Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
5.3 Стационарные случайные процессы
Случайные процессы
Стационарные
(установившиеся)
Нестационарные
Стационарные
в узком смысле
Стационарные
в широком смысле
( ) ( )m t sW s ds m
−
==
2
( ) ( ) ( )D t s m W s ds D
−
= − =
1 2 1 2 1 2
( ) ( ; ; )B s s W s s ds ds
−−
=
Случайные процессы классифицируются согласно рисунку 5.6:
Рисунок 5.6 – Классификация случайных процессов
Стационарность в узком смысле – это когда n-мерная плотность вероятностей
не зависит от сдвига всех сечений влево или вправо на одну и ту же величину Δt:
Wn (s1, t1; s2, t2 ; . . . sn ,tn) = Wn (s1 ,t1 ±Δt; s2 ,t2 ±Δt; . . sn ,tn ±Δt;) (5.3)
На основании выражения (5.3) следуют следующие формулы:
1. W
2. W
3.
4.
5.
Условие стационарности в узком смысле приводит к тому, что одномерная
функция плотностей вероятности не зависит от времени, а числовые
(s1, t1) = W1 (s1 ,t1 ±Δt) = W1 (s )
1
(s1, t1; s2, t2) = W2 (s1 ,t1 ±Δt; s2 ,t2 ±Δt) = W2 (s1 , s2 , τ)
2
характеристики – матожидание и дисперсия – тоже не зависят от времени, а
функция корреляции зависит от интервала τ = t2 – t1.
Процесс называется стационарным в широком смысле, если его числовые
характеристики не зависят от времени (условия 3, 4) и условие 2.
51
52
Случайный стационарный процесс в узком смысле всегда стационарен в
широком смысле. Случайный стационарный процесс в широком смысле не
всегда стационарен в узком смысле.
5.4 Эргодические случайные процессы
Эргодическим процессом называется случайный стационарный процесс, для
которого числовые характеристики, полученные усреднением по ансамблю и
усреднением по одной реализации процесса продолжительностью, равной
бесконечности, имеют одинаковые значения.
Определение математического ожидания эргодического процесса:
0
1
()
T
m S t dt
T
=
(5.3)
Матожидание определяет постоянную составляющую случайного процесса,
как показано на рисунке 5.7
S(t)
t
m
Постоянная составляющая
Рисунок 5.7 – Реализация случайного эргодического процесса
Центрированная дисперсия показывает мощность переменной составляющей
случайного процесса:
2
0
1
[ ( ) ]
T
D s t m dt
T
=−
(5.4)
Дисперсия случайного процесса показывает мощность всего случайного
процесса, то есть мощность переменной и постоянной составляющих случайного
процесса:
2
0
1
()
T
D s t dt
T
=
53
Корреляционная функция является мерой случайной взаимосвязи двух
мгновенных значений сигнала, разделенных интервалов времени
τ = t2 – t1 (рисунок 5.8).
S(t)
t
S1(t1)
S2(t2)
t
1
t2
τ
Рисунок 5.8 – Реализация эргодического случайного процесса
Параметром, характеризующим функцию корреляции, является интервал
корреляции. Интервалом корреляции называется минимальное расстояние
между двумя сечениями, при котором случайные величины можно считать
некоррелированными.
BS(τ)
τ
площади
одинаковые
площади
одинаковые
B(0)
τ
0
Рисунок 5.9 – Сущность определения интервала корреляции
Как следует из рисунка 5.9, интервал корреляции определяется как:
0
(0) ( )B B d
−
=
0
1
()
(0)
Bd
B
−
=
,
то есть τ
0
определяется как основание эквивалентного прямоугольника, площадь
которого равна площади под кривой B(τ).
54
Свойства функции корреляции стационарного процесса:
1. Для эргодического стационарного процесса функция корреляции,
рассчитанная усреднением во времени, может быть представлена как:
00
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
TT
B S t S t dt S t S t dt
TT
= + = −
.
