Радиофизика. Учебно-методическое пособие
.pdf
E(z, t) |
/ 2 |
|
t1 |
2Em |
t2 |
|
|
|
z |
|
t3 |
|
t4 |
|
/ 2 |
Рис. 1.11. «Мгновенные снимки» для стоячей волны
В этой записи амплитуда волны представлена в виде Em (z) , что
говорит о ее зависимости от продольной координаты z . С точки зрения физически реализуемых процессов, в этом случае имеет смысл говорить о затухающей волне с амплитудой, уменьшающейся экспоненциально по мере распространения волны:
Em (z) Em (0) e k z .
Параметр k называется коэффициентом затухания и часто также обозначается символом , он показывает, во сколько раз изменится
амплитуда волны при прохождении ею расстояния в один метр. Два «мгновенных снимка» затухающей волны для моментов времени t 0
и t приведены на рис. 1.12.
Формально к выражению, определяющему плоскую однородную затухающую волну, нетрудно прийти, решая уравнение Гельмгольца
при комплексном волновом числе: |
k k ik i , где |
k |
2 |
– |
|
|
|
|
|
действительная часть волнового числа, также называемая коэффици-
ентом фазы, показывающим на сколько изменится фаза волны при прохождении ею расстояния в один метр.
31
E(z, t) |
t 0 |
|
|
|
t |
|
z |
Рис. 1.12. «Мгновенные снимки» для затухающей волны |
|
Другой путь получения выражения для плоской однородной затухающей волны заключается в использовании комплексных амплитуд. При этом выражение, описывающее волновой процесс, распространя-
ющийся вдоль координаты z , примет вид
E(z, t) Re Em ei t e ikz ei Re Em ei t e ikz .
Комплексная экспонента ei t характеризует изменение полной фа-
зы с течением времени, а комплексная экспонента e ikz – координат-
ную зависимость фазы.
Подставив вместо волнового числа его комплексное представление, несложно получить
E(z, t) Re E |
|
ei t |
|
|
Re E |
|
|
|
|||||
m |
e ikz |
m |
ei t e ik z e k z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i t |
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
k z |
|
|
e |
ik z |
k z |
|
). |
|||||
|
Re Em e |
|
|
|
|
Em cos( t k z |
|||||||
Плоской не однородной является волна, определяемая выражением |
|||||||||||||
|
|
E(x, y, z, t) Em (x, y)cos( t kz ) . |
|
||||||||||
Амплитуда |
такой |
волны |
|
зависит |
от |
поперечных |
координат. |
||||||
В принципе, амплитуда может зависеть и от продольной координаты. Тогда вместо Em (x, y) следует записать Em (x, y, z) .
32
Волновой процесс, описываемый выражением
E(x, y, z, t) Em (x, y, z)cos t (x, y, z) ,
является не плоской и не однородной волной. Ее фронт, т. е. поверх-
ность постоянной фазы в фиксированный момент времени, определяется уравнением (x, y, z) const .
Например, можно записать (r) kr 0 , где r – радиальная коор-
дината сферической системы координат. При этом kr const – урав-
нение сферической поверхности (и поэтому такую волну называют сферической). Если же r – радиальная координата в цилиндрической системе координат, то фронт волны – цилиндрическая поверхность (и ее называют цилиндрической волной).
Рассмотрим пример однородной сферической волны. Это гармоническая волна, для которой на поверхности сферического фазового фронта амплитуда постоянна:
E(r, t) Em (r)cos( t kr 0 ) .
Волна такого типа является частным решением уравнения Гельмгольца в сферических координатах. Такая волна возникает при действии точечного источника в однородной изотропной среде и называется расходящейся: при распространении волны ее сферический фронт расширяется (рис. 1.13). Любой участок фронта на достаточно больших расстояниях от источника близок к плоскому – радиус сферы становится большим, а ее кривизна незначительна. В этом случае такая волна локально (в небольшой окрестности вокруг точки наблюдения) может рассматриваться как плоская однородная.
const |
Фазовый фронт, |
|
|
|
плоский в |
|
окрестности точки |
наблюдения... .
