Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Сборник заданий с примерами их решения. Учебное пособие
.pdf
Пример расчета и оформления задачи 4.1
фф
β
R
Построить эпюры внутренних сил для комплекта расчетных схем,
приведенных ниже.
Сосредоточенные силы и моменты на расчетных схемах выразить
через соответствующие величины по заданному отношению силовых
факторов: F = αqa, M = βqa
Исходные данные к примеру 4.1
Комплект 0
F
1
3
a a
F
a a
2a
q
2a
Решение
2
.
ициенты
Коэ
α
12
F
M
2
M
a
F
4
M
a
q
2a
q
q
a a
a
a
M
Расчетная схема 1
Определение реакций опор. Принимаем начало системы коорди-
нат xy на левом конце балки так, чтобы вся расчетная схема разместилась в первом квадранте (см. рис. 4.1).
Так как направления реакций опор R
и RС неизвестны, то полагаем
B
их направления положительными (направленными вверх). Далее составляем два уравнения равновесия:
∑m
= 0 Fa – M – RC(3a) = 0 →
B
C
aa
333
Fa M qa qa
.
22
21
51
qa
Знак минус означает, что исходное направление реакции RC выбра-
R
III
но неправильно, в действительности, оно противоположно. Рекомендуется вектор R
зачеркнуть, что нами сделано, и показать рядом ис-
C
тинное направление реакции со знаком плюс:
∑m
= 0 F(4a)+ RB(3a) – M = 0,
С
(4 ) 4 2 2
Fa M qa qa
.
B
aa
333
22
qa
В связи с отрицательным значением R
ствиям с реакцией R
.
C
поступаем аналогично дей-
В
Для проверки правильности нахождения реакций опор используем
уравнение
0 – – 0 –(2/3) –(1/3) 0,
y F R R qa qa qa
В C
т. е. опорные реакции определены правильно.
F=qa
z
Эпюра Q
Эпюра M
y
qa
I II
x
y
qa
z
RB= (2/3)qa
B
a
2
M = 2qa
x
2a
(1/3)qa
Рис. 4.1. Расчетная схема и эпюры
x
2
RC= (1/3)qa
2
a
(5/3)qa
(1/3)qa
2
x
C
Построение эпюр перерезывающих сил Qy и изгибающих моментов M
. Предварительно разбиваем балку на силовые участки. Грани-
z
цами силовых участков являются точки приложения сосредоточенных
52
нагрузок (сил и моментов), начало и конец участка с распределенной
y
нагрузкой. На рис. 4.1 эти участки обозначены цифрами I, II, III. Далее
рассматриваем последовательно силовые участки и, используя метод
сечений, определяем внутренние силовые факторы Q
и Mz.
y
Правило знаков: при составлении уравнений равновесия для от-
сеченной части балки всегда будем предполагать положительное
направление внутренних силовых факторов Q
и Mz, как показано на
y
рис. 4.2.
z
y
(+) Q
y
x
(+) M
O
I II
(+) Q
Рис. 4.2. Правило знаков
Участок I (0 ≤ x ≤ a):
∑ y = 0 F – Q
∑ m
= 0 Fx – Mz = 0 → Mz = Fx = qax:
O
при x = 0 M
x = a M
= 0,
z
= qa2.
z
= 0 → Qy = F = qa;
y
F = qa
O
x
Участок II (a ≤ x ≤ 3a):
= qa2,
– Qy = 0 →
B
F = qa
a
x
RB =(2/3)qa
B
∑ y = 0 F – R
+Q
y
O
+M
Q
= F – RB = qa – (2/3)qa = (1/3)qa;
y
∑ m
= 0 Fx – RB(x – a) – Mz = 0 →
z
O
M
= Fx – RB(x – a) = qax – (2/3)qa(x – a):
z
при x = a M
x = 3a M
z
= (5/3)qa2.
z
Участок III (3a ≤ x ≤ 4a)
При использовании метода сечений рекомендуется оставлять ту
часть балки, которая нагружена меньшим числом нагрузок.
+Q
y
+M
z
53
В связи с этим для участка III можно использовать два подхода:
B
C
x
1) как и для участков I и II, здесь рассматривается левая отсеченная
часть балки:
F = qa
a
RB =(2/3)qa
x
2a
M = 2qa2
+Q
y
O
+M
z
∑ y = 0 F – RB – Qy = 0 →
= F – RB = qa – (2/3)qa = (1/3)qa;
Q
y
∑ m
= 0 Fx – RB(x – a) – M – Mz = 0 →
O
M
= Fx – RB(x – a) – M = qax – (2/3)qa(x – a) – 2qa2:
z
при x = 3a M
x = 4a M
= – (1/3)qa2,
z
= 0.
z
2) рассмотрим правую отсеченную часть:
– RC = 0 →
y
= RC = (1/3)qa;
Q
y
= – (1/3)qa2,
z
= 0.
z
+M
RC = (1/3)qa
+Q
y
z
O
4a – x
∑ y = 0 Q
∑ m
= 0 Mz + RC(4a – x) = 0 →
O
M
= – RC (4a – x) = – (1/3)qa(4a – x):
z
при x = 3a M
x = 4a M
Следовательно, для участка III удобнее рассматривать правую отсеченную часть балки, содержащую меньшее число нагрузок. Эпюры Q
приведены на рис. 4.1.
