Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
101
10.2 Огибающая и фаза узкополосного гауссовского случайного процесса и суммы гармонического сигнала и узкополосного гауссовского случайного сигнала
10.2.1 Огибающая и фаза узкополосного гауссовского случайного
процесса
ξ(t)
t
E(t)
W(E)
E
00
Рисунок 10.4 – Временная и вероятностная характеристика огибающей СП
Если процесс стационарный, то каждую реализацию ξi(t) можно разложить на
квадратурные составляющие:
0
( ) ( )cos[ ( )]
i
t E t t t
=−
или
0 0 0 0
( ) ( )cos ( )cos ( )sin ( )cos ( )cos ( )sin ( )t E t t t E t t t A t t B t t
= + = +
B(t)
A(t)
E(t)
φ(t)
Рисунок 10.5 – Разложение огибающей СП на квадратурные составляющие
Поскольку ξ(t) – нормальный (гауссовский) процесс, то W(ξ), W(A) и W(B)
имеют нормальное распределение:
2
2
2
1
()
2
A
W A e
−
=
2
2
2
1
()
2
B
W B e
−
=
102
2
2
2
1
()
2
We
−
=
а их функция некоррелированные в совпадающие моменты времени .
Найдем плотность вероятности огибающей и фазы
B(t)
dB
dE
dA
dφ
E(t)
Edφ
A(t)
Рисунок 10.6 – Переход к полярной системе координат
В прямоугольных координатах (рисунок 10.6) вероятность того, что случай-
ная величина E будет находиться в пределах прямоугольника, ограниченного
сторонами (A, A+dA) и (B, B+dB), можно выразить через совместную плотность
вероятности:
P = W2 (A, B)dAdB
Вероятность этого же события можно записать в полярных координата E и φ
P = W2(E,φ)dEdφ
следовательно:
W2(A, B)dAdB = W2(E, φ)dEdφ (10.2)
Поскольку речь идет об одной и той же вероятности, то площадь
элементарного прямоугольника dAdB должна быть равной элементарной
площади в полярных координатах:
dAdB =EdEdφ (10.3)
Кроме того, вследствие статической независимости квадратурных
составляющих, а также их W(A) и W(B) с учетом (10.2):
103
2 2 2
22
22
2
22
1
( , ) ( ) ( )
22
A B E
E
W A B dAdB W A W B dAdB e dAdB e dEd
+
−−
= = =
(10.4)
Сопоставляя (10.2) и (10.3), можно получить:
2
2
2
2
2
( , )
2
E
E
W E e
−
=
(10.5)
Выражение (10.4) определяет совместную плотность вероятности огибающей
E и фазы φ. Для определения плотности вероятности огибающей проинтегрируем (10.4) по всем возможным значениям в пределах от 0 до 2π:
22
22
22
22
2
22
00
( ) ( , )
2
EE
EE
W E W E d e d e
−−
= = =
(10.6)
Для определения плотности вероятности фазы P(φ) надо совместную
плотность (10.4) проинтегрировать по всем возможным значениям огибающей:
2
2
2
2
2
0 0 0
1 1 1
( ) ( , ) ( )
2 2 2
E
E
W W E dE e dE W E dE
−
= = = =
(10.7)
Из (10.7) видно, что плотность вероятности фазы равномерна по всей области
возможных значений φ от -π до +(рисунок 10.7).
W(φ)
φ
π
–π 0
W(y)
0
1 2 3
y =
E
σ
ξ
max
1
2π
E
W
Рисунок 10.7 – ФПВ огибающей и фазы СП при нулевой средней
Выражение (10.6) может быть безразмерным, если обозначить y = E/σ
ξ
При переходе от E к y должно выполняться равенство:
W(E)dE = W(y)dy (10.7)
Подставляя в (10.7) значение из (10.5) и учитывая dE = σξ dy, получим:
104
2
2
()
y
W y ye
−
=
(10.8)
Плотность вероятности, определяемая (12.8), называется распределением
Рэлея.
Здесь переменная может принимать лишь неотрицательные значения, в
отличие от нормального распределения, где может принимать и положитель-
ные, и отрицательные значения. Из рисунка 10.7 видно, что максимальное
значение плотности вероятности огибающей имеет место при y = 1 или, что то
же самое, e = σξ.
