Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
41
Как следует из рисунка 4.1, дискретная модуляция образуется за счет
модуляции гармонического переносчика дискретными импульсами с
прямоугольной огибающей на интервале от 0 до τ.
Аналитическая запись сигналов ДАМ:
на интервале
0 t
единичный импульс «1» формирует сигнал:
1
0 0 0
( ) cos( )
ДАМ
U t U t
=+
а нулевой символ (пауза) формирует сигнал:
0
( ) 0
ДАМ
Ut=
Аналитическая запись сигналов ДЧМ:
на интервале
0 t
единичный импульс «1» формирует сигнал:
1
0 1 1
( ) cos( )
ДЧМ
U t U t
=+
(4.1)
а нулевой символ (пауза) формирует сигнал:
0
0 2 2
( ) cos( )
ДЧМ
U t U t
=+
(4.2)
Аналитическая запись сигналов ДФМ:
на интервале
0 t
единичный импульс «1» формирует сигнал:
1
0 0 1
( ) cos( )
ДФМ
U t U t
=+
(4.3)
а нулевой символ (пауза) формирует сигнал:
0
0 0 2
( ) cos( )
ДФМ
U t U t
=+
(4.4)
Как видно из аналитической записи дискретных модулированных сигналов,
свойство ортогональности сигналов ДАМ не вызывает сомнения, так как
произведение сигналов, соответствующих разным импульсам, равно нулю. Для
сигналов ДЧМ ортогональность достигается или ω
1
>> ω
2
, или ω
1
<< ω
2
, или ω
1
- ω
2
= 1/2τ. Для фазовой модуляции наилучшее значение разности фаз φ
1
– φ2 =
π, при которой достигается наивысшая помехоустойчивость.
Из-за особенностей построения приемной аппаратуры широко применяется
относительная фазовая модуляция (ДОФМ), где информация вносится не в
абсолютное значение фазы конкретной посылки, а в разность фаз двух соседних
посылок.
При формирование первого сигнала
S1 (t) = U0 cos(ω0 t +φ1 )
и второго
S2 (t) = U0 cos(ω0 t +φ2 )
следует изменить фазу второго сигнала в зависимости от того, какой символ
передавался «0» или «1», то есть если надо передать «1», то φ2 = φ
1
+ π, если надо
42
передать «0», то φ
2
= φ
1
. На приеме необходимо обрабатывать сигналы на двух
посылках, чтобы определить, какой символ был передан. В упрощенном виде
демодулятор определяет знак выражения cos(φ2 - φ1), то есть если значение
отрицательное, то демодулятор принимает решение, что передавался «1», если
положительное, то «0».
На рисунке 4.2 показаны спектры сигналов с ДАМ, ДФМ и ДЧМ. Они
получаются на основе общего правила построения спектров модулированного
сигнала по спектру модулирующего НЧ-сигнала путем его переноса из «0» на
частоту .
Рассмотрим спектральный состав сигналов дискретной модуляции,
представленный на рисунке 4.2.
Будем предполагать, что модуляция производится двоичным сообщением,
представляющим собой периодическую последовательность прямоугольных
импульсов с периодом Т = 2τи [4 ]:
a(t) = 1 если 0 < t < τи и - 1, если - τи < t < 0
Это двоичное сообщение представляем рядом Фурье:
1
2 1 cos
( ) sin
k
k
A t k t
k
=
−
=
(4.5)
Сигнал ДАМ можно записать в виде:
0 0 0
( ) 0,5 1 ( ) sin( )S t A a t t
= + +
=
0 0 0
1
1 1 1 cos
sin sin( )
2
k
k
A k t t
k
=
−
+ +
=
0
0 0 0 0 0
1
1 cos
0,5 sin( ) cos( )
2
k
Ak
A t t k t
k
=
−
+ + − +
+ (4.6)
0
00
1
1 cos
cos( )
2
k
Ak
t k t
k
=
−
+ +
Построенный по этой формуле спектр сигнала ДАМ показан на рисунке 4.2
[5].