и M
z
y
Расчетная схема 2
Определение реакций опор. Принимаем начало системы координат
xy на левом конце балки так, чтобы вся расчетная схема разместилась в
первом квадранте (рис. 4.3).
54
x
x
x
y
F = qa
II
q
I
III
R
B
M= 2qa
Эпюра Q
2
В
a
y
2a
a
M
x
B
qa
3qa
Эпюра M
2qa
2
z
2
2qa
3qa
2qa
2
5qa
2
Рис. 4.3. Расчетная схема балки и эпюры
Для данной расчетной схемы можно не определять реакции в заделке В, если рассматривать участки, начиная от свободного торца и
отбрасывая при использовании метода сечений каждый раз часть балки, содержащую заделку.
Построение эпюр перерезывающих сил Q
ментов M
. Предварительно разбиваем балку на силовые участки.
z
и изгибающих мо-
y
Границами силовых участков являются точки приложения сосредоточенных нагрузок (сил и моментов), начало и конец участка с распределенной нагрузкой. На рис. 4.3 эти участки обозначены цифрами
I, II, III. Далее рассматриваем последовательно силовые участки
и, используя метод сечений, определяем внутренние силовые факторы Q
и Mz.
y
55
При составлении уравнений равновесия для отсеченной части
xa
x
x
x
x
балки всегда будем предполагать положительное направление внутренних силовых факторов Q
и Mz.
y
Участок I (0 ≤ x ≤ a):
M = 2qa
2
O
+Q
y
+M
∑ y = 0 Q
∑ m
O
z
= 0 M – Mz = 0 →
x
=0;
y
M
= M = 2qa2.
z
Участок II (a ≤ x ≤ 3a):
∑ y = 0
–F – q(x – a) – Q
Q
= –F – q(x – a) = –qa – q(x – a):
y
при x = a Q
x = 3a Q
= 0 →
y
= –qa,
y
= –3qa;
y
M = 2qa
2
a
x
F =qa
+Q
q
y
+M
O
здесь q(x – a) – равнодействующая равномерно распределенной
нагрузки; на участке II перерезывающая сила Q
изменяется по линей-
y
ному закону;
z
∑ m
= 0 M – F(x – a) – q(x – a)
O
2
()
M
= M – F(x – a)
z
= 2qa
aq
2
при x = a M
x = 3a M
2
()
aq
– момент относительно точки О рав-
2
здесь q(x – a)
()
a
=
2
()
2
2
– qa(x – a)
= 2qa2,
z
= –2qa2;
z
– Mz = 0 →
()
:
2
2
aq
нодействующей распределенной нагрузки q(x – a). При построении
эпюры следует учесть, что на участке II изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы.
56
Участок III (3a ≤ x ≤ 4a):
M
M = 2qa
2
a
F =qa
x
+Q
q
y
O
+M
2a
∑ y = 0 –F – q(2a) – Qy = 0 →
= –F – q(2a) = –qa – q(2a) = –3qa;
Q
y
для участка III перерезывающая сила постоянна.
0 – (–)–(2)(–2)– 0
mMFxaqaxaM
Oz
– (–)–2 (–2) 2 – (–)–2 (– 2):
M F x a qa x a qa qa x a qa x a
z
2
z
при x = 3a M
x = 4a M
= –2qa2,
z
= –5qa2;
z
на участке III момент изменяется по линейному закону.
Эпюры Q
и M
приведены на рис. 4.3.
y
z
Замечание. В результате построения эпюр внутренних силовых
факторов Q
и Mz определены также величина и направление реакций
y
в заделке В:
R
= 3qa и направлено согласно правилу знаков для левой отсе-
B
ченной части вверх;
M
= 5qa2 и направлено согласно правилу знаков для левой отсе-
B
ченной части так, что изгибает стержень выпуклостью вверх.
Для проверки указанных значений определим реакции в заделке В
на основе уравнений равновесия:
Σy = 0 –F – q(2a) + R
Σm
–qa – 2qa + R
= 0 M – F(3a) – q(2a)2a + MB = 0
B
2
2qa
– 3qa2 – 4qa2 + MB = 0 → MB = 5qa2.
