Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
81
22
2
20
11
1 2 cos cos cos2
2 2 2 2
mm
a U m t t t
+ + + +
.
Как видно из приведенного выше выражения, на выходе диода появилась
вторая гармоника модулирующего сигнала, которой не было на передаче, при
этом коэффициент нелинейных искажений: k
н.и.
= m/4.
При m = 100% k
н.и
= 25%, а это очень большие нелинейные искажения, в том
время как в реально работающей аппаратуре допускаются только доли процента.
7.2 Устройства формирования и детектирования сигналов с частотной
модуляцией
7.2.1 Модулятор ЧМ-сигнала
Рассмотрим схемы частотной модуляции. Задачу получения ЧМ-колебаний
можно сформулировать как задачу создания генератора гармонических
колебаний, частота которого изменяется в соответствии с изменением
амплитуды модулирующего сигнала. Частота колебаний LС-генератора
определяется резонансной частотой колебательного контура
0
1
LC
=
и,
следовательно, для её изменения необходимо менять либо емкость С, либо
индуктивность L. Для изменения частоты колебаний RC-генератора следует
менять либо емкость С, либо R.
VT
L
к
–
+
E
к
C
бл.1
C
к
C
p2
C
p1
U
ЧМ
L дросселя
С
бл.2
–
+
E
см
i
Ω
U
Ω
варикап
Задающий генератор
Рисунок 7.10 – Принципиальная схема получения ЧМ-сигнала на варикапе
82
На рисунке 7.10 приведена схема модулятора ЧМ-сигнала, где управляющей
емкостью служит варикап [5]. Низкочастотный сигнал подается через
трансформатор и дроссель на контур. Дроссель Lдр служит для пропускания
постоянной составляющей и позволяет производить шунтирование контура
низкоомным сопротивлением цепи модулятора.
Частота генератора:
1
ген
к экв
LC
=
С
экв.
= Cк + С0 + ΔС,
где С
0
– емкость варикапа в рабочей точке при отсутствии модуляции, ΔС –
изменение емкости при подаче на варикап модулирующего сигнала. Изменение
емкости: С(t) = ΔС cos Ω t, частота контура:
.
1
1
рез
k
C
LC
C
=
+
где СΣ = Ск + С
0
– емкость контура при отсутствии модулирующего сигнала.
К недостаткам рассматриваемого модулятора следует отнести:
- невысокая девиация частоты из-за малого линейного участка C(U), Δω ≈ ΔC;
- исключается возможность стабилизация частоты с помощью кварца.
Для увеличения девиации частоты применяется умножение частоты после
модуляции, тогда Δω
вых
= Δω
ген
n, где n – коэффициент умножения.
7.2.2 Детектирование ЧМ-сигналов
Разница в приеме ЧМ и АМ-колебаний состоит в методах их детектирования.
Методы детектирования ЧМ-колебаний можно разделить на косвенные и
прямые.
Детектирование по косвенным методам осуществляется в результате одного
из трех преобразований. Согласно первому преобразованию ЧМ-колебание
предварительно превращается в АМ-колебание и затем детектируется
амплитудным детектором. При втором – ЧМ-колебание преобразуется в
фазомодулированное (ФМ) колебание и для детектирования используется
фазовый детектор. В третьем случае ЧМ-колебание превращается в импульсно-
модулированное колебание и затем детектируется импульсным детектором.
Рассмотрим детектирование по первому способу.
Преобразование ЧМ-колебание в АМ можно осуществить, например, при
помощи так называемой схемы с расстроенным контуром. Допустим, что контур
настроен относительно центральной частоты входного сигнала, как показано на
рисунке 7.11.
Аппроксимируем участок левой резонансной кривой выражением:
y = y0 + kω.
Допустим, что частота изменяется по закону:
Ω = ω + Δω cos Ωt,
следовательно, y = y0 + kω0 + kΔω cos Ωt.
83
Выполнив несложные преобразования
y = (y0 + kω0)[1 + (kΔω/y0 + kω0) cosΩt]
и обозначив
y + kω0 = yΣ, kΔω/y0 + kω0 = m
подставим в верхнее выражение, получим:
y = y (1 + m cos Ωt)
Р.Т.
