Радиофизика. Учебно-методическое пособие

полей. Однако, обращаясь с оператором набла формально, как с вектором, необходимо помнить правильный порядок записи математических

операций. Например, F имеет четкий смысл, в то время как запись F абсолютно бессмысленна, так как бессмысленна с точки зрения

математики запись Fx x .

В завершении раздела акцентируем внимание на применении основных операций векторного анализа. По сути, вычисление диверген-

ции векторного поля div F и определение потока векторного поля через поверхность Fds ставят перед собой одну общую задачу –

S

определить сходимость или расходимость силовых линий векторного поля и составить представление об их поведении. Различие заключается в том, что вычисление дивергенции является дифференциальной операцией и дает представление о структуре поля в малой окрестности точки – в пределе, непосредственно в самой точке. В то время как определение потока дает представление о поведении силовых линий в некоей области, точнее, о поведении силовых линий на границе этой области – поверхности S .

Аналогичные слова можно сказать и про две другие операции: ротор векторного поля rot F и циркуляция векторного поля по контуруFdl . Ротор – дифференциальная операция, характеризует поле в

L

точке. Циркуляция – интегральная, характеризует поле на некотором контуре (замкнутой линии).

Об этих аналогиях и вместе с тем различиях необходимо помнить и применять математические операции, подходящие именно для решаемой задачи.

1.2. Гармонические колебания и волны

Далее кратко рассмотрим теорию электромагнитных процессов, зависящих от времени. Такие процессы образуют область основных интересов радиофизики и электродинамики. Особый интерес представляют собой так называемые гармонические колебания, при которых происходит изменение во времени какой-либо величины по закону

21

cos ( t ) . Важность этого класса процессов определяется не только

их самостоятельным значением, но и тем фактом, что любая произвольная временная зависимость может быть представлена в виде суперпозиции гармонических колебаний разных частот. Поэтому ниже приводятся сведения о методе комплексных амплитуд, значительно упрощающем описание и анализ гармонически колеблющихся полей.

Гармонические колебания и метод комплексных амплитуд

Представление о гармонических колебаниях. Пусть некоторая величина E(t) изменяется во времени по закону

E(t) Em cos( t 0 ) .

Про такую величину говорят, что происходят гармонические коле-

(или полной) фазой колебаний.

Минимальный отрезок времени T , для которого выполняется равенство E(t T ) E(t) для любого времени t , называют периодом ко-

лебаний. Число периодов за единицу времени (одну секунду) называют частотой. Очевидно:

T2 1 .

f

Врадиофизике встречаются, например, скалярные функции координат и времени. Такие функции можно представить в следующем виде:

E(x, y, z, t) Em (x, y, z, t)cos t 0 (x, y, z, t) .

Они определяют гармонические колебания в пространстве с амплитудами и фазами, которые могут изменяться от одной точки пространства к другой.

Три такие скалярные функции можно представить в виде компонент вектора в какой-либо системе координат. Несложно записать выражение для такого вектора, например, в декартовой системе координат:

22

E(x, y, z, t) x0 Emx (x, y, z, t)cos t 0x (x, y, z, t)

y0 Emy (x, y, z, t)cos t 0 y (x, y, z, t)

z0 Emz (x, y, z,t)cos t 0z (x, y, z,t) ,

где Emx , Emy , Emz – амплитуды колебаний проекций векторной функции E на орты x0 , y0 и z0 соответственно; 0x , 0 y , 0z –

начальные фазы колебаний компонент векторной функции E . Если0x 0 y 0z , говорят, что все компоненты вектора колеблются в

одной фазе.

На основании известной формулы Эйлера функцию E(t) можно представить как вещественную часть комплексной функции:

E(t) Re E(t) , где E(t) Em ei( t 0 ) .

Часто такие выражения записывают в виде

E(t) Re Em ei t ,

где Em Emei 0 – комплексная амплитуда колебаний.

При использовании такой формы записи мы получаем произведение функции, зависящей от координат Em Emei 0 и функции, зави-

сящей от времени (ei t ) . Этот подход зачастую позволяет существен-

но упростить решение уравнений и анализ получившегося результата. С использованием понятия комплексных амплитуд можно записать

векторную функцию

E(t) Re E(t) Re Em ei t ,

где комплексный вектор Em представляет собой набор из трех комплексных амплитуд по каждой из координат:

Em x0Emx y0Emy z0Emz .