B
57
= 0
B
= 0 → RB = 3qa,
Полученные результаты полностью совпадают с ранее проведен-
III
R
R
ными вычислениями при построении эпюр без определения реакций в
заделке В. Таким образом, если вначале определить реакции в заделке В,
а затем определять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть
стержня, конечно получим те же результаты
. Однако в этом случае в
задаче необходимо выполнить больше действий (дополнительно составляется уравнение равновесия).
Расчетная схема 3
Определение реакций опор. Принимаем начало системы коорди-
нат xy на левом конце балки (рис. 4.4).
F=qa
y
I II
= 3qa
B
RC= 3qa
q
F=qa
x
qa
Эпюра Q
Эпюра M
qa
2a
2qa
qa
C
x
a
qa
1,5qa
2
2
x
y
z
1,5qa
B
x
a
qa
2qa
2
Рис. 4.4. Расчетная схема и эпюры
Так как направления реакций опор RB и RС неизвестны, то полагаем
их направления положительными (направленными вверх). Далее составляем два уравнения равновесия:
∑m
= 0 Fa – (q·4a)a + RC·2a – F·3a = 0,
B
Fa qa Fa qa qa qa
.
C
2222
43 43
aa
22
58
qa
3
∑mС = 0 F·3a – RB ·2a + (q·4a)a – Fa = 0,
R
Fa qa Fa qa qa qa
.
B
aa
22
qa
3
2222
34 3 4
Для проверки правильности нахождения реакций опор используем
уравнение
∑y = 0 –F + R
+ RC – q·4a – F = 0,
В
–qa +3qa +3qa – 4qa – qa = 0,
т. е. опорные реакции определены правильно.
Построение эпюр перерезывающих сил Qy и изгибающих моментов M
. Предварительно разбиваем балку на силовые участки. Грани-
z
цами силовых участков являются точки приложения сосредоточенных
нагрузок (сил и моментов), начало и конец участка с распределенной
нагрузкой. На рис. 4.4 эти участки обозначены цифрами I, II, III. Далее
рассматриваем последовательно силовые участки и, используя метод
сечений, определяем внутренние силовые факторы Q
и Mz.
y
При составлении уравнений равновесия для отсеченной части
балки всегда будем предполагать положительное направление внутренних силовых факторов Q
Участок I (0 ≤ x ≤ a):
∑ y = 0 –F – qx – Q
= –F – qx = –qa – qx:
Q
y
при x = 0 Q
x = a Q
= – qa,
y
= –2qa;
y
и Mz.
y
= 0 →
y
F = qa
x
q
+Q
y
+M
O
z
= 0 –Fx – (qx)(x/2) – Mz = 0 →
∑ m
O
= –Fx – qx2/2 = –qax – qx2/2:
M
z
при x = 0 M
x = a M
= 0,
z
= –1,5qa2.
z
59
Участок II (a ≤ x ≤ 3a):
x
x
∑ y = 0 –F + R
q
x
RB =3qa
O
B
+Q
y
+M
Q
= –F + RB – qx = –qa +3qa – qx:
y
при x = a Q
z
x = 3a Q
∑ m
= 0 –Fx – (qx)(x/2) +
O
F = qa
a
+ R
= –Fx – qx2/2 + RB (x – a) = –qax – qx2/2 + 3qa(x – a):
M
z
при x = a M
x = 3a M
Так как на участке II эпюра Q
чения эпюра M
= –1,5qa2,
z
= – 1,5qa2.
z
пересекает ось х, то в точке пересе-
y
будет иметь экстремальное значение. Для определения
z
этого значения найдем точку пересечения х
= –F + RB – qx0 =
Q
y
– qx – Qy= 0 →
B
= qa,
y
= –qa;
y
(x – a) – Mz = 0
B
из уравнения
0
= –qa +3qa – qx
M
z
= –qa(2a) – q(2a)2/2 + 3qa(2a – a) = –qa2.
2
a
0
= 2qa – qx0 = 0 → х0= 2a;
0
Участок III (3a ≤ x ≤ 4a):
∑ y = 0 Q
при х = 3a Q
х = 4a Q
∑ m
O
M
= – q(4a – x)2/2 – F(4a – x) = – q(4a – x)2/2 – qa(4a – x):
z
при x = 3a M
x = 4a M
Эпюры Q
и Mz приведены на рис. 4.4.
y
– q(4a – x) – F = 0 →
y
Q
= q(4a – x) + qa
y
= 2qa,
y
= qa;
y
= 0 Mz +q(4a – x)2/2 + F(4a – x) = 0 →
= – 1,5qa2,
z
= 0.
z
+M
+Q
z
O
60
y
q
4a – x
F =qa
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]