Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Сборник заданий с примерами их решения. Учебное пособие
.pdf
Для определения наибольшего изгибающего момента M
G
б
z max
от ста-
тически приложенной силы G строится эпюра изгибающего момента
для расчетной схемы, изображенной на рис. 8.8, а, и определяется
M
= 16/9 кН·м.
z max
8/3 кН 4/3 кН
= 4 кН
2/3 м
Эпюра Mz,
кН·м
2/3 1/3
2/3 м
Эпюра Mz1,
м
4/3 м
16/9
а
1
4/3 м
4/9
Рис. 8.8. Расчетные схемы балки:
а – для определения σ
для определения ∆
; б – единичное состояние
ст max
ст
Тогда наибольшее напряжение в балке при статическом приложении нагрузки
3
M
ст max
z
W
(16 9)10 МН м
max
z
289 10 м
63
6,15 МПа
,
где W
= 289 см3 (для двутавра № 24, таблица сортамента).
z
Для вычисления ∆
по способу Верещагина необходимо изобра-
ст
зить единичное состояние для системы и построить эпюру изгибающего
131
момента Mz1 от единичной нагрузки (рис. 8.8, б). Далее, перемножая
эпюры M
где I
и M
z
= 3460 см 4 (двутавр № 24, таблица сортамента).
z
, получаем
z1
1 1 16 2 2 4 1 16 4 2 4 0,5267
ст
EI EI
293 39 293 39
zz
0,5267 10 МН м
584
(2 10 МПа)(3460 10 м )
33
0,761 10 м,
4
Коэффициент динамичности
220,04
11 11 33,4
k
д
h
ст
0,761 10
4
.
Наибольшие напряжения в балке при ударе:
ддст
max max
33,4 6,15(МПа)205,4 МПаk
. Ответ
2. Определение наибольшего напряжения в балке при условии,
что правая опора заменена пружиной
. В случае опирания правого
конца балки на пружину (рис. 8.9) при действии на балку статической
силы G пружина под влиянием опорной реакции, равной G/3, укоротится на величину
a = G/(3c),
где с = 500 кН/м – жесткость пружины. Правый конец балки при этом
опустится на величину а, а сечение балки в месте
падения груза – на
величину
−4
а / 3 = G/(9c) = 4/(9·500) = 8,889·10
м.
Полное вертикальное перемещение балки от статического действия
силы G в месте падения груза равно сумме величин прогиба, найденного при расчете балки без пружины, и перемещения, вызванного сжатием пружины, т. е.
0,761 10 8,889 10 9, 65 10
ст
444
132
м.
(2/3)G (1/3)G
G
8,9·10−4 м
a
0,76·10−4 м
2/3 м
4/3 м
Рис. 8.9. Расчетная схема балки с пружиной
Коэффициент динамичности
1 1 2(0,04 м)/(9,65 10 м)10,16k .
д
Наибольшее напряжение от статической силы
4
G в данном случае та-
кое же, как и для балки, не опертой на пружину, т. е.
ст max
6,15 МПа .
Наибольшие напряжения при ударе
д max дстmax
10,16 (6,15МПа)62,5 МПаk . Ответ
Таким образом, установка пружины под один конец балки уменьшила наибольшие напряжения при ударе в 3,29 раза.
Проверка прочности балки. Условие прочности имеет вид
.
д max дстmax
[]k
Для балки без пружины
д max
205,4 МПа > [ ] 160 МПа
, Ответ
т. е. условие прочности не выполняется. Для его выполнения необходимы изменения в конструкции, например, взять больший номер двутавра.
Для балки с пружиной
62,5 МПа < [ ] 160 МПа
, Ответ
д max
т. е. условие прочности выполняется, но балка существенно недогружена. Требуются изменения в конструкции.
133
Задача 8.3. Колебания упругих систем
На двух стальных балках двутаврового сечения установлен двигатель массой
стоянной частотой
m (рис. 8.10). Ротор двигателя массой m
n (об/мин) и имеет эксцентриситет е. Исходные
данные приведены в табл. 8.3.
