Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет и компьютерное моделирование цепей постоянного тока (от простого к сложному). Учебное пособие
.pdf
В схеме четыре узла, шесть ветвей и три контура.
R
Е
Система уравнений по методу контурных токов, будет иметь следующий вид:
() ;
IR R R R IR IR E
11 Г 123 222333 Г
IRIRRR IR
11 2 22 2 4 6 33 4
IR I R I R R R
11 3 22 4 33 3 4 5
()0;
()0.
Пример 13. Записать систему уравнений по методу контурных то-
ков для схемы, изображенной на рис. 6.8.
R
I
22
R
Е
Г
Г
I
1
1
Г
Г
2
R
1
I
11
I
R
4
2
I
3
Г
J
R
3
4
I
2
3
I
5
R
5
JI
33
Рис. 6.8. Схема для примера № 13
В рассматриваемой схеме четыре узла, пять ветвей с неизвестными
токами и одна ветвь с источником тока, два контура.
При составлении уравнений по методу контурных токов для схем,
содержащих источники тока, следует придерживаться следующих
правил.
1. Все ветви, кроме ветвей с источникам тока, должны войти в тот
или иной контур.
2. Ветвь с
источником тока должна создать свой контурный ток,
равный источнику тока. По этой ветви не должны протекать другие
контурные токи. Число таких контурных токов равно числу источников тока.
51
Учитывая сказанное, выбираем два контура с неизвестными кон-
R
R
J
J
4
турными токами
I
выбора. При этом если выбор контура для тока очевиден, то при
выборе контурного тока было учтено то обстоятельство, что рези-
сторы
,
2
R
и не попали в первый контур, а независимых конту-
4
5
I
и
11
. Это практически единственный вариант
22
I
11
I
22
ров всего два. Ветвь с источником тока создает свой контурный ток, а
контур для нее лучше выбирать кратчайшим образом. Система уравнений по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 6.8,
имеет вид
() ;
IR R R IR JR E
11 Г 13 22Г 3 Г
IR I R R R R JR E
11 Г 22 Г 245 5Г
В записанной системе уравнений величины
().
R ,
R известны, их
3
5
следует перенести в правую часть уравнений с противоположным знаком. После нахождения контурных токов и обычным образом
находим токи в ветвях, например, .
I
I
11
22
JII
113
Пример 14. Записать систему уравнений по методу контурных то-
ков для схемы, изображенной на рис. 6.9.
2
3
I
J
1
I
R
1
1
Рис. 6.9. Схема для примера № 14
4
Е
I
11
R
3
J
I
R
I
3
2
2
В схеме четыре узла, четыре ветви с неизвестными токами, один
контур.
(Ответ к заданию № 4)
52
Для схемы, изображенной на рис. 6.9, можно составить одно урав-
E
RГЕ
нение по методу контурных токов:
()IR R R JR JR E
11 1 2 3 1 2
.
Задание № 10. (Класс сложности 3). Запишите систему уравнений
по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 6.10.
R
1
R
2
R
3
R
4
Рис. 6.10. Схема для задания № 10
Задание № 11. (Класс сложности 4). Запишите систему уравнений
по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 6.11.
R
Г
Г
Е
Г
R
2
R
1
J
R
3
Рис. 6.11. Схема для задания № 11
Задание № 12. (Класс сложности 5). Запишите систему уравнений
по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 6.12.
R
J
5
R
1
R
4
Рис. 6.12. Схема для задания № 12
53
R
2
R
3
Задание № 13. (Класс сложности 5+). Запишите систему уравнений
E
по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 6.13.
R
3
R
Е
1
1
R
J
Е
2
Е
3
2
Рис. 6.13. Схема для задания № 13
Ответы к заданиям № 10–13:
задание № 10 (рис. 7.1, с. 55);
задание № 11 (рис. 7.2, с. 56);
задание № 12 (рис. 7.3, с. 58);
задание № 13 (рис. 7.4, с. 59).
7. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Данный метод наиболее широко используется как при теоретических исследованиях, так и при машинном моделировании электрических схем.
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 7.1.
I
1
R
1
R
2
I
11
2
I
1
I
3
2
R
R
I
3
22
4
Земля""
Рис. 7.1. Разветвленная схема
54
Схема содержит два узла, три ветви, два контура. Система уравне-
R
R
E
R
gR
R
ний по методу контурных токов имеет следующий вид:
();
IR R R IR E
11 1 2 3 22 3
IR I R R
11 3 22 3 4
()0,
(Ответ к заданию № 10)
В методе контурных токов в центре внимания контур, а в методе
узловых потенциалов – узел. В схеме, изображенной на рис. 7.1, два
узла. Но так как ток в резисторах согласно закону Ома зависит от разности потенциалов, а не от абсолютного значения потенциала той или
иной точки
(узла), то величину потенциала одной (и только одной)
точки (узла) можно принять равной любому значению, лучше нулю.
Так обычно и делают. Говорят: заземлим такую-то точку (узел); заземлим первый узел. На схеме это показано в виде черточки (см. рис. 7.1).
После заземления первого узла неизвестной остается величина потенциала второго
единенных резистора
узла. Прежде всего заменим два последовательно со-
и
1
одним резистором . Соста-
2
RRR
2112
вим для второго узла уравнение по методу узловых потенциалов:
111
2
RR R
12 3 4 12
. (7.1)
1
Следует сказать, что величина
получила название проводимо-
сти. Проводимость измеряется в сименсах (См).
Анализ уравнения (7.1) показывает:
1) потенциал узла умножается на сумму проводимостей ветвей,
подключенных к рассматриваемому узлу;
2) в правой части уравнения учитывают наличие источников ЭДС в
ветвях, подключенных к рассматриваемому узлу. В схеме имеется
RR
один источник ЭДС в ветви с резистором
12 1 2
. Сама ЭДС сво-
им плюсом подключена ко второму узлу, а поэтому в правой части она
берется со знаком «+» и умножается на проводимость той ветви, где
она находится;
55
3) используя понятие проводимости, уравнение (7.1) можем запи-
E
R
RR
RR
Е
R
сать более компактно:
()ggg Eg
;
212 3 4 12
4) зная величину потенциала
ток по закону Ома для участка цепи с ЭДС:
I
1
ток
I по закону Ома:
2
I
ток
по закону Ома:
3
12 Г 2 Г
I
1
12 12
I
I
, находим токи в схеме:
2
E
RRR
21 2
2
3
33
21 2
.
44
;
;
Пример 15. Записать систему уравнений по методу узловых по-
тенциалов для схемы, изображенной на рис. 7.2.
R
Г
Г
Е
Г
Г
I
11
I
1
2
I
R
2
1
JI
22
R
2
1
R
3
J
Рис. 7.2. Схема с источником тока
В схеме два узла, две ветви, один контур.
Уравнение по методу контурных токов будет иметь вид
()IR R JR E
11 Г 22Г
.
(Ответ к заданию № 11)
56
Заземлим первый узел. Составляем уравнение для второго узла:
R
R
(0)gg EgJ
.
2 Г 2 ГГ
Дадим комментарии к записанному уравнению.
1. Внутреннее сопротивление источника тока стремится к ∞. Рези и
сторы
1
соединены последовательно с внутренним сопротивле-
3
нием источника тока. Следовательно, общее сопротивление ветви с
источником тока равно бесконечности, а проводимость этой ветви соответственно равна нулю. Поэтому, хотя ветвь с источником тока и
подключена ко второму узлу, проводимость ее считается равной нулю.
Чисто формально это обстоятельство можно учесть в уравнении
как +0.
2. Так как источник тока направлен от второго узла, то в правой ча-
сти уравнения он записывается со знаком минус.
Пример 16. Записать систему уравнений по методу узловых по-
тенциалов для схемы, изображенной на рис. 7.3.