z
Сферический фазовый Точка наблюдения
фронт
Рис. 1.13. Преобразование сферического фронта волны
33
2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ РГЗ
Часть 1
№ |
|
|
B , |
|
|
|
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
если |
напряженность |
электрического |
поля |
|||||||||
|
|
|
t |
z0 sin(x)cos(z) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
Построить |
в |
декартовой |
||||||||||
E x0 cos(x)sin(z) |
|||||||||||||||
|
системе |
координат |
силовые |
линии |
B |
и |
E . |
0 x 2 , |
|||||||
|
0 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определить |
jсм |
t |
( 0 ), |
если напряженность магнитного |
||||||||||
2 |
|
x0 cos(x)sin( у) y0 sin(x)cos( у) . В декартовой системе |
|||||||||||||
поля H |
|||||||||||||||
|
координат |
построить |
силовые |
линии |
|
H |
и |
jсм . |
0 x 3 , |
||||||
|
0 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
j |
D |
|
|
напряженность |
магнитного |
||||||||
|
|
0 , если |
|||||||||||||
|
|
|
пр |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
поля H y0 sin( y)sin(z) z0 cos( y)cos(z) . В декартовой системе |
||||||||||||||
|
координат |
построить |
силовые |
линии |
|
jпр |
и |
H |
. 0 y , |
||||||
|
0 z 3 |
B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
если |
напряженность |
электрического |
поля |
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E x0 cos( y)sin(z) . В декартовой системе координат построить |
|||||||||||||||
|
силовые линии E |
и |
B . |
0 y 3 , |
0 z 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
№ |
|
|
|
D |
|
Задача |
|
|
|
|
|
|||||
|
Определить |
|
|
( 0) , |
если напряженность магнитного |
|||||||||||
|
jсм |
t |
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поля H x0 cos( y)cos(z) . В декартовой системе координат по- |
||||||||||||||||
|
строить силовые линии H |
и |
jсм . 0 y 2 , |
0 z 3 |
|
|||||||||||
|
Определить |
B |
, если создаваемая напряженность электрическо- |
|||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
го поля E y0 cos(x)sin(z) . В декартовой системе координат по- |
|||||||||||||||
|
строить силовые линии |
B |
|
. 0 x 2 , |
|
0 z 3 |
|
|||||||||
|
t |
и |
E |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H y0 cos( y)sin(z) |
|||
|
Напряженность |
|
|
магнитного |
|
поля |
|
|||||||||
7 |
z0 sin( y)cos(z) |
возбуждается плотностью полного тока |
jполн. |
|||||||||||||
Определить |
j |
|
. В декартовой системе координат построить |
|||||||||||||
|
|
полн |
|
|
и H |
|
|
|
|
0 z 3 |
|
|||||
|
силовые линии |
j |
|
|
. 0 y 3 , |
|
||||||||||
|
|
|
полн |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По напряженности магнитного |
поля |
y0 sin(x)sin(z) |
найти |
||||||||||||
8 |
плотность полного тока jполн. В декартовой системе координат |
|||||||||||||||
|
построить силовые линии H |
и |
jполн. 0 x 3 , 0 z 2 |
|
||||||||||||
|
По напряженности |
|
электрического |
поля |
E x0 cos(x)sin( y) |
|||||||||||
9 |
y0 sin(x)cos( y) |
определить |
B . В декартовой системе коорди- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
нат построить силовые линии |
и |
B |
. 0 x 3 , 0 y 3 |
||||||||||||
|
t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
плотность |
тока |
смещения |
jсм |
( 0 ), если на- |
||||||||||
|
пряженность |
|
магнитного |
|
поля |
|
H |
x0 cos( x)sin( z) |
||||||||
10. |
z0 sin( x)cos( z) ; |
const . В декартовой системе координат |
||||||||||||||
|
построить силовые линии |
j |
и H . 0 x 4 , 0 z 7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
№ |
|
|
D , |
|
|
|
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
если |
|
напряженность |
магнитного |
|
поля |
||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
H y0 cos(nx)sin(nz) ; n const, если |
0 . Построить в де- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
H . |
||
|
картовой |
системе |
координат |
силовые |
|
линии |
|
|
и |
||||||||||
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||
|
0 nx 5 , 0 nz 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определить |
B , если |
напряженность |
электрического |
поля |
||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
const . Построить в |
||||||||||
12 |
E x0 sin( x)cos( z) z0 cos( x)sin( z) ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
E . |
|||
|
декартовой |
|
системе |
координат |
силовые |
|
линии |
|
и |
||||||||||
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||
|
