Радиофизика. Учебно-методическое пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

М.А. СТЕПАНОВ, А.В. НИКУЛИН

РАДИОФИЗИКА

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК

2017

1

УДК 537.86(075.8) С 794

Рецензенты:

канд. техн. наук, доцент И.С. Савиных, канд. техн. наук Ю.О. Филимонова

Работа подготовлена на кафедре радиоприемных и радиопередающих устройств и утверждена Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

Степанов М.А.

С 794 Радиофизика: учебно-методическое пособие / М.А. Степанов, А.В. Никулин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. – 62 с.

ISBN 978-5-7782-3231-0

Настоящее пособие содержит базовые теоретические сведения о структуре и строении векторных и скалярных полей, волновых процессов, задачи к рас- четно-графическому заданию по курсу «Радиофизика» и примеры их решения. Пособие адресовано студентам II курса, обучающимся по направлениям «Радиотехника» и «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

УДК 537.86(075.8)

2

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К РГЗ

Расчетно-графическое задание (РГЗ) включает в себя три части. В каждой части студенту предлагается самостоятельно решить задание в соответствии с назначенным вариантом. Решение студентом не своего варианта РГЗ не засчитывается. Каждая задача направлена на усвоение студентом теоретического материала одной из частей курса.

Номер варианта, решаемого студентом, определяется преподавателем при выдаче задания. Студенты выполняют задания самостоятельно. В случае возникновения вопросов, они могут получать ответы преподавателя во время практических занятий или консультаций.

Задание из первой части требует аналитического вывода соотношений для расчета компонент электромагнитного поля, указанных в задании. Далее, с использованием полученных соотношений, необходимо построить силовые линии для составляющих электромагнитного поля, указанных в задании в приведенном диапазоне изменения координат. Полезно помнить, что силовая линия – это кривая, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с вектором постоянной длины, являющимся элементом векторного поля в этой же точке. Таким образом, изначально необходимо рассчитать в заданных пределах векторные поля, а затем изобразить силовые линии этих полей.

Вторая часть ориентирована на изучение свойств электромагнитных полей. Встречаются задачи, посвященные как постоянным во времени электрическим полям, так и переменным. Для решения большинства из предложенных задач достаточно знания уравнений Максвелла

иматериальных уравнений.

Втретьей части решаются задачи, связанные с распространением электромагнитных волн. При этом будут полезны знания законов Снеллиуса, формул Френеля, поляризационных свойств электромагнитных волн.

Примеры решения задач из каждой части приведены в данном учебно-методическом пособии.

4

1. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В этом разделе учебно-методического пособия содержатся общие теоретические сведения, которые будут полезны в первую очередь при освоении дисциплины «Радиофизика» в целом. Зачастую студенты, изучающие курс «Радиофизика», теряют физический смысл за сложными математическими формулами. Очевидно, это не способствует облегчению освоения дисциплины. Вместе с тем за каждой из математических операций стоит вполне четкий, понятный физический смысл. Цель этого раздела – перекинуть своеобразный мостик между физикой и математикой.

По своему содержанию общетеоретический раздел разбит на две части.

Впервой части приводятся описания основных математических операций, широко используемых в радиофизике. В первую очередь это операции над векторами. Далее вводятся понятия векторного и скалярного полей, показаны способы перехода от одного типа поля к другому, а также перечислены их основные свойства. Стоит отметить, что каждая из описываемых математических операций имеет вполне конкретную физическую интерпретацию.

Во второй части приводятся основные сведения о волновых процессах, аналитические выражения и графические представления для бегущей, стоячей, однородной и неоднородной волн, уравнения Гельмгольца и Даламбера, а также объясняется их смысл. Важно понимать, что эти общие базовые сведения отнюдь не являются исчерпывающими. Однако без их четкого знания и понимания исследование волновых процессов будет затруднено.

Вцелом про раздел с общими теоретическими сведениями можно сказать следующее. Сведения, содержащиеся в нем, являются универсальными и могут быть полезными не только при освоении курса «Радиофизика». В обеих частях общетеоретического раздела нет никакой привязки к электромагнитным полям и волнам. Здесь описаны общие свойства, характерные процессам, имеющим различную физическую природу.

5

1.1.Элементы векторного анализа

Врадиофизике, а также в дисциплинах, базирующихся на ее основе, широко применяют операции и понятия векторного анализа. Кратко напомним их.

Вектор, в отличие от скаляра, характеризуется не только величиной (количественной мерой), но также имеет направление в пространстве. Векторными величинами характеризуются многие физические явления. Например, в физике это сила, скорость, импульс и т. д. Значимость векторов заключается в том, что с их помощью физические закономерности могут отображаться в лаконичной и универсальной форме. Математические выражения, содержащие векторные величины, называют векторными, а соответствующий раздел математики – векторной алгеброй.

Любой вектор можно представить в виде A j0 Aj , где j0 – единичный вектор, также называемый ортом; Aj – проекция вектора A на орт j0 или в данном примере – абсолютное значение вектора A . Орты,

соответствующие направлениям осей декартовой системы координат обозначают x0 , y0 , z0 . Таким образом, в проекциях на эти оси вектор

A имеет следующий вид:

A Ax x0 Ay y0 Az z0 .

Проекции Ax , Ay , Az называются также компонентами, или со-

ставляющими вектора A . Наряду с приведенной выше формой задания векторов также используется форма, при которой просто перечисляются проекции вектора на соответствующие орты системы координат:

{Ax ; Ay ; Az} .