43
S
НЧ
(ω)
+Ω
3Ω
2Ω
4Ω
ω
0
ω
1
–Ω
+3Ω–3Ω
+4Ω
–4Ω
Ω
+5Ω–5Ω
–5Ω –3Ω
–Ω
+3Ω
+5Ω
ω
2
+5Ω
+3Ω
+Ω
+Ω
–Ω
–3Ω–5Ω
ω
0
ω
0
ω
0
+3Ω
+4Ω
+Ω
–Ω
–3Ω–5Ω
–4Ω
ω
U
нес
(ω)
U
ДАМ
(ω)
U
ДЧМ
(ω)
U
ДФМ
(ω)
ω
ω
ω
ω
0
0
0
0
0
Рисунок 4.2 – Спектральные характеристики модулирующего сигнала и
сигналов с ДАМ, ДЧМ и ДФМ
Спектр ДЧМ, представленного на рисунке 4.2, можно рассматривать как сумму
двух спектров ДАМ с поднесущими ω
2
и ω
1
, где ω2 >> ω
1
S
ДЧМ
(ω) = S
ДАМ(ω1
) + S
ДАМ(ω2
)
При передаче реальных дискретных сообщений чередование посылок
(символов «1» и «0») носит случайный характер, поэтому о периодичности
последовательности «1» и «0» говорить невозможно, т.е. понятие скважности
теряет смысл. В данном случае фиксированной остается только длительность
одного элемента последовательности.
Рассмотрим более подробно построение спектра сигнала ДФМ при разных
индексах модуляции.
44
Для отыскания математического выражения спектра сигнала ДФМ запишем
его в виде [4]:
0 0 0
( ) sin ( )S t A t a t
= + + =
0 0 0 0 0 0
cos ( ) sin( ) sin ( ) cos( )A a t t A a t t
+ + +
=
0 0 0 0 0 0
cos sin( ) ( ) sin cos( )A t a t A t
+ + +
Последнее выражение показывает, что сигнал ДФМ может быть разложен на
две квадратурные составляющие: немодулированную несущую с амплитудой A0
cos Δφ и манипулированную по фазе составляющую. Используя разложение
(4.5), запишем:
0 0 0 0
00
1
sin 1 cos
( ) cos sin( ) sin( )
k
k
S t A t A t k t
k
=
−
= + − − +
0 0 0
1
sin 1 cos
sin( )
k
k
A t k t
k
=
−
+ + +
(4.7)
При изменении Δφ от 0 до π/2 происходит перераспределение энергии сигнала
между несущим колебанием и боковыми составляющими, а при
Δφ = π/2 вся энергия сигнала содержится только в боковых полосах, как
показано на рисунке 4.2.
При рассмотрении спектра сигнала ДЧМ следует различать два способа
частотной модуляции [4]:
- переключение двух независимых генераторов, имеющих частоты ω1 и ω2
- модуляция частоты одного генератора.
При ДЧМ частота сигнала скачком изменяется на +Δω или - Δω около ω0.
Частоты ω1 = ω0 + Δω и ω2 = ω0 - Δω будем называть частотами «нажатия» и
«отжатия». По аналогии с аналоговой ЧМ можно ввести индекс дискретной
частотной модуляции, определяемый как:
β = Δω/Ω,
где Ω = 2πF = π/τи – круговая частота модуляции при передаче периодической
последовательности импульсов, τ
и
– длительность импульса.
Ссылаясь на [4 ], действительная часть сигнала ДЧМ имеет вид:
00
22
sin[0,5 ( )]
( ) 2 cos( )
k
k
S t A k t
k
=−
+
= +
−
(4.8)
При малых значениях индекса частотной модуляции β энергия сигнала
сосредоточена в полосе частот сблизи ω0. Следует отметить, что ближайшие
боковые гармоники оказываются больше по амплитуде, чем при ДАМ. По мере
увеличения β энергия сигнала концентрируется вблизи частот нажатия и
отжатия. Интересно отметить, что при нецелых значениях β отсутствуют
45
спектральные составляющие на частотах нажатия и отжатия. Амплитуды
боковых составляющих при достаточно больших значениях k убыват обратно
пропорционально k2 . При частотной модуляции с разрывом фазы спектр сигнала
является суперпозицией спектром двух сигналов ДАМ с несущими ω
1
и ω2.
Амплитуды боковых частот в этом случае убывают обратно пропорционально их
номеру k. Таким образом, непрерывность фазы при модуляции приводит к более
быстрому затуханию спектральных составляющих, чем при разрывной фазе, что
является практически важным с точки зрения взаимных помех, а также
определения полосы пропускания приемника.
4.2 Контрольные вопросы и задачи
4.2.1 Используя выражение ортогональности сигналов ДЧМ:
1 1 2 2
0
cos( ) cos( ) 0
T
A t A t
=
,
определить минимальный частотный сдвиг.