23

Не стоит забывать, что каждая из компонент комплексного вектора и весь вектор в целом являются функциями пространственных коорди-

нат: Em Em (x, y, z) . Таким образом, комплексная амплитуда несет

информацию о координатной зависимости амплитуды колебаний (также ее часто называют действительной амплитудой) и начальной фазы колебаний.

Преимущество такого подхода заключается в исключении временной зависимости. Операции дифференцирования и интегрирования по времени производятся только над частью, зависящей от времени,

т. е. ei t . Известно, что подобные операции над комплексной экспонентой сводятся к умножению и делению на i соответственно. В то же время вычисление пространственных производных или интегралов

производится лишь над комплексной амплитудой, так как ei t от координат не зависит.

Плоская однородная волна. Пусть имеется некоторый физический процесс, распространяющийся прямолинейно в направлении z0 с

постоянной скоростью v . В простейшем случае это означает, что если где-либо было отмечено некое состояние этого процесса, характеризу-

емое величиной A , то через время vl это состояние окажется сме-

щенным вдоль оси z на величину l . Положим, что в начале координат (z 0) состояние изменяется во времени по закону E E(t) . Тогда в

Это поясняется рис. 1.9, на котором изображена некоторая кривая, описывающая процесс при z 0 . И временная зависимость процесса в

некоторой точке с координатой z l , отстоящей во времени на интер-

вал vl .

Будем считать, что выражение определяет функцию во всем пространстве (т. е. по осям x0 и y0 никаких изменений не происходит).

Тогда такой процесс можно назвать плоской однородной волной. Дело

24

в том, что, положив z const , мы получим плоскость, в которой мгновенное значение функции u постоянно. Эта плоскость будет являться фронтом волны.

E(z 0,t)

E

Рис. 1.9. Иллюстрация распространения некоего физического процесса вдоль оси z

Также ясно, что выражение

тоже определяет плоскую однородную волну, отличающуюся от рассмотренной тем, что она распространяется в противоположную сторону.

Рассмотрим функцию E(z, t) , изменяющуюся по гармоническому закону. В начале координат (z 0) такая функция будет иметь вид

E(z 0,t) Em cos( t ) .

Для произвольной координаты z несложно получить запись, определяющую плоскую однородную волну:

25

где k v – волновое число.

Как видно, полная фаза гармонических колебаний t kz при фиксированном времени (t const) убывает пропорционально координате z . Значения функции E(z, t) при этом периодически повторя-

ются. Пространственный период называют длиной волны и обозначают . Очевидно, что для пространственного периода (длины волны) для любой координаты z должно выполняться равенство

E(z ,t) E(z, t) .

Это равенство будет выполняться, если k 2 . Тогда волновое число

k2 . v

Вводят понятие фазовой скорости – скорости перемещения фазового фронта:

v f 2 .

На рис. 1.10 приведено наглядное представление о гармонической волне. На рисунке изображено два «мгновенных снимка»: распределе-

ние величины E вдоль оси z в начальный момент времени (t 0) и в

момент времени t . На рисунке видно, что это две косинусоиды, различающиеся начальной фазой. Вторая косинусоида сдвинута в про-

странстве на величину l , которая является ни чем иным, как k v

расстоянием, пройденным волной за время .

«Мгновенный снимок», соответствующий моменту , дает, таким образом, сдвижку процесса по оси z на расстояние l . Подытожив,

можно сказать, что распространение рассматриваемой гармонической волны – это движение (смещение) распределения E вдоль направления оси z с постоянной скоростью v .

26

Рис. 1.10. «Мгновенные снимки» бегущей волны

К тем же результатам можно прийти путем решения волновых уравнений Гельмгольца. Выражения, определяющие плоскую однородную волну, являются одним из его частных решений.

Уравнение

называют однородным уравнением Гельмгольца. В уравнении k – постоянная, роль которой зависит от области применения уравнения; u u(x, y, z) – некая функция пространственных координат.

Проанализируем однородное уравнение Гельмгольца. Предположим, что u u(z) , т. е. не зависит от координат x и y . В этом случае

однородное уравнение Гельмгольца переходит в обыкновенное диф-

2u k2u 0 .z2

27

Из курса математического анализа известно, что общее решение этого дифференциального уравнения представляет собой одну из двух форм

где A , B , P , Q – некоторые константы. Преобразовав вторую форму

записи решения с использованием формулы Эйлера, несложно прийти к первой (и наоборот).

