Радиофизика. Учебно-методическое пособие

Таким образом, из произвольного скалярного поля мы получили векторную функцию координат и имеем теперь векторное поле. Очень часто операцию вычисления градиента называют операцией преобразования скалярного поля в векторное.

Напомним, что в каждой точке пространства вектор этого векторного поля указывает направление наискорейшего изменения исходного скалярного поля и равен по своей величине скорости его изменения.

Векторное поле и силовые линии

Векторные поля удобно изображать при помощи так называемых силовых линий (также их называют векторными линиями). Это такие линии, которые в каждой точке указывают направление векторной функции своей касательной. При этом величина всех касательных векторов силовой линии одинакова вдоль всей линии. Довольно часто картины силовых линий стараются строить так, чтобы об интенсивности поля можно было судить по их густоте. Пример плоской картины силовых линий приведен на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Пример плоской картины силовых линий

Вернемся к векторному полю, полученному из скалярного с применением операции градиента. Обозначим это векторное поле, напри-

мер, F(x, y, z) F . Можно записать:

F grad ( ) .

11

Векторное поле F называется потенциальным, а – его потенциалом. Поверхности уровня, на которых const , являются, следо-

т. е. интеграл не зависит от пути, а определяется лишь значениями потенциала в начале и конце пути. Иными словами, каков бы ни был путь интегрирования, ведущий от А к В, значение интеграла останется равным разности потенциалов в этих точках.

Очевидно, что вычисление интеграла по замкнутому контуру даст

нуль:

Fdl grad ( )dl 0 .

L L

12

Подобный интеграл называется циркуляцией вектора F по замкнутому контуру L . Согласно полученному результату циркуляция градиента тождественно равна нулю.

Стоит отметить, что в случае, если векторное поле F не является потенциальным, циркуляция по замкнутому контуру не всегда будет

B

равна нулю. Более того, в этом случае вычисление интеграла Fdl

будет зависеть от выбора пути, т. е. контура интегрирования L . A Желая исследовать какое-либо векторное поле, мы можем выде-

лить определенный объем V и рассмотреть картину силовых линий в этом объеме.

На рис. 1.5 изображено несколько характерных типов расположения силовых линий, которые могут при этом встретиться. Пунктиром изображена граница S области V . Как видно, внутри объема может находиться источник силовых линий (рис. 1.5, а) – силовые линии выходят из объема V через границу S либо сток (рис. 1.5, б) – силовые линии заходят в объем V через границу S . Однако возможна ситуация, при которой силовые линии пронизывают объем V насквозь (рис. 1.5, в), либо не пересекают границу S вообще (рис. 1.5, г).

Рис. 1.5. Характерное расположение силовых линий

При анализе векторных полей, заданных векторными функциями, довольно часто возникает вопрос о характере поведения силовых линий в некотором объеме либо в окрестности некоторой точки. Очевидно решение этой задачи – графическое изображение векторного поля, однако такой процесс довольно трудоемок. Вместе с тем на данный

13

вопрос легко ответить аналитически, не прибегая к изображению силовых линий.

Введем понятие поток вектора. Потоком вектора F через поверхность S называется интеграл

Fds ,

S

где векторный дифференциал поверхности ds понимается как произведение обычного дифференциала поверхности ds и единичной нор-

мали n0 к поверхности. Обычно положительной считают внешнюю

нормаль. Ее легко определить для замкнутой поверхности S . Для незамкнутых поверхностей требуется оговаривать направление нормали

при вычислении потока вектора F через поверхность S . Таким образом, можно записать Fds Fn ds , где Fn – компонента вектора F ,

нормальная (перпендикулярная) к поверхности S .

Для замкнутой поверхности S поток вектора записывается как

Fds .

S

С учетом положительной внешней нормали поток вектора положителен, если все силовые линии векторного поля выходят через рассматриваемую поверхность наружу. В противном случае, если силовые линии входят внутрь поверхности S , поток векторного поля отрицателен.

С точки зрения физического смысла, поток вектора F через поверхность S является количественной мерой переноса величины, ха-

рактеризуемой векторным полем, через границу поверхности.

Теперь можно перейти к понятию расхождения или дивергенции вектора. Дивергенция, обозначаемая как div F , определяется пре-

дельным соотношением

Fds

div(F) lim S ,

V 0 V

где под S понимается замкнутая поверхность, ограничивающая объем V .

14

Предположим, что поток вектора F через поверхность S положителен, т. е. 0 . Он характеризует количество выходящих через S силовых линий. Поэтому если предельный переход производить «стягивая» (или сжимая) поверхность S вокруг некоторой точки P , из ко-

торой силовые линии исходят, то как бы ни уменьшался объем, поток через его границу останется равным . Это проиллюстрировано на рис. 1.6, а. В пределе, при V 0 получим

div F 0 в точке P .

Рис. 1.6. Иллюстрация предельного перехода при вычислении дивергенции

Если же в процессе «стягивания» S точка P окажется вне поверхности, начиная с этого момента, число силовых линий, входящих

в V , окажется равным числу силовых линий, выходящих из него (рис. 1.6, б). Следовательно, принимая предельный переход как «стягивание» поверхности S к любой из точек, не совпадающих с P , будем иметь

div F 0 вне точки P .

