Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Сборник заданий с примерами их решения. Учебное пособие
.pdf
выбираем двутавровую балку № 18 с Wz = 143 см3, Iz = 1290 см4. При
M
M
K
Р
этом максимальные напряжения в раме
верт
M
max
z
2
W
max
z
41,844 10
214310
3
146,3МПа < 160 МПа
6
.
Вычисление угла поворота в сечении K. Для вычисления угла по-
ворота рамы в сечении K используется основная система (рис. 6.9).
В сечении K прикладывается единичный момент и строится эпюра
Далее по способу Верещагина эта единичная эпюра перемножается с окончательной эпюрой M
z
.
1
1
1
(см. рис. 6.6):
11
K
11,184 10 1 26,972 10 1)
7,894 10 МН м 180
2(2 10 МПа)(1290 10 м )
( 2 11,184 10 1
EI
26
z
3
2 26,972 10 1
33
32 о
584
3
ис. 6.9. Расчетная
схема рамы для вы-
числения угла пово рота в сечении K
0,00153 рад 0,0877
1
, м
1
о
Так как в результате расчета получили положительное значение
угла поворота, то, следовательно, направление угла поворота в сечении
K совпадает с направлением единичного момента, показанного
на рис. 6.9.
Исследование напряженного состояния рамы в случае повреждения опор
. В процессе работы конструкции одна из опор может
быть повреждена. Так как система является статически неопределимой, то в этом случае напряжения в раме перераспределятся и при заданном значении
q могут превысить допускаемые. Для оценки воз-
можности работы рамы при повреждении шарнирно-подвижных опор
рассмотрим следующие ситуации.
■ Повреждена опора D. Расчетная схема рамы для этой ситуации
приведена на рис. 6.10. В этом случае в системе канонических уравне-
101
ний следует положить неизвестное Х2 = 0 и рассмотреть решение урав-
E
B
D
Х
М
нения
0
.
F
находим Х1 = 33,97 кН.
При известных
X
11 1 1
63 1070
11 1
,
F
IEI
63
На рис. 6.10 построена эпюра изгибающих моментов в случае по-
вреждения опоры
D.
q= 20 кН/м
= 80 кН·м
C
= 33,97 кН
1
Рис. 6.10. Расчетная схема и эпюра изгибающих моментов
в случае повреждения опоры D
12,06 27,94
33,97
46,03
Mz, кН·м
6,03
Вычисляем напряжения для принятого поперечного сечения из дву-
таврового профиля № 18:
вертикальные стержни
верт
M
верт
max
max
z
2
W
z
46,03 10
2 143 10
3
160,9МПа >160МПа
6
;
горизонтальные стержни
гор
M
гор
max
z
W
max
z
27,94 10
143 10
Из расчетов видно, что при повреждении опоры
3
195,4МПа >160МПа
6
.
D максимальные
напряжения составляют 195,4 МПа, что в 195,4/160 = 1,22 раза превышают допускаемые напряжения. Следовательно, для безопасной
эксплуатации поврежденной конструкции необходимо во столько же
раз снизить эксплуатационную нагрузку. При этом она будет
102
[q] = 20/1,22 = 16,4 кН/м,
E
D
D
и соответственно
M = 4ql
2
= 65,6 кН·м.
■ Повреждена опора С. Расчетная схема рамы для этой ситуации
приведена на рис. 6.11. В этом случае в системе канонических уравне-
Х
ний следует положить неизвестное
= 0 и рассмотреть решение урав-
1
нения
0
F
определяем Х2 = −55 кН.
При известных
X
.
22 2 2
5275
22 2
,
66
F
IEI
М= 80 кН·м
Х2 = 55 кН
Рис. 6.11. Расчетная схема рамы и эпюра изгибающих моментов
q= 20 кН/м
C
80 15
B
в случае повреждения опоры D
80
C
70
15
B
Mz, кН·м
На рис. 6.11 построена эпюра изгибающих моментов в случае по-
вреждения опоры
С.