Здесь и далее приведены выражения для операций векторной алгебры в декартовой системе координат. Наряду с декартовой системой координат в радиофизике широко используются сферическая и цилиндрическая системы координат. Выражения, определяющие операции векторной алгебры в этих системах координат, можно найти, например, в [1, 4]. При этом физический смысл этих математических операций остается тем же, что и для рассмотренной здесь декартовой системы координат.

6

Векторы a и b , расположенные на одной прямой или на парал-

лельных прямых, называются коллинеарными векторами. Компланар-

ными называются векторы, лежащие в одной или параллельные одной и той же плоскости. Для сравнения векторов вводят понятие их равенства. Заметим также, что сравнивать можно лишь векторы, имеющие одинаковый физический смысл.

Два вектора a и b называются равными векторами a b , если:

1) они коллинеарные; 2) направлены в одну и ту же сторону; 3) равны по абсолютной величине.

Сложение в векторной алгебре означает алгебраическое сложение

компонент векторов:

C A B x0 ( Ax Bx ) y0 ( Ay By ) z0 ( Az Bz ) .

Результатом сложения векторов является вектор. Аналогично можно ввести понятие сложения произвольного числа векторов. Геометрическая интерпретация сложения векторов – в результате суммирования получаем вектор, который замыкает многоугольник, построенный из векторов, участвующих в векторном сложении.

Умножение вектора A на число (скаляр) b есть вектор, определя-

емый как

B b A b Ax x0 b Ay y0 b Az z0 .

В результате умножения вектора на скаляр изменяется модуль (длина) вектора. При b 0 направление вектора не меняется. В противном случае оно меняется на противоположное.

Скалярное произведение векторов A и B определяется как

A B A, B A B cos( ) Ax Bx Ay By Az Bz ,

где – угол между векторами A и B . Знаком тождества объединены два равнозначных обозначения скалярного произведения.

Результат вычисления скалярного произведения – число (скаляр), представляющее собой проекцию одного вектора на другой. В результате вычисления скалярного произведения может получиться ноль, даже при не равных нулю исходных векторах. Это говорит о том, что

векторы A и B ортогональны друг другу, т. е. направлены под прямым углом.

7

Векторное произведение векторов A и B :

векторов: если смотреть вдоль v0 , то кратчайшее угловое расстояние

между векторами A и B будет соответствовать движению от A к B по часовой стрелке. Указанное правило определения правой тройки векторов также называют правилом буравчика. Удобно записывать векторное произведение в виде следующего определителя:

x0 ( Ay Bz Az By ) y0 ( Az Bx Ax Bz ) z0 ( Ax By Ay Bx ).

Векторное произведение некоммутативно, т. е. сомножители нельзя переставлять местами.

Математическое понятие поля. Скалярное поле и градиент

Полем называют пространство (бесконечное или только область), в каждой точке которого задано значение некоей величины. Различают скалярные и векторные поля. В случае скалярного поля говорят о распределении скалярной величины, в случае векторного – векторной.

В качестве примера скалярного поля можно рассмотреть плотность вещества, распределенную в пространстве. Тогда такое поле может

быть задано в виде (x, y, z) , определяющем зависимость плотности

вещества от декартовых координат в пространстве. В общем случае в скалярном поле возможно выделить геометрические места точек, в

которых функция (x, y, z) принимает те или иные постоянные

значения – области с разной величиной плотности вещества. Соединив эти точки, можно получить так называемые поверхности равного уровня. Каждая из поверхностей равного уровня описывается уравне-

8

нием (x, y, z) Ci , где Ci – константа, своя для каждой поверхности

равного уровня. Пример сечения поверхностей уровня плоскостью рисунка приведен на рис. 1.1. Применительно к радиофизике в качестве примера скалярной величины может выступать объемная плотность заряда – количество заряда, приходящееся на единицу объема.

Рис. 1.1. Пример отображения скалярного поля с использованием сечения поверхностей равного уровня

Рассмотрим две близкие поверхности уровня и выделим малую область поля, в которой участки этих поверхностей практически не отличимы от параллельных плоскостей. Разность значений функции(x, y, z) , принимаемых ею на выделенных поверхностях уровня,

равна . Изобразим сечение этих малых областей плоскостью ри-

сунка (рис. 1.2). Очевидно, что в этом случае линии уровня будут представлять собой две параллельные прямые. На этом же рисунке построим два вектора: нормаль n к поверхностям и некоторый произ-

вольный вектор l . Можно посчитать отношения n и l . Поскольку

из геометрии известно, что нормаль определяет кратчайшее расстояние между двумя поверхностями, очевидно, что для любого выбранного

направления вектора l всегда будет выполняться неравенство

.n l

9

n

l

M (x, y, z)

Рис. 1.2. К пояснению понятия градиента

Предельная форма этого соотношения, возникающая при бесконечном сближении поверхностей уровня, представляет собой сравнение частных производных:

.n l

Следовательно, среди всех возможных производных функции

(x, y, z) по всем возможным направлениям производная по нормали

кповерхности уровня является максимальной. Вектор, направленный в сторону наибольшего изменения (x, y, z) и равный по абсолютному

значению его скорости, называется градиентом и обозначается grad (x, y, z) grad( ) .

Можно записать:

grad ( ) n n .

Переходя в декартову систему координат, необходимо сначала рассмотреть проекцию этого вектора на каждый из ортов – оси координат. Несложно получить для декартовой системы координат:

grad ( ) x0 y0 z0 .

x y z

10