ωω
р
∆ω
cos Ωt
t
U
к
(t)
t
Сохраняется частотная
модуляция
t
U
mк
(t)
0
0
0
y = U/U
p
y = U/U
p
y
0
Рисунок 7.11 – К пояснению преобразования ЧМ-колебания в АМ-колебание
Таким образом, напряжение на выходе контура представляет собой АМ-
сигнал, огибающая которого показана на рисунке 7.11 справа.
Принцип работы детектора на одном расстроенном контуре показан на
рисунке 7.12.
I
0
ω
Р.Т.
ω
0
ω
рез
i
0 р.т.
вх
UЧМ(t)
ω
р
VD
R
н
С
ф
+
–
вых
L
к
C
к
а) б)
Рисунок 7.12 – Характеристика детектирования (а) и принципиальная схема на
одном расстроенном контуре (б)
84
К недостаткам схемы на одном расстроенном контуре следует отнести малый
линейный участок характеристики детектирования, который ограничивает
девиацию частоты Δω, а также наличие постоянной составляющей тока при
отсутствии модуляции.
На рисунке 7.13 приведена принципиальная схема с двумя расстроенными
контурами, которая позволяет устранить недостатки схемы с одним
расстроенным контуром.
ω
0
ω
р1
ω
р2
VD
1
VD
2
R
ф1
R
ф2
С
ф1
С
ф2
U
вых
вх
C
к1
C
к2
L
к1
L
к2
Рисунок 7.13 – Принципиальная схема ЧМ-детектора на двух взаимно-
расстроенных контурах
Катушки индуктивности Lk1 и Lk2 намотаны во встречном направлении,
чтобы характеристика детектирования получилась такая, как показано на
рисунке 7.14.
85
U
к
(ω)
ωω
р2
ω
0
ω
р1
∆ω
U
0
(t)
t
cos Ωt
ω
р1
ω
0
ω
р2
ω
a)
б)
в)
U
к
(ω)
0
Рисунок 7.14 – К пояснению работы детектора ЧМ на двух взаимно
расстроенных контурах: а) АЧХ расстроенных контуров; б) характеристика
детектирования; в) напряжение на выходе детектора
Как видно из рисунка 7.14, допустимая девиация в два раза выше из-за
расширения линейного участка детектирования, а также наличия нулевого
напряжения на выходе при отсутствии сигнала.
Превышение девиации Δω допустимого значения Δω
доп
приводит к
нелинейным искажениям, как показано на рисунке 7.15.
U0(ω)
ω
ω
р1
ω0ω
р2
∆ω
cos Ωt
U0(t)
t
искажения
рабочий
участок
0
Рисунок 7.15 – Превышение Δω линейного участка характеристики
детектирования
86
7.3 Контрольные вопросы и задачи
7.3.1 Какие требования предъявляются к нелинейному элементу,
представленному как L(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .ak xk, который используется в
модуляторе АМ-сигнала?
7.3.2 Какая часть нелинейного полинома L(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .ak xk
используется в АМ-модуляторе?
7.3.3 Записать выражение суммарного сигнала, который подается на вход АМ
модулятора, и обосновать необходимость каждого компонента.
7.3.4 Рассчитать статическую модуляционную характеристику для случая
аппроксимации транзистора полиномом третей степени, для которой она
определяется выражением:
23
1 1 2 3 3
3
23
4
см
I aU a U E a U E a U
= + + +
приняв Uω = 4 B, а1 = 3020 mA/B, a2 = 20 mA/B, a3 = 10 mA/B.
7.3.5 Используя данные задачи 7.3.4, определить максимальное значение
коэффициента неискаженной модуляции АМ-сигнала.
7.3.6 При каких значения коэффициентов полинома L(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + .
. .ak xk, глубина (коэффициент) модуляции будет максимальной?
7.3.7 Построить спектр и временные диаграммы АМ-сигнала (модуляция
одним тоном) при изменении рабочей точки на статической модуляционной
характеристике вверх и вниз.
7.3.8 Построить спектр АМ-сигнала на входе нелинейного элемента, на его
выходе и на выходе фильтра нижних частот детектора (линейное
детектирование).