Вычисляем напряжения для принятого поперечного сечения из дву-
таврового профиля № 18:
вертикальные стержни
верт
M
верт
max
max
z
2
W
z
80 10
2 143 10
3
279,7 МПа >[ ] 160 МПа
6
;
103
горизонтальные стержни
гор
M
гор
max
W
z
max
80 10
143 10
z
Таким образом, при повреждении опоры
3
559,4 МПа >[ ] 160 МПа
6
.
D максимальные напряже-
ния составляют 559,4 МПа, что в 559,4/160 = 3,496 раза превышает допускаемые напряжения. Поэтому допускаемая эксплуатационная
нагрузка будет
q] = 20/3,496 = 5,72 кН/м,
[
и соответственно
M = 4ql
2
= 22,88 кН·м.
104
7. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ
Задача. Расчет стержня,
сжатого центральной продольной силой
Задана стойка, сжатая центральной продольной силой F (рис.7.1,а).
Стойка имеет различную компоновку поперечного сечения (рис.7.1,
Исходные данные приведены в табл.7.1 и 7.2.
F F F F
б).
1
l
1
а б
Рис. 7.1. Расчетные схемы(а) и типы сечений (б) стержня:
1 – неравнобокий уголок; 2 – равнобокий уголок; 3 – двутавр;
2 3 4
3 4
4 – швеллер
2
Требуется определить:
размеры поперечного сечения;
1)
коэффициент запаса, соответствующий принятым размерам се-
2)
чения.
Указания
При решении задачи использовать график зависимости σ
построив его по данным своего варианта.
105
= f(λ),
кр
Принятое сечение изобразить в масштабе, указать размеры, по-
Я
)
казать главные центральные оси и численные значения моментов
инерции относительно этих осей.
Таблица 7.1
Механические характеристики материалов
Коэффициенты в формуле
5
синского
а b
Материал
Предел
текуче-
сти, σ
Предел про-
порциональ-
ности, σ
т
пц
Модуль
упруго-
сти, Е,
10
МПа −
Сталь Ст 3 240 200 2,0 310 1,14 1,7
Сталь 20 260 220 2,0 330 1,11 1,6
Сталь 45 360 300 2,1 450 1,67 1,5
Сплав Д16Т 321 256 0,7 406 2,83 1,8
Исходные данные к задаче
Коэффици-
ент запаса
прочности
[n]
Таблица 7.2
Номер
строки
1 Ст3 1 1 50 2,0 2,4
2 Сталь 20 2 2 80 2,5 2,5
3 Сталь 45 3 3 100 3,0 2,6
4 Д16Т 4 4 120 4,0 2,7
5 Сталь 20 2 1 150 5,0 2,8
6 Д16Т 1 2 180 6,0 2,4
7 Ст3 3 3 200 2,0 2,5
8 Сталь 20 4 4 230 2,5 2,6
9 Сталь 45 1 1 250 3,0 2,7
0 Ст3 4 2 300 4,0 2,8
г е д е д г
Мате-
риал
Расчетная
схема
(рис.7.1, а)
Тип
сечения
(рис.7.1, б
Нагрузка
F, кН
Длина
l, м
Коэффициент
запаса по устой-
чивости [n
]
у
Примеры решения и оформления задачи
Задана стойка, сжатая центральной продольной силой F (рис.7.2).
Исходные данные (см. табл. 7.2): материал – сталь Ст3, расчетная схема 3 (рис. 7.2), тип сечения – рис. 7.1,
чения), нагрузка
F = 200 кН, длина l = 4,0 м, коэффициент запаса по
б (здесь рассматриваются все се-
106
устойчивости [nу] = 3,0. Механические характеристики
E
F
l
материала (см. табл. 7.1): σ
E = 2 · 10
5
МПа, коэффициенты в формуле Ясинского –
= 240 МПа, σпц = 200 МПа,
т
а = 310 МПа, b = 1,14 МПа, коэффициент запаса проч-
ности [
n] = 1,5.
Требуется определить:
размеры поперечного сечения;
1)
3
2) коэффициент запаса, соответствующий принятым
размерам сечения.
Указания
При решении задачи использовать график зави-
симости σ
= f(λ), построив его по данным своего вари-
кр
анта.
Принятое сечение изобразить в масштабе, указать размеры, по-
Рис. 7.2. Расчетная схема
к задаче
казать главные центральные оси и численные значения моментов
инерции относительно этих осей.