То есть функция корреляции – функция симметричная, или четная.
2. Функция корреляции – функция, убывающая:
(0) ( )BB
3. Полная мощность случайного процесса:
2
00
11
(0) ( ) ( ) ( )
TT
B S t S t dt S t dt
TT
==
5.5 Нормальный случайный процесс
Нормальным случайным процессом называется процесс, мгновенные
значения которого подчиняются нормальному закону распределения
вероятностей. Нормальный закон играет огромную роль в радиотехнике, так,
очень многие процессы подчиняются ему. Он является основополагающим для
получения других законов распределения вероятностей в радиотехнических
устройствах.
В общем виде нормальный закон плотности распределения вероятностей:
2
2
1 [ ( )]
( , ) exp
2 ( )
2 ( )
s m t
W s t
t
t
−
=−
где σ
2
(t) – дисперсия, квадрат среднеквадратического отклонения мгновенного
значения случайного процесса от среднего значения, матожидания m(t). На
рисунке 5.10 показано, как изменяется плотность распределения вероятностей
при изменении матожидания (среднего значения) и дисперсии.
55
W(s)
s
–m m0
0
m(t) – математическое
ожидание
σ
2
– дисперсия
σ
2
2
σ
1
2
σ
1
2
>
σ
2
2
а)
б)
s
W(s)
Рисунок 5.10 – Иллюстрация нормального закона при различных m(t) (а) и
различных σ
2
(t) (б)
Интегральная функция распределения вероятностей:
2
2
1 [ ( )]
( , ) ( , ) exp
2 ( )
2 ( )
xx
s m t
F x t W s t ds dt
t
t
−−
−−
−
= = −
где интеграл в общем виде не берется, поэтому существуют таблицы, но они
приводятся для нормированной переменной t:
xm
t
−
=
W(s)
s0
x0
0,5
1
F(x)
a)
б)
Рисунок 5.11 – Плотность распределения (а) и соответствующая ей
интегральная функция распределения (б) нормального закона
56
0 s
W(s)
F(z)
Ф(z)
z–z
Рисунок 5.12 – Графическое представление функций F(z) и Ф(z)
На рисунке 5.12 показаны табулируемые функции, математические выражения
которых:
2
2
1
()
2
z
t
z
Ф z e dt
−
−
+
=
2
2
1
()
2
z
t
F z e dt
−
−
−
=
Ниже приведена связь между этими табулированными функциями:
1 ( ) ( )
( , ) 1
2 ( ) ( )
x m t x m t
F x t ФF
tt
−−
= − =
Для нормального закона распределения характерно свойство 3σ:
а)
3 3 0,997;Px
− =
б)
2 2 0,95;Px
− =
в)
0,68;Px
− =
г)
( ) 1W x dx
−
=
,
57
Свойства нормального процесса:
1. Стационарность в широком смысле эквивалентна стационарности в
узком смысле.
2. Условие эргодичности: интеграл
()Bd
−
– сходящийся.
3. Сечения независимы, если они некоррелированны:
2
1
1
2
2
()
1
( ,....., ) exp
2
(2 )
n
i
i
nn
n
n
xm
W x x
=
−
=−
4. Линейное преобразование не изменяет закона распределения (вида
кривой), изменяются B(τ), σ(t), m(t), τ
0 .
5. Сумма нормального случайного процесса и детерминированной
функции не изменяют закона распределения.
5.6 Контрольные вопросы и задачи
5.6.1 Определить в соответствие с рисунком 5.13 область изменения
случайной величины
-3
-2 -1 0 +1 +2 +3
1,0
0,1
0,5
0,8
0,3
F(x)
х
Рисунок 5.13 – Интегральная функция распределения случайного процесса
5.6.2 В соответствие с рисунком 5.13 построить плотность распределения
вероятностей случайной величины.