Кроме того, в рассматриваемом процессе ξ(t) нет постоянной составляющей,
среднее значение огибающей не равно 0.
10.2.2 Огибающая и фаза суммы гармонического колебания и
узкополосного гауссовского случайного сигнала
Задача решается аналогично. Пусть имеется сумма узкополосного нормаль-
ного стационарного процесса и ξi = E(t)cos(ω
0
t – φ) и гармонического сигнала
S(t) = U0 (t) cos ω0 t.
В этом случае:
2
2
0
( ) ( ) ( ) ( )E t A t U t B t= + +
(10.9)
0
()
()
( ) ( )
Bt
t arctg
U t A t
=
+
(10.9)
Аналогично находятся W2 (E, φ), W(E) и W(φ)
2
2
0
( ) ( , )W E W E d
=
2
0
( ) ( , )W W E dE
=
B(t)
A(t)
A(t) + U
0
E(t)
E’(t)
Рисунок 10.8 – Огибающая случайного процесса при нулевой и ненулевой
средней
105
Если найти совместную плотность вероятности огибающей и фазы и проинтегрировать по фазе в пределах от -π до +π то придем к распределению Райса
(или обобщенно Рэлея) для плотности вероятности огибающей суммы сигнала и
шума:
22
0
2
2
0
0
22
()
EU
E EU
W E e J
+
−
=
(10.11)
J0 – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка:
2
cos
0
0
1
()
2
x
J x e d
=
На рисунке 10.9 приведена зависимость модифицированной функции Бесселя
нулевого порядка от аргумента х.
4
3
2
1
0 1 2 3
x
J0(x)
Рисунок 10.9 – Зависимость модифицированной функции Бесселя нулевого
порядка от аргумента
При U0 = 0, J0 = 1 получим распределение Рэлея как частный случай.
При U0/σξ >> 1 распределение стремится к нормальному (с ненулевым средним).
106
W(E)
E
U
0
σ
ξ
= 0
U
0
σ
ξ
= 1
U
0
σ
ξ
= 2
U
0
σ
ξ
= 3
Рисунок 10.10 – Функция плотности вероятностей огибающей при различных
U0/σξ
W(φ)
U
0
σ
ξ
= 10
U
0
σ
ξ
= 5
U
0
σ
ξ
= 1
φπ–π
0
U
0
σ
ξ
= 0
Рисунок 10.11 – Функция плотности вероятностей фазы при различных U
0/σξ
Чем больше амплитуда сигнала, тем ближе фаза результирующего колебания
к фазе этого сигнала.
10.3 Контрольные вопросы и задачи
10.3.1 В каком случае справедливо преобразование Гильберта?
10.3.2 Перечислить основные свойства аналитического сигнала.
10.3.3 Показать на примере, что в спектре аналитического сигнала
присутствуют только положительные частоты.
10.3.4 Доказать, что скалярное произведение действительного и
сопряженного сигнала равно нулю.
107
10.3.5 Доказать, что при общем фазовом сдвиге всех частотных компонент
сигнала X(t) на угол θ, аналитический сигнал умножается на exp( jθ ), а
транспонирование спектра умножается на exp( jΔωt ).
10.3.6 Показать, что огибающую аналитического сигнала
()
a
St
можно
находить по формуле:
*
( ) ( ) ( )
aa
E t S t S t=
, где
*
()
a
St
– функция, комплексно
сопряженная к функции
()
a
St
.
10.3.7 Сигнал многоканальной системы связи представлен в виде:
1
( ) ( cos( ) sin( )
N
nn
n
x t a n t b n t
=
= +
Записать этот сигнал в виде огибающей и фазы:
( ) ( )cos ( )x t E t t=
10.3.8 Дана гармоническая помеха:
1 1 2 2
( ) cos cosx t a t a t
=+
представить её в виде:
( )
0
( ) ( )cos ( )x t E t t t
= + +
Сначала для частоты
1
=
, затем для частоты
0
=
, где
12
0
2
+
=
Решение провести двумя способами. По первому способу получить решение,
не прибегая к понятию аналитического сигнала, то есть выполняя известные
операции сложения гармонических колебания; по второму – с использованием
понятия аналитического сигнала.