Очевидно, что если вместо поля с точечным источником мы рассмотрели бы поле с подобным же стоком, то расхождение везде было бы равно нулю, кроме одной точки, в которой оно имело бы отрицательное значение. В полях без источников и стоков расхождение

15

div F равно нулю во всех точках. Поля с нулевым расхождением

называются соленоидальными. Их силовые линии нигде не начинаются и не кончаются. Они или замкнуты, или уходят в бесконечность в случае, если векторное поле задано в неограниченном пространстве. При задании векторного поля лишь в пределах определенной области силовые линии могут заканчиваться на границе области.

Потенциальные поля, определяемые как grad ( ) , могут быть и со-

леноидальными. В этом случае дивергенция поля отлична от нуля почти всюду. Каждую точку некоторого объема необходимо рассматривать как источник или сток поля. Изображение подобных полей в виде картины силовых линий не всегда возможно.

От общего определения дивергенции как предельного перехода при

вычислении потока вектора F через поверхность S можно перейти к

дифференциальному выражению в декартовой системе координат. Для этого совместим с некоторой точкой пространства начало декартовой системы координат, как это показано на рис. 1.7. Построим на ортах системы координат элементарный (очень малый) прямоугольный па-

раллелепипед. Определим поток вектора F через поверхность этого параллелепипеда. Очевидно, что полный поток можно разбить на три

составляющих ( 1 2 3 ) , каждая из которых соответствует двум противоположным граням. Так, например, 1 – поток через

грань 1 и противоположную ей (невидимую на рисунке). Чем меньше грань, тем с бо´льшим основанием при вычислении потока можно заменять интеграл приближенным выражением

S F n S ,

где n – нормаль к грани прямоугольного параллелепипеда; S – пло-

щадь грани.

Учтем, что на противоположных гранях единичный вектор нормали имеет разные знаки (например, x0 и x0 для грани 1 и противопо-

ложной ей).

Тогда, просуммировав потоки вектора F через все грани, можно записать:

16

Рис. 1.7. К пояснению вычисления дивергенции векторного поля

Ротор. Для потенциальных полей циркуляция при однозначности

потенциала равна нулю. Однако в общем случае циркуляция вектора F по некоторому контуру L не обязательно равна нулю. Подобно потоку вектора, циркуляция может быть использована для локальной характе-

(граница) этой площадки, направление обхода которого при интегрировании составляет с нормалью правовинтовую систему (т. е. если смотреть вдоль нормали, то обход контура производится по часовой стрелке).

17

Как и дивергенцию, ротор вектора нетрудно представить в виде дифференциального выражения в декартовой системе координат. Поясним это рис. 1.8. В произвольной точке проведем три координатные линии и построим элементарные площадки, лежащие в координатных

плоскостях. Для нахождения проекции вектора rot F на ось x необ-

ходимо вычислить циркуляцию вектора по контуру первой площадки и перейти к пределу, согласно формальному определению ротора. Действия эти похожи на производившиеся при определении дивергенции.

В результате их выполнения получаем проекцию вектора rot F на ось x :

rot x F y Fz z Fy .

18

rot z F x Fy y Fx .

Эти равенства удобно объединять в форме определителя, вычисляя который, можнополучитьпроекции вектора rot F накоординатныеоси:

Поскольку для данного векторного поля F существование rot F

напрямую связано с наличием циркуляции, нетрудно показать, что потенциальные поля являются обязательно безвихревыми, т. е. для любого вектора, получаемого как результат вычисления градиента

F grad ( ) , будет rot F 0 . Это можно записать следующим образом:

rot grad ( ) 0 .

Для доказательства этого равенства достаточно рассмотреть какуюлибо его проекцию. Например, для проекции на ось x можно записать:

rot x grad (x, y, z) y2z (x, y, z) z2y (x, y, z) 0 .

Другой важный факт заключается в том, что расходимость вихревого поля тождественно равна нулю, т. е. такое векторное поле является соленоидальным:

div rot F 0 .

Это утверждение несложно доказать самостоятельно.

Оператор Гамильтона. В векторном анализе широко используется оператор Гамильтона, также называемый оператором набла:

x0 x y0 y z0 z .

19

Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной, так и над векторной функцией. По сути, оператор набла можно рассматривать как своеобразный вектор. Этот вектор можно умножить на скалярную величину (скалярное поле), скалярно перемножить с векторной величиной (векторным полем), а также векторно умножить на векторную величину (векторное поле). Рассмотрим перечисленные операции.

Умножение оператора набла на скалярное поле (напомним, что

(x, y, z) ):

x0 x y0 y z0 z grad( ) .

Умножение оператора набла на скалярное поле эквивалентно вычислению градиента скалярного поля.

Скалярное умножение оператора набла на векторное поле

F F(x, y, z) :

F x Fx y Fy z Fz div F .

Скалярное произведение оператора набла и векторного поля эквивалентно вычислению дивергенции векторного поля.

Векторное умножение оператора набла на векторное поле

F F(x, y, z) :

Векторное умножение оператора набла на векторное поле эквивалентно вычислению ротора этого векторного поля.

Оператор Гамильтона (набла) является, таким образом, весьма удобным средством представления операций векторного анализа. Зная его, а также «базу» векторного анализа (правила выполнения скалярного и векторного произведения), несложно получать выражения для определения градиента, дивергенции и ротора соответствующих

20