58
5.6.3 Найти вероятность попадания случайной величины в интервал
(-3 < x(t) < -1) и (-1 < x(t) < +2), рисунок 5.13.
5.6.4 Определить математическое ожидание и мощность случайного
процесса, где плотность распределения вероятностей задана на рисунке 5.14
-1 0 +1 +2 +3
s
W(S)
Рисунок 5.14 – Плотность распределения вероятностей мгновенных значений
случайного процесса
5.6.5 Определить математическое ожидание и мощность случайного
процесса, где плотность распределения вероятностей задана согласно рисунку
5.15 [13]
-1 0 +1 +2 +3
s
W(S)
Рисунок 5.15 – Плотность распределения вероятностей мгновенных значений
случайного процесса
5.6.6 Определить по рисунку 5.16, какие функции корреляции случайного
процесса таковыми не являются
0
0
0 0
B1(τ) B2(τ) B3(τ) B4(τ)
τ τ τ τ
Рисунок 5.16 – Примеры корреляционных функций
59
5.6.7 Какие процессы не могут быть эргодическими?
5.6.8 Определить мощность переменной составляющей, мощность
постоянной составляющей и мощность всего стационарного эргодического
процесса:
0
()
b
S t t b
T
=+
5.6.9 Найти мощность переменной составляющей случайного процесса,
представляющего собой пилообразное напряжение с максимальной амплитудой
А и периодом повторения Т, усреднением по времени и усреднением по
ансамблю.
5.6.10 Приведите примеры случайного процесса с разным разбросом
мгновенных значений амплитуд.
5.6.11 Какой параметр нормального закона распределения изменяется при
суммировании случайного процесса и постоянной составляющей?
5.6.12 Приведите примеры нормального случайного процесса при
прохождения линейной системы.
6. Преобразование сигналов в нелинейных радиотехнических цепях
( ) ( , )
вых вх
u t f u t=
6.1 Спектральный анализ преобразованных сигналов
Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции, из которого вытекает
простое и важное следствие: гармонический сигнал, проходя через линейную
стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь
другую амплитуду и начальную фазу.
Однако именно поэтому линейная стационарная система неспособна
обогатить спектральный состав колебаний, поданных на её вход. Это
обстоятельство в значительной степени сужает класс полезных преобразований
сигналов, которые осуществляются линейными цепями с постоянными
параметрами.
Гораздо большими возможностями в этом отношении обладают нелинейные
системы, в которых связь между входным сигналом uвх(t) и выходной реакцией
u
(t) устанавливается нелинейной функциональной зависимостью:
вых
В радиотехнике чаще всего используют следующие виды аппроксимации
нелинейных элементов, а именно – кусочно-линейную аппроксимацию и
степенную аппроксимацию.
Рассмотрим степенную аппроксимацию нелинейного элемента. Представим
оператор преобразователя L в виде степенного полинома:
L(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .ak xk , (6.1)
где х – входное воздействие, а L(x) – выходная реакция цепи на входной сигнал.
Для практики такое выражение неудобно, громоздко, поэтому оно
используется для теоретических исследований, потому что дает возможность
рассмотреть все преобразования в общем виде с единой точки зрения. В
операторе, аппроксимированном степенным полиномом:
L[x(t)] = a0 + a1 x(t) + a2 x2(t) + a3 x3(t) + . .+ ak xk(t) (6.2)
первые два слагаемые устанавливают линейную связь между входом и выходом
как частный случай нелинейной связи. Слагаемые, соответствующие членам
полинома со второй и более высоким степеням, описывают явления, связанные
с нелинейным преобразованием.
При изучении безынерционной цепи можно не считаться с конечной
длительностью реальных сигналов, так как переходные процессы в таких цепях
не возникают.
Рассмотрим воздействие моногармонического сигнала x(t) = X cos (ωt +φ)
6.1.1
Преобразование гармонического сигнала в нелинейной
безынерционной цепи
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]