Решение
Построение графика
σкр = f(λ). Характерные точки графика
(рис. 7.3):
225
пред
пц
a
.
0
3,14 2 10
E
99,3 99
200
310 240
т
b
1,14
61, 4 61
;
При построении кривой Эйлера используется формула
2
кр
.
2
Определение размеров поперечного сечения. Для определения разме-
ров поперечного сечения используется метод последовательных приближений.
107
р
σ
, МПа
к
240
200
160
120
80
40
0
40 80 120 160 200 240
61 99
λ
Рис. 7.3. График критических напря-
σкр = f(λ)
жений
Сечение из двух швеллеров (рис. 7.1, б)
Первое приближение
Минимальный размер сечения определяем из условия прочности
на сжатие:
F
,
An
3
[ ] (200 10 МН)1,5
Fn
.
A
т
Так как сечение состоит из двух швеллеров, то площадь одного
швеллера
h
А ≥ 6,25 см
y
1
C
1
z
o
швеллер № 6,5У с
дующие параметры, необходимые далее в расчете:
z
1
b
240 МПа
2
. По таблице сортамента ГОСТ 8240–97 выбираем
h = 65 мм
b = 36 мм
Х
= z0 = 1,24 см
0
48,6
I
z
1
I
y
1
8, 7
см4
см4.
[]
т
[]
1, 25 10 м 12,5 см
32 2
А = 7,51 см
2
. Швеллер имеет сле-
108
Для сложного сечения (два швеллера) моменты инерции относи-
тельно главных центральных осей
2 2 48,6 97,2
II
zz
1
y, z:
см4,
y
1
y
2()
IIbzA
yy
2 8,7 (3,6 1,24) 7,51 101,06 см .
1
2
0
C z
24
z
1
b – z0
Из двух полученных значений выбираем
минимальный момент инерции поперечного сечения
= Iz = 97,2 см4.
I
min
Минимальный радиус инерции сечения:
97,2 2 7,51 2,54iIA см.
min min
Гибкость стержня:
min
0,7 400 2,54 110,2li
,
где μ = 0,7 – коэффициент приведения длины для данной расчетной
схемы (см. рис. 7.2).
По графику σ
Действительное напряжение
Действительный коэффициент запаса устойчивости
= f(λ) (см. рис. 7.3) для λ = 110 имеем σкр = 163 МПа.
кр
3
200 10 МН
F
д
A
27,5110 м
кр
nn
у
д
-4 2
163
133,2
133,2 МПа
1, 22 < [ ] = 3,0
у
.
,
т. е. условие устойчивости не выполняется.
Второе приближение: выбираем больший номер швеллера, напри-
мер № 14У, с характеристиками:
2
А, см
15,6 491 45,4 58 1,67
Iz1, см4Iy1, см4b, мм z0, см
109
Далее вновь проводим расчет на устойчивость:
z
y
моменты инерции относительно главных центральных осей для
сечения из двух швеллеров:
= 2 · 491 = 982 см4,
I
z
I
= 2[45,4 + (5,8 – 1,67)2·15,6] = 623 см4,
y
= Iy = 623 см4.
I
min
min
0, 7 400 4, 47 62, 6 63 .
По графику σ
623 2 15,6 4, 47i см.
= f(λ) (см. рис. 7.3) для λ = 63 имеем σкр =
кр
= 238 МПа.
3
238
64,1
64,1
4
3,7 > [ ] = 3,0
МПа.
,
nn
200 10
д
215,610
кр
уу
д
что превышает требуемый запас по устойчивости на
3, 7 – 3, 0 / 3,0 100 % 2 %).(3,3
Третье приближение: выбираем швеллер меньшего размера −
№ 12У:
4
А, см2I
13,3 304 31,2 52 1,54
, см4I
1
1
, см
b, мм
z
, см
0
Далее вновь проводим расчет на устойчивость:
моменты инерции относительно главных центральных осей для
сечения из двух швеллеров:
= 2·304 = 608 см4,
I
z
I
= 2[31,2 + (5,2 – 1,54)2·13,3] = 418,7 см4,
y
= I
I
min
= 418,7 см
y
4
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]