Известно, что для получения конкретного решения дифференциального уравнения необходимо ввести граничные условия. Будем искать решения однородного уравнения Гельмгольца на интервале

0 z a . Для этого интервала представим граничные условия в виде

С учетом первого граничного условия в (1.2) необходимо положить A 0 , а для второго ka n ( n 1, 2, 3...). Тогда можно сказать, что

поставленная граничная задача имеет следующее множество решений: un (z) Bsin(kn z) , kn na , где n 1, 2, 3...

Каждое из этих решений реализуется при вполне определенном значении постоянной k . Говорят, что решения un (z) образуют систе-

му собственных функций решаемой задачи, а kn – соответствующими

им собственными значениями (или собственными числами).

Записав в однородном уравнении Гельмгольца (1.1) справа вместо нуля заданную функцию, можно получить неоднородное уравнение Гельмгольца

2u k2u f .

Физически решения однородного и неоднородного уравнений Гельмгольца различаются следующим образом. Однородное уравнение описывает «свободные» (совершаемые без внешних воздействий) колебания различных систем. В то время как неоднородное уравнение

28

описывает колебания «вынужденные», т. е. совершаемые под действием некоторой внешней силы ( f ) . Эта сила называется «вынуждающей

силой».

Однородное уравнение Гельмгольца используется для анализа полей в областях, в которых отсутствуют внешние источники поля.

Таким образом, уравнение Гельмгольца может быть использовано для нахождения некоего поля (точнее, системы полей, каждое из которых определяется собственной функцией), колеблющегося в пространстве при наложении некоторых граничных условий. Под граничными условиями при этом, по сути, можно понимать задание значения этого поля в какой-либо одной или нескольких точках. Обычно эти точки выбираются на границе анализируемой области, что и определяет название условий. Граничные условия определяются физическими особенностями исследуемой величины u u(x, y, z) .

В случае если искомая функция может быть представлена в виде u u(x, y, z, t) , т. е. зависит от координат и времени, она является

неким волновым процессом. При этом уравнение Гельмгольца переходит в так называемое волновое уравнение, или уравнение Даламбера. Также его довольно часто называют волновой формой записи уравнения Гельмгольца. Оно может быть однородным:

При анализе векторных физических величин уравнения Гельмгольца или Даламбера составляются для каждой из проекций (компонент поля) рассматриваемой величины. Также к каждой из проекций записываются соответствующие граничные условия. При этом для некоторых компонент поля вынуждающая сила может присутствовать (необходимо составлять неоднородные уравнения), а для других – отсутствовать (можно использовать однородные уравнения).

29

Взаключение к краткому описанию уравнений Гельмгольца и Даламбера можно добавить лишь следующее. Уравнения являются очень важными и значимыми при изучении волновых процессов любой природы (механических, электрических, колебаний воздуха, воды и т. д.). Например, изначально уравнение Даламбера было получено для описаний механических колебаний мембраны. Данные уравнения выражают общие физические принципы и закономерности. Приложение же этих уравнений к каждому конкретному случаю (наложение граничных условий) ограничивает общность этих уравнений и применяет их к конкретным физическим процессам и явлениям.

Вкачестве другого частного решения уравнения Гельмгольца можно получить суперпозицию бегущих навстречу волн с одинаковыми амплитудами и начальными фазами. При этом

E(z, t) 2Em cos(kz)cos( t ) .

Процесс, описываемый приведенным уравнением, называется стоячей волной. Его отличительной особенностью является так называемая пространственная синфазность колебаний. Это означает, что полная

фаза t зависит только от времени и постоянна для всех координат

z . В зависимости от координаты z изменяется амплитуда гармонических колебаний EM (z) 2Em cos(kz) . Важно отметить, что, строго го-

воря, колебания синфазны в каждой области пространства, в которой знак EM (z) постоянен. При смене знака EM (z) имеет место скачок

фазы на 180 .

Ряд «мгновенных снимков» процесса для разных моментов времени приводит к картине, изображенной на рис. 1.11. Распределение вдоль оси z не движется, а испытывает синфазные гармонические колебания. При этом расстояние между соседними нулями (узлами) и

максимумами (пучностями) распределения неизменны и равны 2 .

Волны затухающие, не однородные и не плоские. Гармоническая волна называется однородной потому, что ее амплитуда не зависит от поперечных координат и плоской – так как для любого фиксированного момента времени поверхность постоянной фазы (фазовый фронт волны) является плоскостью. Плоской однородной будет и волна, определяемая выражением

E(z, t) Em (z)cos( t kz) .

30