI
D
M=80 кН·м
2EI 2EI
X1= 38,156 кН
X2= 25,128 кН
38,156
EI
2EI
II
I
C
1м 1м
5,128 14,872
20
38,156
Qy, кН
Рис. 6.6. Эпюры внутренних силовых факторов
участок II (1 ≤ x ≤ 2 м):
N = 0,
= 38,156 кН,
Q
y
M
= −38,156x + М = −38,156x + 80;
z
участок III (0 ≤ x ≤ 1 м):
N = − 38,156 кН (сжатие),
Q
= qx = 20x (строим по направлению
y
внешней нагрузки q),
M
= − 38,156·2 + M – qx2/2 = 3,688 – 10x2;
z
участок IV (0 ≤ x ≤ 2 м):
N = − 25,128 кН,
Q
M
2EI
41,844
= 0,
y
= 0;
z
1м
1м
38,156
−
, кН
6,312
Mz, кН·м
= 80 кН·м
38,156 кН
Участок II
−
−
14,872
25,128
11,1843,688
26,972
y
1 м
97
x
М
x
x
x
М
x
x
М
x
= 80 кН·м
q= 20 кН/м
y
x
1 м
y
38,156 кН
Участок III
участок V (1 ≤ x ≤ 2 м):
M
= − 38,156·2 + M − qx2/2 + 25,128(x – 1) =
z
= 3,688 − 10x
участок VI (0 ≤ x ≤ 1 м):
N = 25,128 − q·2 = − 14,872 кН, Q
M
= − 38,156(2 − x) + M − q·2·1 + 25,128·1 =
z
= − 38,156(2 − x) + 65,128.
q= 20 кН/м
= 80 кН·м
38,156 кН
1 м
1 м
1 м
25,128 кН
1 м
N = − 38,156 кН,
Q
= 25,128 − qx,
y
2
+ 25,128(x – 1);
y
38,156 кН
Участок IV
= 38,156 кН,
y
q
1 м
1 м
1 м
Участок VI
25,128 кН
y
1 м
25,128 кН
Участок V
По полученным аналитическим выражениям построены эпюры
внутренних силовых факторов, показанные на рис. 6.6.
98
Проверка правильности раскрытия статической неопределимо-
M
M
сти рамы
.
■ Статическая проверка заключается в проверке равновесия не-
которой отсеченной части рамы под действием приложенных к ней
внешних сил и внутренних силовых факторов (берутся с эпюр N, Q
M
, рис. 6.6), заменяющих действие отброшенных частей рамы на
z
y
оставленную часть.
Рассмотрим, например, равновесие узла А (см. рис. 6.6). Из рис. 6.7
следует, что узел А находится в равновесии: сумма проекций сил на
горизонтальную и вертикальную оси, а также сумма моментов всех сил
относительно точки А равны нулю.
38,156 кН 38,156 кН
20 кН 5,128 кН
А
6,312 кН·м6,312 кН·м
,
25,128 кН
Рис. 6.7. Статическая проверка равновесия узла А
■ Деформационная проверка заключается в определении переме-
щений в заданной системе, значения которых известны. Проверим,
например, равен ли нулю угол поворота θ
в сечении В рамы (см.
В
рис. 6.6). Для этого выберем другую основную систему, в которой угол
поворота в сечении В возможен, и построим единичную эпюру
1
(рис. 6.8). Для определения угла поворота в сечении В перемножим
эпюру
(рис. 6.8) с окончательной эпюрой M
1
(см. рис. 6.6) по спо-
z
собу Верещагина:
11
B
11
26
( 2 11,184 1 2 26,972 1 11,184 1 26,972 1)
EI
(6,312 0 4 6,248 0,5 11,184 1)
6
EI
3, 947 3, 947
0,
EI EI
т. е. статическая неопределимость рамы раскрыта правильно.
99
D
1м
M
1м
1
2EI
EI
2EI
B
1
1
, м
1
1м
EI
2EI
1м
C
Рис. 6.8. Расчетная схема рамы при деформационной
проверке и эпюра изгибающего момента от единичной
нагрузки
Подбор двутаврового профиля. Подбор сечения проводится из
условия прочности на изгиб
M
max
по формуле
W
z
M
max
z
[]
max
.
z
W
[]
z
■ Вертикальные стержни выполнены из двух профилей двутавро-
вого сечения с
W
z
верт
WW
zz
верт
M
max
z
2[ ] 2 160
2
. Тогда
41,844 10
3
0,131 10 м 131 см
33 3
.
■ Горизонтальные стержни выполнены из одного профиля двутав-
рового сечения с
M
.
W
z
Из двух значений W
гор
WW
zz
гор
max
z
. Тогда
11,184 10
[] 160
выбираем наибольшее значение, соответству-
z
3
0,0699 10 м 69, 9 см
33 3
ющее условию прочности на вертикальных стержнях. По ГОСТ 8239–72
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]