Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
11
2
и
2
и
−
t
S(t)
0
А
Т
Рисунок 1.5 – Импульсная последовательность прямоугольных импульсов
По формуле (1.3), находим коэффициенты Фурье, где
и
T
q
=
- скважность.
/2
0
/2
22
и
и
A
a Adt
Tq
−
==
/2
1 1 1
1
/2
2 2 1
cos (sin sin )
22
и
и
ии
k
A
a A k dt k k
T T k
−
−
= = − =
1
1
2 2 2 2 2 2
(sin ) (sin ) sin
2
22
и и и
A A A
k k k
T k T T k Т
k
T
==
Окончательную форму ряда Фурье удобно представить как:
1
1
sin
( ) 1 2 cos
k
k
A
q
u t k t
k
q
q
=
=+
1.2.2 Комплексная форма представления ряда Фурье
Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить с
использованием базисных функций, состоящих из экспонент с мнимыми
показателями [1]:
1
, 1, 2, 3.....
jk t
u e k
k
= =
Как видно, функции этой системы периодичны с периодом Т и ортогональны
на отрезке времени [-T/2, T/2]:
12
/2
()
/2
1
( . ) 0,
2
T
j m n x
m n m n
T
u u u u dt e dx m n
−
−−
= = =
Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае
принимает вид:
1
()
k
jt
k
k
S t C e
=+
=−
=
(1. 4)
1
/2
/2
1
()
T
jt
k
T
C S t e dt
T
+
−
−
=
Выражение (1.4) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.
Спектр сигнала в соответствии с выражением (1.3) содержит компоненты на
отрицательной полуоси частот
kk
CC
−
=
. В рассматриваемом ряде слагаемые с
положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:
11
11
( ) ( )
1
| | | | 2| |cos( )
kk
j k t j k t
jk t jk t
k k k k k k
C e C e C e C e C k t
+ − +
−
−
+ = + = +
Таким образом, отрицательная частота – это понятие не физическое, а
математическое, вытекающего из способа представления комплексных чисел.
1.2.3 Спектр непериодического сигнала
Рассмотрим спектральные характеристики непериодического сигнала,
используя ряд Фурье.
Пусть S(t) – одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Добавим
к нему такой же сигнал через интервал повторения Т, и сделав его как бы
периодическим. В результате получим рассмотренный ранее периодический
сигнал в виде последовательности импульсов S
пер.
(t). Представим образованный
сигнал в виде комплексного ряда Фурье:
1
.
()
k
jk t
пер k
k
S t C e
=+
=−
=
с коэффициентами:
1
/2
/2
1
()
T
jk t
k
T
С S t e dt
T
−
−
=
(1.5)
Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим период
повторения к бесконечности
( )T →
и рассмотрим, что произойдет с формулой
(1.5). При этом очевидно:
1. Частоты соседних гармоник
1
k
и
1
( 1)k+
окажутся сколь угодно
близкими, поэтому можно произвести замену
1
k→
13
2. Амплитудные коэффициенты Ck станут неограниченно малыми из-за
того, что в знаменателе находится величина Т.
Таким образом, необходимо найти предельное значение вида формулы
(1.5) при
( )T →
.
Примем во внимание, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексносопряженные пары:
k
j
kk
C A e
=
k
j
kk
C A e
−
−
=
Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание:
11
( ) ( )
1
2 cos( )
kk
j k t j k t
k k k k
A e A e A k t
+ − +
+ = +
с комплексной амплитудой
22
k
j
kk
A e C
=
.
Рассмотрим малый интервал частот Δω, образующий окрестность некоторого
выбранного значения
0
. В пределах этого интервала будет содержаться
0
2
T
N
==
отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых
отличаются сколь угодно незначительно. Поэтому составляющие можно
складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются
одинаковыми комплексными амплитудами:
2
2 ( )
jt
n
С S t e dt
Т
−
−
=
В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного
гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных
составляющих, содержащих внутри интервала Δω:
00
0
2
( ) ( )
j t j t
N
A S t e dt S t e dt
T
−− −
−
= =
Таким образом мы получаем спектральную плотность сигнала S(t):
( ) ( )
jt
S S t e dt
−
−
=
(1.6).
Формула (1.6) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала. При этом
важно отметить, что спектральная плотность сигнала – комплексная функция
частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе
элементарных синусоид.
С другой стороны, нахождение сигнала по спектральной плотности сводится
к обратному преобразованию Фурье:
14
1
( ) ( )
2
jt
S t S e d
−
=
(1.7)
Отсюда следует фундаментальный результат: сигнал S(t) и его спектральная
плотность S(ω) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным
преобразованием Фурье:
( ) ( )
jt
S S t e dt
−
−
=
(1.8)
1
( ) ( )
2
jt
S t S e d
−
=
В итоге мы получаем: спектральное представление сигнала открывает прямой
путь к анализу прохождения сигнала через широкий класс радиотехнических
устройств, а также сложных систем.