7.3.9 Определить коэффициент нелинейных искажений на выходе
квадратического детектора при глубине модуляции, равной 0,8.
7.3.10 Перечислить недостатки ЧМ-модулятора на варикапе и приемы их
устранения.
7.3.11 Привести принципиальную схему и характеристику детектирования
ЧМ-сигнала на одном расстроенном контуре, а также показать временные
диаграммы в различных точках схемы. Перечислить достоинства и недостатки
детектирования на одном расстроенном контуре.
7.3.12 Привести принципиальную схему и характеристику детектирования
ЧМ-сигнала на двух расстроенных контурах, а также показать временные
диаграммы в различных точках схемы.
87
8 Спектральный анализ случайных процессов
8.1 Спектральная плотность мощности случайных процессов
Из-за вероятностного характера отдельных реализаций прямой перенос
методов спектрального анализа в теорию случайных процессов невозможен.
Однако удается получить ряд важных спектральных характеристик случайных
колебаний, преобразуя по Фурье некоторые функции, получаемые путем
усреднения реализаций.
Рассмотрим стационарный случайный процесс X(t) с нулевым
математическим ожиданием, равным нулю. Отдельно взятая реализация этого
процесса есть детерминированная функция, которую можно представить в виде
обратного преобразования Фурье
1
( ) ( )
2
jt
x
x t S e d
−
=
(8.1)
с некоторой детерминированной спектральной плотностью Sx (ω).
Для того, чтобы описать весь ансамбль реализаций, образующий процесс X(t),
естественно допустить, что спектральные плотности Sx (ω) сами являются
случайными функциями частоты. Таким образом, случайный процесс во
временной области порождает другой случайный процесс в частотной области.
Если реализация случайного процесса представлена в форме (8.1), то говорят,
что осуществлено спектральное представление этого процесса.
Рассмотрим основное свойство спектральной плотности. Определим, при
каких условиях функция корреляции Rx(τ) зависит лишь от сдвига τ между
сечениями. Воспользуемся тем, что сигнал x(t) вещественный, так что наряду c
(8.1) справедливо равенство
1
( ) ( ) ( )
2
jt
x
x t x t S e d
−
−
==
(8.2)
Запишем выражение функции корреляции процесса x(t), используя
спектральные разложения случайных реализаций
( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
x
R M x t x t M x t x t
= + = +
=
/
/ ( ) /
1
( ) ( )
2
j j t
xx
M S S e e d d
−
−−
=
(8.3)
/
/ ( ) /
2
1
( ) ( )
(2 )
j j t
xx
e d M S S e d
−
−−
Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель
M[Sx(ω)S
x
*
(ω)], имеющей смысл функции корреляции случайной спектральной
плотности. Для того, чтобы функция Rx(τ) не зависела от времени t, необходимо,
88
как это видно из выражения (8.3), потребовать выполнения следующей
пропорциональности:
M[[S
x
(ω)S
x
*
( ώ)] δ(ω – ώ). (8.4)
Таким образом, значения спектральной плотности, соответствующие любым
двум несовпадающим частотам, не коррелированы между собой.
Введем в формулу (8.4) множитель пропорциональности, зависящий от
частоты, и запишем это равенство как:
M[S
x
(ω)S
x
*
(ω)] = 2πGx(ω)δ(ω-ώ). (8.5)
Функция Gx(ω), играющая фундаментальную роль в теории случайных
процессов, называется спектральной плотностью мощности процесса X(t), в
дальнейшем – спектром мощности.
Подставив (8.5) в (8.3), приходим к важному результату:
1
( ) ( )
2
j
R G e d
−
=
(8.6)
Итак, функция корреляции и спектр мощности стационарного случайного
процесса связаны между собой преобразованием Фурье:
( ) ( )
j
G R e d
−
−
=
(8.7)
Формулы (8.6) и (8.7) составляют содержание теоремы, доказанной в 1934
году известным советским математиком А.Я. Хинчиным и независимо от него
американским ученым Н. Винером. Данная теорема в теории случайных
процессов получила название теоремы Винера-Хинчина.