4.2.2 Определить девиацию частоты сигнала ДЧМ, если индекс частотной
модуляции соответствует ДЧМ с минимальным сдвигом, а длительность битовой
последовательности равна Т.
4.2.3 Как изменится полоса сигнала ДЧМ, если индекс частотной модуляции
увеличить в 3 раза?
4.2.4 Каким параметром определяется ширина спектра сигнала с ДАМ?
4.2.5 При каком индексе фазовой модуляции для сигнала с ДФМ гармоника
на центральной частоте равна нулю?
4.2.6 Какие изменения происходят со спектром сигнала с ДФМ при индексе
фазовой модуляции Δφ = π/2?
4.2.7 При каком значении индекса частотной модуляции спектр ДЧМ состоит
из двух спектров ДАМ, где центральные частоты ДАМ соответствуют частотам
нажатия и отжатия ДЧМ?
4.2.8 Рассчитать и построить спектр ДФМ при Δφ = π/8, π/4, π/2 для
импульсной последовательности со скважностью, равной 2 для первых 5
гармоник.
4.2.9 Рассчитать и построить спектр ДЧМ при значениях частотной
модуляции β = 1, 2, 5 для первых 5 гармоник.
4.2.10 Рассчитать и построить спектр ДАМ при значениях фазовой модуляции
β = 1, 2, 5 для импульсной последовательности со скважностью, равной 4 для
первых 5 гармоник.
46
5 Основы теории случайных процессов
5.1 Вероятностные характеристики случайных процессов
Теория случайных величин изучает вероятностные явления в «статике»,
рассматривая их как некоторые зафиксированые результаты экспериментов. Для
описания сигналов, которые отображают развивающиеся во времени случайные
явления, методы классической теории вероятностей оказываются
недостаточными. Подобные задачи изучает часть математики под названием
теория случайных процессов (сигналов) [11,12].
По определению случайным процессом называется процесс, который
описывается случайными функциями времени, где мгновенные значения сигнала
являются случайными величинами.
Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения
случайного сигнала, получаем лишь единственную реализацию случайного
процесса. Случайный процесс (рисунок 5.1) представляет собой бесконечную
совокупность таких реализаций, образующих статистический ансамбль [3].
t
x(t)
x
1
(t)
x
2
(t)
x
j
(t)
Рисунок 5.1 – Ансамбль реализаций случайного процесса
Например, ансамблем является набор сигналов {x1(t), x2(t), .. }, которые
можно наблюдать на выходе разных генераторов шумового напряжения.
Случайный характер такого сигнала заключен в невозможности заранее, до
опыта, знать мгновенное значение в определенный момент времени.
Реализация случайного процесса – конкретный вид, который приобретает
процесс в данном испытании. На рисунке 5.2 представлена реализация процесса,
где показаны два сечения: конкретные значения x1 и x2 реализации случайного
процесса в некоторый произвольный, но фиксированный момент времени t1 и t2.
Реализация процесса после опыта уже не является случайной функцией времени.
Сечение (рисунок 5.2) – конкретное значение случайного процесса в некоторый
произвольный, но фиксированный момент времени t1 и t2.
47
t
x(t)
x
1
(t
1
)
x
2
(t
2
)
t
1
t
2
Рисунок 5.2 – Реализация случайного сигнала
Для определения вероятностных характеристик случайного процесса служат
интегральная функция распределения вероятностей F(x,t) и плотность
распределения вероятностей W(x,t).
Пусть X(t) – случайный процесс, заданный ансамблем реализаций (рисунок
5.3), а t1 – некоторый произвольный момент времени. Фиксируя мгновенные
значения {x1(t1), x2(t1), . . xj(t1), …}, получаемые в отдельных реализациях,
осуществляем одномерное сечение данного случайного процесса и наблюдаем
случайную величину X(t1).
t
x (t)
x
2
x
1
t
1
F(x
1
)
F(x
2
)
F(x)
Рисунок 5.3 – Ансамбль реализаций сигнала и интегральная функция
распределения вероятностей
Далее воспользуемся вероятностной мерой случайного процесса –
плотностью распределения W(x,t) или интегральной функцией вероятностей
F(x), связанных между собой:
48
( ) ( , )
x
F x W x t dx
−
=
(5.1).