1
2
вращается с по-
0
l/5
3
l/4
5
l/3
7
l/2
9
2l/3
l
l
4
l
l
6
l
l
8
l
l
10
l
l
l/5
l/4
l/3
l/2
2l/5
Рис. 8.10. Расчетные схемы к задаче 8.3
134
Требуется:
Ч
Ч
произвести проверку конструкции на резонанс;
1)
определить наибольшие напряжения в конструкции.
2)
Указания
1.
Собственный вес балки и силы сопротивления не учитывать.
Если при расчете конструкции имеет место резонанс, необходи-
2.
мо предусмотреть соответствующие мероприятия, обеспечивающие
его отсутствие.
Таблица 8.3
Исходные данные к задаче 8.3
Номер
стро-
Расчет-
ная схе-
ма по
ки
рис. 8.10
1 1 10 1,0 200 100 5 300
2 2 16 1,2 220 110 4 400
3 3 18 1,4 240 120 3 500
4 4 20 1,6 260 130 2 600
5 5 24 1,8 280 140 1 700
6 6 12 2,0 300 150 5 800
7 7 14 2,2 320 160 4 900
8 8 16 2,4 340 170 3 1000
9 9 18 2,6 360 180 2 1200
0 10 20 3,0 380 200 1 900
е д г е д г
Номер
двутав-
ра
Дли-
на
Масса
двигате-
ля m, кг
Масса
рото-
ра m
0
кг
Эксцентриси-
,
тет е,
мм
астота
враще-
ния ро-
тора n,
об/мин
Пример расчета и оформления задачи
На двух стальных балках двутаврового сечения установлен двигатель массой
m (рис. 8.11). Ротор двигателя массой m
стоянной частотой
n (об/мин) и имеет эксцентриситет е. Исходные
вращается с по-
0
данные:
Масса
Номер
двутавра
10 2,0 300 100 2 945
Длина
l, м
двига-
теля m,
кг
Масса
ротора m
кг
135
,
0
Эксцентриси-
тет е,
мм
астота
вращения
ротора
n, об/мин
y
E
z
l/3
l
Рис. 8.11. Расчетная схема конструкции
Требуется:
1) произвести проверку конструкции на резонанс;
2) определить наибольшие напряжения в конструкции.
Указания
1) Собственный вес балки и силы сопротивления не учитывать.
2) Если при расчете конструкции имеет место резонанс, необходи-
мо предусмотреть соответствующие мероприятия, обеспечивающие
его отсутствие.
Решение
Проверка системы на резонанс
. Круговая частота возмущающей
силы
3,14 945
n
98,91
с−1.
30 30
Круговая частота собственных колебаний системы
1
.
11
Для определения δ
pm
необходимо построить расчетную схему с
11
внешней нагрузкой, равной единице, и эпюру изгибающего момента от
этой единичной силы (рис. 8.12). Находим δ
умножая эпюру
11
M
саму на себя:
z1
1 142 24 144 24 0,1317
2 293 39 293 39
IEI
zz
136
по способу Верещагина,
11
.
2/3 1/3
1
2/3 м
Эпюра Mz1,
м
4/3 м
4/9
Рис. 8.12. Схема нагружения системы единичной
силой
Тогда
p
где
I
= 198 см4 – осевой момент инерции двутавра № 10 (таблица сор-
z
1 2 10 198 10
mm
11
EI
z
0,1317 300 0,1317
11 8
100,1
с−1,
тамента).
Отношение частот
98,91
Ответ
0,988
100,1p
находится в зоне резонанса 0,7 < ω/
p < 1,3.