Определить спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса.
Пусть сигнал S(t) имеет амплитуду U, длительность и располагается
симметрично относительно начала отсчета времени.
2
и
2
и
−
0
t
S(t)
A
Рисунок 1.6 – Симметричный сигнал прямоугольной формы
В соответствии с (1.6):
/2 /2 /2
/2 /2 0
2
( ) (cos sin ) cos sin
2
и и и
ии
jt
и
U
S U e dt U t j t dt U tdt
−
−−
= = − = =
Таким образом, спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть
вещественная функция частоты. Введем безразмерную переменную
2
и
=
и представим результат как:
15
sin
()
и
SU
=
(1.9)
Отметим, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно
площади импульса:
(0)
и
SU
=
.
0
S(ψ)
ψ
π
2π
-π
2π
Рисунок 1.7 – График нормированной спектральной плотности
прямоугольного видеоимпульса как функция параметра
2
и
=
График, построенный по формуле (1.9), представлен на рисунке 1.7.
Рассмотрим сигнал, описываемый функцией экспоненциальной
зависимостью S(t) = Uexp(βt), при положительном значении β (рисунок 1.8).
S
U
t
0,1U
τ
и
Рисунок 1.8 – Экспоненциальный сигнал
Сигнал, представленный на рисунке 1.8, лишь условно можно называть
импульсом из-за
t →
. Однако условие β > 0 обеспечивает быстрое уменьшение
мгновенных значений сигнала с ростом времени. Эффективную длительность
16
подобных импульсов в радиотехнике обычно определяют из условия
десятикратного уменьшения уровня сигнала: exp(-βτи ) = 0,1 , откуда τи = 2,303/β.
Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса:
()
0
()
jt
U
S U e dt
j
−
+
= = −
+
3,035
и
=
Особенностью спектральной плотности экспоненциального сигнала от
спектра импульса прямоугольной формы является то, что что величина S(ω) не
обращается в нуль и представляется как комплекснозначная функция:
S(ω) = |S(ω)| exp[jψ(ω)],
22
| ( ) |
U
S
=
+
, ψ(ω) =-arctg(ω/β).
Импульс с гауссовской огибающей описывается функцией:
S(t) = U exp(-αt2).
Эффективная длительность гауссова импульса определяется из условия
десятикратного уменьшения мгновенного значения сигнала, при этом
длительность должна удовлетворять соотношению exp[-α(τи/)2] = 0,1, что
позволяет получить:
3,035
и
=
Опуская дальнейшие выкладки и ссылаясь на [1], получим выражение
спектральной плотности гауссова импульса:
2
4
()S U e
−
=
Спектральную плотность дельта-функции, представленную как
существование сигнала S(t) = Aδ(t) только в точке t = 0 и имеющую площадь А,
можно представить как: S(ω) = A = const.
Таким образом, дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах.
Главный вывод из спектрального анализа сигналов, приведенных выше, это:
чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.
Под шириной импульса будем понимать частотный интервал, в пределах
которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед
заданного уровня, например, изменяется в пределах от |S|
max
до 0,1|S|
max
.
Рассмотрим прямоугольный видеоимпульс, полагая при этом, что верхняя
граничная частота – это частота, соответствующая первому нулю спектральной
плотности. Видно, что
Ωв τи/2 = π или fв τи = 1.
Для экспоненциального видеоимпульса уменьшение в 10 раз по отношению к
максимальному значению [1]:
2
2
1
0,1
1
в
=
+
или
0,99
в
=
, а значит fв = ωи/(2π) = 1,584.
17
Итак, произведение ширины спектра импульса на его длительность есть
постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило,
имеющее порядок единицы:
fв τи = const.
Это соотношение имеет первостепенное значение для радиотехники. Оно
определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнических
устройств.
1.3 Контрольные вопросы и задачи
1.3.1 Почему простое гармоническое колебание cos (ω0t + φ0) играет особо
важную роль в радиотехнике?
1.3.2 Дайте определение понятия периодического сигнала. Назовите
несколько физических процессов, для которых модель периодического сигнала
является достаточно точным способом описания.
1.3.3 Какова связь между длительностью импульса и шириной его спектра?
1.3.4 Каким образом можно проверить ортогональность сигналов?
1.3.5 Определить амплитудный и фазовый спектр для последовательности
прямоугольных импульсов (рисунок 1.9) при скважности, равной 2, амплитуды
импульса А = 1В, Х = 0.