0 x 3 , 0 z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определить |
B , если |
напряженность |
электрического |
поля |
||||||||||||||
|
|
|
t |
y0 sin(mx)cos(my) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m – |
постоянная. По- |
|||||||||||||||
13 |
E x0 cos(mx)sin(my) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
и E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
строить силовые линии |
в декартовой системе коорди- |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
нат. 0 mx 2 , 0 my 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Определить плотность тока смещения |
jсм , |
если напряженность |
||||||||||||||||
14 |
магнитного поля H z0 cos( x)cos( y) . В декартовой системе |
||||||||||||||||||
координат |
построить |
силовые линии |
jсм |
и |
H . |
|
0 x 2 , |
||||||||||||
|
0 y 4 , – постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Найти |
плотность |
|
|
полного |
тока |
|
jполн, |
|
если |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jполн и |
|
|||||
15 |
H x0H0 cos( y)sin( z) . Построить силовые линии |
H в |
|||||||||||||||||
декартовой |
|
системе |
координат. |
H0 |
и |
|
|
– |
постоянные, |
||||||||||
|
0 y 3 , 0 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
№ |
|
|
B |
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Определить |
по |
|
напряженности |
электрического |
поля |
||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
E x0 cos(ky)cos(kz) . Построить в декартовой системе коорди- |
|||||||||||||||||||
|
нат силовые |
линии |
|
B |
и E . |
k |
|
– |
|
постоянная, |
0 ky 5 , |
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 kz 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определить плотность полного тока |
jполн, если напряженность |
||||||||||||||||||
17 |
магнитного |
|
поля |
|
|
H |
x0 sin(mx)sin(mz) z0 cos(mx)cos(mz) . |
|||||||||||||
В декартовой системе координат построить силовые линии |
j |
|||||||||||||||||||
|
и H . m const , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полн |
|||
|
0 mx 3 , 0 mz 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
B |
, если |
|
с |
|
|
ним |
связано |
электрическое |
поле |
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
E z0 sin(x)sin( y) . В декартовой системе координат построить |
|||||||||||||||||||
|
силовые линии |
B |
и |
|
|
|
|
|
|
|
0 y 2 |
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
E . 0 x 4 , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
плотность |
тока смещения |
jсм |
jпров 0 , |
если |
||||||||||||||
19 |
напряженность магнитного поля H |
z0 sin(kx)sin(ky) ; k const . |
||||||||||||||||||
В декартовой системе координат построить силовые линии |
jсм |
|||||||||||||||||||
|
и H . 0 kx 4 , 0 ky 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Определить |
B , |
если |
|
|
напряженность |
электрического |
поля |
||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
m const . |
В |
декартовой |
системе |
ко- |
||||||||
20 |
E z0 sin(mx)cos(my) ; |
|||||||||||||||||||
|
ординат |
построить |
|
силовые линии |
|
B |
и |
E . |
0 mx 2 , |
|||||||||||
|
|
|
t |
|||||||||||||||||
|
0 my 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Часть 2
№ |
Задача |
С помощью формулы для лоренцевой силы и уравнения Максвелла найти силу взаимодействия на единицу длины двух парал-
1лельных проводов (расстояние между ними d 7 см), токи которых текут в одном направлении ( I1 3 А, I2 4 А). Решение сопроводить рисунком
Точечный заряд q 1 Кл расположен в вакууме на расстоянии
210 м над идеально проводящей плоскостью. Найти поверхностную плотность заряда, индуцированного на плоскости в точке под зарядом. Решение сопроводить рисунком
Показать с помощью формулы для лоренцевой силы, что закон Кулона можно считать следствием третьего уравнения Максвел-
3ла (теорема Гаусса), на примере двух зарядов q1 и q2 при расстоянии между ними r . Решение сопроводить рисунком Определить магнитную индукцию B на оси тонкого проволочно-
4го кольца радиусом R 10 см в точке, расположенной на расстоянии d 25 см от центра кольца, если сила тока I, текущего по кольцу, равна 10 А. Решение сопроводить рисунком Имеется плоская граница раздела двух сред, обладающих отно-
сительными диэлектрическими проницаемостями 1 1 и10 . Силовые линии электрического поля в первой среде об-
5разуют угол 1 10 с направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля во второй среде, когда на границе раздела отсутствуют свободные заряды Вычислить вектор Пойнтинга и поток мощности через сфе-2