Для понимания физического смысла G(ω) в (8.6) положим τ = 0. Тогда,
поскольку R(0) = σ2, получаем:
2
1
()
2
Gd
−
=
(8.8)
Дисперсия σ2, равная средней мощности флуктуаций случайного
стационарного процесса, есть, таким образом, сумма вкладов от всех участков
частотной оси. Кроме того, спектр мощности – величина положительная и
накладывает жесткие ограничения на вид допустимых функций корреляции.
Спектр мощности не содержит никакой информации о фазовых
соотношениях между отдельными спектральными составляющими. Поэтому
принципиально невозможно восстановить какую-либо отдельно взятую
реализацию случайного процесса.
Поскольку R(τ) – четная функция аргумента τ, то соответствующий спектр
мощности G(ω) представляет собой четную функцию частоты ω. Отсюда
следует, что пару преобразований Фурье (8.6), (8.7) можно записать, используя
лишь интегралы в полубесконечных пределах:
0
1
( ) ( )cosR G d
=
89
0
( ) 2 ( )cosG R d
=
Случайные процессы, изучаемые статистической радиотехникой, как
правило, обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к
нулю с увеличением временного сдвига τ. Чем быстрее убывает функция, тем
меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями
случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.
Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения»
реализаций случайного процесса, является интервал корреляции τ
к
,
определяемый как:
00
1
2 | ( )| | ( )|
(0)
k
R d r d
R
==
(8.9)
Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом»,
то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка τ
к
.
Прогнозирование на время больше интервала корреляции бессмысленно, так как
мгновенные значения становятся не коррелированы.
Эффективная ширина спектра определяется на основе следующего равенства:
max
0
1
()
эфф
Fd
F
=
,
где F(ω) = G(ω)/π – односторонняя спектральная плотность мощности.
Величины τк и Δω
эфф.
связаны соотношением неопределенности:
τк Δω
эфф
= const,
вытекающим из свойств преобразования Фурье.
В радиотехнике белым шумом принято считать стационарный случайный
процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотность мощности:
G(ω) = G(0) = const.
Термин «белый шум» образно подчеркивает сходство с «белым» светом, у
которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных
составляющих приблизительно одинакова.
По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:
0
0
( ) ( )
2
j
G
R e d G
−
==
Равна нулю всюду, кроме точки τ =0. Средняя мощность белого шума
неограниченно велика. Белый шум является дельта-коррелированным
случайным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого
случайного процесса означает бесконечно большую скорость изменения их во
времени – как бы мал ни был интервал τ, сигнал за это время может измениться
на любую наперед заданную величину.
Белый шум является абстрактной математической моделью, и отвечающий
ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не
90
мешает приближенно заменять реальные достаточно широкополосные
случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания
цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже
эффективной ширины спектра шума.
8.2 Узкополосные и широкополосные сигналы
Спектральная плотность мощности реальных процессов практически
ограничена полосой частот Δω = ωв - ω
н
, поэтому в дальнейшем удобно разделить
случайные процессы на широкополосные и узкополосные. Случайный процесс
называется узкополосным, если спектральная плотность мощности
сосредоточена в сравнительно узкой полосе, то есть значения частот
значительны, а полоса небольшая: ω
o
>> Δω = ωв - ωн , где ωo = Δω/2. Случайный
процесс называется широкополосным, если и полоса Δω, и величина частот ωo
соизмеримы, а именно ωo ≈ Δω.
Рассмотрим широкополосный сигнал на примере белого шума,
ограниченного полосой от 0 до ωв, или, другими словами, прохождение
случайного процесса с равномерной спектральной плотностью мощности
G(ω)=N0 через идеальный фильтр, как показано на рисунке 8.1.
G(ω)
ω
ω
в
N
0
Рисунок 8.1 – Спектральная плотность мощности узкополосного случайного
процесса, ограниченного частотой ω
в
Для данного случайного процесса определим функцию корреляции по теореме
Винера-Хинчина:
0
0
1
( ) cos
в
R N d
=
после интегрирования получим:
0
sin sin
( ) 2 ,
в в в
вв
N
RP
==
где
0 в
P N f=
(8.10)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]