0
Т
U(t)
t
X
-t
и
/2 t
и
/2
t
и
A
t
з
Рисунок 1.9 – Последовательность прямоугольных импульсов четного
характера
1.3.6 Определить фазовый спектр для сигнала (рисунок 1.9) для скважности,
равной 3 и первых 4 гармоник для tз = 0 и tз согласно рисунку.
1.3.7 От каких параметров импульсного сигнала зависит амплитудный
спектр, начиная с первой гармоники и далее?
1.3.8 На рисунке 1.10 приведен пример импульсной последовательности
нечетного характера. Рассчитать фазовый спектр для первых четырех гармоник,
если скважность равна 3.
18
τ
и
T
U(t)
t
A
0
Рисунок 1.10 – Последовательность прямоугольных импульсов нечетного
характера
1.3.9 Показать, что импульсные последовательности на рисунке 1.9 и 1.10
имеют одинаковый амплитудный спектр при равных амплитудах и скважностях.
1.3.10 Показать, что набор ортогональных функций Фурье попарно
ортогональны.
1.3.11 При каком соотношении частот сигналы:
S1 (t) = A cos ω1t и S2 (t) = A cos ω2t ортогональны на интервале Т.
19
2 Сигналы с ограниченным спектром
2.1 Математические модели сигналов с ограниченным спектром
Для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все
составляющие с частотами, лежащими в интервале от нуля до бесконечности.
Однако физически такая процедура принципиально неосуществима. К тому же,
вклад спектральных составляющих при условии ω→∞ пренебрежимо мал в силу
ограниченности энергии сигналов. При этом, любое реальное устройство,
предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину
полосы пропускания.
Поэтому целесообразно представлять математическую модель сигнала,
которое имеет такое свойство: спектральная плотность колебания отлична от
нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяженности. В
радиотехнике подобный сигнал называют сигналом с ограниченным спектром.
Математическую модель сигнала с ограниченным спектром во временной
области можно получить из формулы обратного преобразования Фурье:
1
( ) ( )
2
jt
R
S t S e d
=
В зависимости от выбора отрезка R и функции S(ω) можно получить
разнообразные виды сигналов с ограниченным спектром.
Рассмотрим идеальный низкочастотный сигнал. Представим колебание с
постоянной вещественной спектральной плотностью в пределах отрезка частот
от нуля до верхней граничной частоты ω
0
. Вне этого отрезка спектральная
плотность сигнала обращается в нуль:
S(ω) = S0, если -ωв ≤ ω ≤ ωв и 0 при других значениях ω (2.1)
S
0
ω
ω
в
- ω
в
S
0
R
Рисунок 2.1 – Спектр идеального низкочастотного сигнала
Мгновенное значение такого сигнала
20
00
sin
()
2
в
в
jt
вв
в
s S t
St еd
t
−
==
(2.2)
В дальнейшем будем называть такое колебание идеальным низкочастотным
сигналом, подчеркивая этим простейший вид его спектра по сравнению со
спектром других возможных сигналов подобного вида.
S(t)
t
0
Рисунок 2.2 – Временная характеристика идеального низкочастотного сигнала
Идеальный низкочастотный сигнал более общего вида получается, если в
формулу (2.1) ввести фазу спектральной плотности, линейно зависящей от
частоты:
0
0
()
jt
S S e
−
=
, если -ω
в
≤ ω ≤ ωв и 0 при других значениях ω (2.3)
Спектральной плотности (2.3) соответствует низкочастотный сигнал
0
0
sin ( )
()
()
в в o
в
S t t
St
tt
−
=
−
(2.4)
Смещенный во времени относительно сигнала (2.2) на t0 секунд.
Идеальный низкочастотный сигнал является идеализированной выходной
реакцией фильтра частот (ФНЧ), возбуждаемого колебанием с равномерной по
частоте спектральной плотностью, то есть дельта-импульсом.
Рассмотрим математическую модель сигнала, спектр которого ограничен
полосами частот шириной 2Δω, каждая с центром на частоте ± ω
0
. Если в
пределах этих полос спектральная плотность сигнала постоянна, то данный
сигнал будем называть идеальным полосовым сигналом.
Мгновенные значения этого сигнала найдем, используя обратное
преобразование Фурье:
0
00
0
2 sin
( ) cos cos
в
s S t
S t td t
t
+
−
==
(2.5)
При построении графика мы видим, что наряду с высокочастотными
осцилляциями на частоте ω
0
наблюдается изменение во времени мгновенного
значения их амплитуд. Функция sin(Δωt)/Δωt с точностью до масштабного
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]