Отстройка от резонанса. Наиболее простым выходом из этого
положения является замена профиля другим номером по стандарту,
т. е. изменение жесткости системы. Возьмем, например, двутавр №12
I
= 350 см4; в этом случае
с
z
11 8
2 10 350 10
p
300 0,1317
133,2
с−1;
98,91
,
0,743
133,2p
также возможен резонанс.
137
Для следующего номера двутавра №14 с Iz = 572 см4 имеем
M
11 8
2 10 572 10
p
300 0,1317
98,91
с−1;
170,2
0,58
, Ответ
170,2p
что находится вне зоны резонанса.
Определяем коэффициент динамичности по формуле, используемой
вне зоны резонанса:
kp
д
11
22
11
22
98,91
170,16
1, 5 1
.
Напряжения. Определяем наибольшее значение возмущающей
силы
223
00
100 98,91 2 10 1956,6Fme
Н.
Напряжение, возникающее в системе под действием этой силы, при
условии ее статического приложения (рис. 8.13) будет
6
z
max 0
W
2
()
z
869,6 10 МН м
2 81,7 10 м
MF
F
() 5,32
ст max 0
63
МПа,
W
где
= 81,7 см3 – осевой момент сопротивления двутавра №14).
z
Напряжение при вынужденных колебаниях равно
ддст max 0
Напряжения σ
накладываются на постоянные напряжения от соб-
д
ственного веса двигателя
MG
z
max
2
где
ры
max
z
M
(G) (рис. 8.14).
z
стmax
()
G = 1333,3 Н·м – наибольший изгибающий момент с эпю-
( ) 1, 51 5,32 8, 03kF МПа.
G = mg = 3000 Н:
6
W
()
z
1333,3 10 МН м
2 81,7 10 м
138
-6 3
8,16
МПа,
F0 = 1956,6 Н
1304,4 Н 652,2 Н
2/3 м
Эпюра Mz(F0),
Н·м
4/3 м
869,6
Рис. 8.13. Схема нагружения системы
возмущающей силой F
0
G = 3000 Н
2000 Н 1000 Н
2/3 м
Эпюра Mz(G),
Н·м
4/3 м
1333,3
Рис. 8.14. Схема нагружения системы
от веса двигателя G
Наибольшие напряжения, возникающие в упругой системе,
max стmax дmax 0
8,16 8, 03 16,19 МПа
() ( )GF
. Ответ
139
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Учебники
1. Атапин В. Г. Сопротивление материалов / В. Г. Атапин. – М.: Изда-
тельство Юрайт, 2015. – 342 с. – Серия: Бакалавр. Академический курс.
2. Атапин В. Г. Сопротивление материалов. Базовый курс. Дополнитель-
ные главы / В. Г. Атапин, А. Н. Пель, А. И. Темников. – Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2011. – 508 с. – Серия «Учебники НГТУ».
3. Атапин В. Г. Сопротивление
А.Н. Пель, А.И. Темников. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. – 556 с. – Серия «Учебники НГТУ».
4. Вольмир А. С. Сопротивление материалов / А. С. Вольмир, Ю. П. Гри-
горьев, А. И. Станкевич. – М.: Дрофа, 2007. – 591 с.
5. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро
М.: Высшая школа, 1969. – 734 с. (Имеются переиздания)
6. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.– 5-е изд. – М.: Наука,
1970. – 544 с. (Имеются переиздания)
материалов: учебник / В.Г. Атапин,
. –
Учебные пособия, сборники задач
9. Ицкович Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению мате-
риалов / Г. М. Ицкович, Л. С. Минин, А. И. Винокуров. – М.: Высшая школа,
1999. – 592 с.
10. Атапин В. Г. Сборник заданий по сопротивлению материалов /
В.Г. Атапин [и др]. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. – 288 с.
11. Атапин В.Г. Практикум по
В.Г. Атапин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. – 216 с.
12. Атапин В.Г. Сопротивление материалов. Краткий теоретический курс:
учеб. пособие / В.Г. Атапин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. – 204 с.
сопротивлению материалов: учеб. пособие/
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]