Учитывая свойства функции распределения, определим вероятность
попадания случайной величины x(t1) в интервал (x2 – x1) в соответствии с
рисунком 5.3, как:
Р{x1 < x(t1) < x2} = F(x2) – F(x1).
Свойства интегральной функции распределения и плотности распределения
вероятностей следующие [9]:
1. F(∞) = 1
2. F(-∞) = 0
3. F(x) – функция неубывающая
4. Вероятность попадания в интервал Р{-∞ < x(t1) < x2} = F(x2).
5. Р{x1 < x(t1) < ∞} = 1 – F(x1).
6. Р{x1 < x(t1) < x2} = F(x2) – F(x1).
7.
( ) ( , )
x
F x W x t dx
−
=
8.
( , )
( , )
F x t
W x t
x
=
9.
( , ) 1W x t dx
−
=
условие нормировки
Информация, которую можно извлечь из одномерной плотности
распределения вероятностей, недостаточная для того, чтобы судить о характере
развития реализаций случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений
можно получить, располагая двумя сечениями случайного процесса в
несовпадающие моменты времени t1 и t
2
. Возникающая при таком мысленном
эксперименте двумерная случайная величина {X(t1), X(t2)} описывается
двумерной плотностью вероятности W(x1, x2 ,t1 ,t2 ). Такая характеристика
случайного процесса позволяет вычислить совместную вероятность того, что
реализация процесса случайного процесса при t = t1 проходит в малой
окрестности точки x1, а при t = t2 в малой окрестности точки x2.
Естественным обобщением является n-мерное сечение случайного процесса
(n>2), приводящее n-мерной плотности вероятности W(x1, x2, . . . xn, t1, t2, . . tn).
5.2 Числовые характеристики случайного процесса
Для статистической радиотехники наибольшее значение имеют три числовые
характеристики, называемые математическим ожиданием, дисперсией и
функцией корреляции.
Математическое ожидание случайного процесса (рисунок 5.4)
представляет собой неслучайную функцию времени, которая в любой момент
времени является математическим ожиданием данного сечения, то есть это
49
кривая геометрического места точек математических ожиданий всех сечений,
определяемая как:
( ) ( ) [ ( )] ( , )m t s t M s t sW s t ds
−
= = =
(5.1)
- М[ ] – оператор математического ожидания случайной величины, где сплошная
линия сверху случайной величины указывает на усреднение по ансамблю
реализаций
()st
).
t
S(t)
t
1
t
2
m(t)
Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация математического ожидания
Математическое ожидание квадрата отклонения мгновенных значений
случайного процесса от математического ожидания называется дисперсией. Она
характеризует мощность случайного процесса и определяется как:
22
( ) {[ ( )] } [ ( )] ( , )D t M s m t s m t W s t ds
−
= − = −
(5.2)
Корреляционные функции – характеризуют статистическую или
вероятностную связь между мгновенными значениями в сечениях случайных
процессов. Корреляционные функции разделяются на следующие типы.
Ковариционная функция – математическое ожидание произведения значений
случайного процесса в различные моменты времени t1 и t2 (рисунок 5.4):
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )] ( , ; , )
s
k t t M s t s t s s W s t s t ds ds
−−
==
Корреляционная функция Bs(t1,t2) (рисунок 5.5) отличается от ковариционной
ks(t1,t2) тем, что центрирована:
50
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
( , ) ( , ) ( ) ( ) [ ( )][ ( )] ( , ; , )
ss
B t t k t t m t m t s m t s m t W s t s t ds ds
−
−
= − = − −
Для центрированного случайного процесса функция корреляции:
1 2 1 2 1 2
( ) ( ; ; )B s s W s s ds ds
−−
=
где τ = t2 – t
1
D(0)
m(t
1
)m(t
2
)
B
s
(t
1
, t
2
)
0 t
k
s
(t
1
, t
2
)
Рисунок 5.5 – Корреляционные функции случайных процессов
Нормированная корреляционная функция определяется как [5]:
12
12
12
( , ) ( )
( , )
( 0) ( 0) (0)
ss
B t t B
r t t
B t B t B
==
==
Диапазон изменения -1 ≤ r ≤ 1
Взаимная корреляционная функция характеризует связь между сечениями
различных случайных процессов:
, 1 2 1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )] ( , ; , )
su
R t t M s t u t suW s t u t dsdu
−−
==
Если процессы независимы, то взаимная корреляционная функция равна
нулю.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]