|
рическую поверхность (R 4 м), если |
|
|
374 |
sin( ) , |
|||
6 |
E |
0 |
r |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
sin( ) . Решение сопроводить рисунком |
|
|
|
||||
|
H |
0 |
r |
|
|
|
||
С помощью формулы для лоренцевой силы и уравнений Максвелла найти силу взаимодействия на единицу длины двух парал-
7лельных проводов (расстояние между ними d 10 см), токи которых текут в разных направлениях ( I1 2 А, I2 5 А). Решение сопроводить рисунком
38
№ |
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
|
||
|
Найти нормальную составляющую |
П на поверхности медной |
|||||||||
8 |
полосы с сечением (10 0,1) см |
( 5,7 107 |
См/м) при силе |
||||||||
|
тока I 1 А. Решение сопроводить рисунком |
|
|
||||||||
|
По цилиндрическому проводнику ( R 1 см, 5,8 107 См/м) |
||||||||||
9 |
протекает постоянный ток с плотностью |
j 0,1 А/м2. Провод- |
|||||||||
ник расположен над идеально проводящей плоскостью на рас- |
|||||||||||
|
стоянии h 2 |
м. Определить jS |
(плотность поверхностного то- |
||||||||
|
ка) на этой плоскости. Решение сопроводить рисунком |
||||||||||
|
По медному |
цилиндрическому |
проводнику |
с |
параметрами |
||||||
10 |
(R 0,5 см, 5,7 107 |
См/м) протекает постоянный ток, со- |
|||||||||
здающий перпендикулярно боковой поверхности П 10 Вт/м2. |
|||||||||||
|
Определить ток в проводнике и поток мощности через боковую |
||||||||||
|
поверхность на длине 1 м. Решение сопроводить рисунком |
||||||||||
|
Найти поток мощности, проходящий через прямоугольный уча- |
||||||||||
|
сток плоскости, размеры которого 0 x a , 0 y b , а векторы |
||||||||||
11 |
E x0 4sin x |
sin |
y |
|
и H y0 sin x |
sin |
y |
. Построить |
|||
|
a |
|
b |
|
x a |
|
a |
|
b |
|
|
|
зависимость Пz ( y) при |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить поток мощности через боковую поверхность цилин- |
||||||||||
12 |
дрического алюминиевого провода ( R 1 см, 3,54 107 См/м), |
||||||||||
по которому течет электрический ток I 10 А. Поток опреде- |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
лить на длине провода l 1 м. Решение сопроводить рисунком |
||||||||||
|
Определить напряженность магнитного поля H прямолинейно- |
||||||||||
13 |
го бесконечного провода ( R 5 см, |
I 2,5 А) и wм (объемную |
|||||||||
плотность магнитной энергии) для |
r R |
и |
r R . Построить |
||||||||
|
график wм(r) . Решение сопроводить рисунком |
|
|
||||||||
|
Определить потенциал в центре кольца с внутренним радиусом |
||||||||||
14 |
R1 30 см и внешним R2 60 см, если на нем равномерно рас- |
||||||||||
|
пределен заряд Q 5 нКл. Решение сопроводить рисунком. |
||||||||||
39
№ |
|
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти нормальную составляющую П на поверхности алюмини- |
||||
15 |
евой полосы ( 3,54 107 ) с сечением (8 0,2) см. По полосе |
||||
течет ток с плотностью j 2 А/см2. Решение сопроводить ри- |
|||||
|
|||||
|
сунком |
|
|
|
|
|
По круговому контуру радиуса R протекает ток I . Определить |
||||
16 |
напряженность магнитного поля, создаваемую им на оси конту- |
||||
ра. Построить зависимость H (z) , где z – координата, направ- |
|||||
|
ленная вдоль оси контура. Решение сопроводить рисунком |
||||
|
Найти энергию w и силу взаимодействия F точечного заряда q |
||||
17 |
с бесконечной проводящей плоскостью, расположенной от заря- |
||||
|
да на расстоянии h |
|
|
||
|
Бесконечный |
прямолинейный |
проводник |
(R 1,5 см, |
|
|
j z0 0,16 А/см2) расположен в вакууме. Определить напря- |
||||
18 |
женность магнитного поля H , создаваемого проводником, для |
||||
|
областей r R |
и r R . Построить зависимости H (r) . Решение |
|||
|
сопроводить рисунком |
|
|
||
|
В вакууме существует электромагнитное поле, гармонически |
||||
|
изменяющееся во времени. В некоторой точке пространства век- |
||||
19 |
тор E 130x cos(2 1010 t) . Определить плотность тока смеще- |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
ния в данной точке и напряженность магнитного поля. Записать |
||||
|
векторы найденных величин |
|
|
||
|
Напряженность электрического поля заряженной идеально про- |
||||
|
водящей металлической сферы (R 0,2 м), расположенной в |
||||
20 |
вакууме, на расстоянии 10 м от ее центра составляет 102 В/м. |
||||
|
Определить заряд сферы и энергию ее поля. Решение сопрово- |
||||
|
дить рисунком |
|
|
|
|
40