10.3.9 Дан сигнал
0
1
( ) cos ( )
N
nn
n
x t c n t
=
= + +
, являющийся типичным
примером сигнала в многоканальных системах связи. Получить выражение
аналитического сигнала в общем виде, а затем для частного случая
n
cc=
,
n
=
. Линейный член выделить по отношению к средней частоте
0
1
2
ср
N
+
= +
10.3.10 Сигнал x(t) задан своей спектральной плотностью вида:
12
( ) ( ) ( ) 1S j S jS
= − =
,
12
()
,
постоянной в диапазоне частот от ω
1
до ω
2
. Найти временную запись сигнала и
затем её в форме аналитического сигнала. Рассмотреть частный случай при
1
0=
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Курс «Радиотехнические цепи и сигналы» посвящен теоретическим основам
радиотехники, и с полным основанием его следует отнести к числу
фундаментальных радиотехнических дисциплин. Слово «фундаментальность»
означает, что в данном курсе излагаются те научные понятия и методы, в основе
которых постоянно развивается и совершенствуется теоретический арсенал, а
также многочисленные прикладные направления радиотехники.
Теоретическая радиотехника, как и многие другие научно-технические
области, развивалась так, что методы часто обгоняли методы синтеза. В
последнее время это положение стало коренным образом изменяться, главным
образом, под влиянием широкого внедрения компьютеров в практику научного
синтеза.
Стиль и последовательность изложения, принятые в учебном пособии,
продиктованы во многом соображениями педагогического характера, а также
традициями, которые сложились в радиотехнике в последнее время. Пособие
написано в соответствии с программой курса «Радиотехнические цепи и
сигналы» и не претендует на исчерпывающее изложение. Однако хочется
надеяться, что читатель, проработав материал пособия, сможет, используя
литературные источники, самостоятельно продолжить работу в интересующем
направлении.
108
109
ЛИТЕРАТУРА
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. –
М.: «Высшая школа», 2003. – 462 с.
2. Попов В.П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 2000. – 496 с.
3. Теория передачи сигналов. Учебник для вузов. А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский,
М.В. Назаров, Л.М. Финк. – М.: Радио и связь, 1986. – 304 с.
4. Кушнир В.Ф., Ферсман В.А. Теория нелинейных электрических цепей.
М.: «Связь», 1974. – 384 с.
5. Филиппов Б.И. Теория электрической связи. Учебное пособие. –
Новосибирск, 2011. – 284 с.
6. Радиотехнические цепи сигналы: учебное пособие для вузов / Под
редакцией К.А. Сомойло. – М.: Радио и связь,1982. – 528 с.
7. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи сигналы. Руководство к решению
задач. – М.: «Высшая школа», 1987. – 208 с.
8. Сиберг У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч.: Пер. с анг. / Под ред.
Рыжака. – М.: Мир, 1988. – 488 с.
9. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –
Москва: «Радио и связь». – 654 с.
10. Теория передачи сигналов. М.В. Назаров, Б.И. Кувшинов, О.В. Попов. –
Москва: Изд. «Связь», 1970. – 368 с.
11. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи / Под редакцией В.И.
Тихонова. – М.: Советское радио, 1980. – 590 с.
12. Сидельников Г.М., Макаров А.А. Статистическая теория
радиотехнических систем: учебное пособие. – Новосибирск, СибГУТИ, 2016. –
194 с.
13. Макаров А.А., Резван И.И., Чиненков Л.А. Теория электрической связи.
Практикум. – Новосибирск, СибГУТИ, 2002. – 70 с.
14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. – М.: Физматгиз, 1958. – 412 с.
110
Учебное издание
Сидельников Геннадий Михайлович
Радиотехнические цепи и сигналы
Редактор С.В. Воробьева
Корректор А.Р. Шерстнева
_______________________________________________________________
Подписано в печать 28.06.2022.
Формат бумаги 62 х 84/16, отпечатано на ризографе, шрифт №10,
п. л. – 6,87, заказ № 204, тираж 50.
СибГУТИ
630102, г. Новосибирск, ул. Кирова, 86
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]