2
I
5
R
5
I
11
1
R
1
I
33
I
2
I
Е
I
22
4
R
4
JI
44
R
2
R
3
J
A
3
Рис. 7.3. Схема для примера 16
В схеме четыре узла, шесть ветвей, три контура. Потенциал точ-
ки А равен потенциалу третьего узла, а поэтому будем считать, что
57
резистор
R
Е
и источник тока J присоединены непосредственно к тре-
2
тьему узлу. Запишем систему уравнений по методу контурных токов:
()0 ;
IR R I IR E
11 1 5 22 33 1
0( ) ;
IIRRIRJRE
11 22 2 3 33 3 2
IR I R I R R R
11 1 22 3 33 1 3 4
()0.
(Ответ к заданию № 12)
Прежде чем записать систему уравнений по методу узловых потенциалов, внимательно посмотрим на схему. В схеме имеется ветвь с источником ЭДС. Следовательно, если принять потенциал четвертого
узла равным нулю, то потенциал второго узла станет известным и рав-
ным величине
Е:
. Таким образом, остались неизвестными по-
2
тенциалы первого и третьего узлов. Система уравнений по методу узловых потенциалов примет следующий вид:
() 0;
gg g g g
1 1 4 5 25 34
gg gggJ
14 22 3 2 3 4
().
Зная величину потенциалов, по закону Ома находим токи в схеме,
кроме тока в источнике ЭДС. Сопротивление этой ветви равно нулю, и
законом Ома не удается воспользоваться. Для нахождения этого тока
составляем уравнение по первому закону Кирхгофа:
и находим ток
I .
E
IIIJ
E
52
0
Пример 17. Записать систему уравнений по методу узловых по-
тенциалов для схемы, изображенной на рис. 7.4.
I
22
1
I
3
I
1
Е
1
JI
33
I
5
R
3
I
11
2
R
1
J
Е
4
2
I
2
3
R
2
Е
3
I
4
Рис. 7.4. Схема для примера № 17
58
Схема содержит четыре узла, пять ветвей, два контура.
E
Система уравнений по законам Кирхгофа имеет следующий вид:
1-й узел:
2-й узел:
3-й узел:
12
234
1-й контур:
2-ой контур:
135
IR I R I R E ;
12233 1
IR E.
33 3
0II I ;
0II J;
0III;
(Ответ к заданию № 5)
Система уравнений по методу контурных токов будет иметь следующий вид:
() ;
IR R R IR JR E
11 1 2 3 22 3 1 1
IR I R E
11 3 22 3 3
.
(Ответ к заданию № 13)
Примем потенциал четвертого узла равным нулю. Тогда потенциал
первого узла будет тоже равен нулю, а потенциал третьего узла станет
равным
. Надо составить одно уравнение для второго узла:
3
()
gg g g Eg JEg . (7.2)
21 2 32 2 11
JJ
Так как внутреннее сопротивление идеального источника тока рав-
но бесконечности, то
g
. С учетом этого обстоятельства урав-
J
0
1
нение (7.2) примет вид
()gg g JEg
.
21 2 32 11
59
Задание № 14. (Класс сложности 3). Запишите систему уравнений
Е
ЕГR
ЕГR
по методу узловых потенциалов для схемы, изображенной на рис. 7.5.
R
2
R
4
R
3
Г
R
1
4
Рис. 7.5. Схема задания № 14
Задание № 15. (Класс сложности 4). Запишите систему уравнений
по методу узловых потенциалов для схемы, изображенной на рис. 7.6.
R
Г
Е
Г
Г
J
R
2
R
1
R
3
Е
2
R
4
Рис. 7.6. Схема задания № 15
Задание № 16. (Класс сложности 5). Запишите систему уравнений
по методу узловых потенциалов для схемы, изображенной на рис. 7.7.
R
J
R
5
R
2
4
Е
4
R
1
Е
0
R
3
Рис. 7.7. Схема задания № 16
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]