Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
31
U(t)
u
АМ
(t)
t
U(t)
а)
б)
t0
0
Рисунок 3.1 – Формирование АМ-сигнала: а) модулирующий сигнал,
б) АМ-сигнал
Задача создания амплитудно-модулированных (АМ) колебаний формулируется
следующим образом: имеется высокочастотное колебание (созданное
генератором)
uг (t) = Uг cosω0 t
и «медленно меняющееся» колебание Ω << ω
uΩ (t) = U0 +kS(t) (3.1)
требуется получить колебание с переменной амплитудой
uАМ (t) = [Uω + bS(t)]cosω0 t (3.2)
В выражениях (3.1) и (3.2) k и b – коэффициенты пропорциональности, S(t) –
сигнал, который содержит информацию.
Простейшим модулирующим сигналом служит гармоническое колебание (так
называемая модуляция одним тоном):
S(t) = UΩ cosΩt (3.3)
Подставляя (3.3) в (3.2), получаем:
UАМ (t) = (Uω + bUΩ cosΩt)cosω0 t (3.4)
Отношение максимального изменения амплитуды модулированного
высокочастотного сигнала к амплитуде немодулированного колебания (рисунок
3.2) называется коэффициентом модуляции, или глубиной модуляции, и
обозначается символом [7]:
m =
U
U
(3.5)
32
ΔU
U
ω
uАМ(t)
t
Рисунок 3.2 – Эпюры напряжения АМ-сигнала при модуляции одним
тоном
С учетом обозначения (3.5) выражение для АМ-колебания записывается
обычно в виде:
0
( ) (1 cos )cos
АМ
u t U m t t
= +
(3.6)
Коэффициент модуляции m в общем случае является функцией времени и
может изменяться в пределах 0< m <1.
Модулированное колебание даже при модуляции простейшим
гармоническим сигналом является сложным и представляет собой ряд
элементарных гармонических колебаний. Найдем его спектр, раскрыв скобки в
выражении (3.6):
0 0 0
( ) cos cos( ) cos( )
22
АМ
mm
u t U t U t U t
= + − + +
Соответствующая спектрограмма изображена на рисунке 3.3. Частота ω
называется несущей, а частоты
0
– боковыми частотами модулирующего
колебания.
0
а)
ω ω
ω0 ω
0
Ω
б)
ω
0
- Ω
ω0 +Ω
U
ω
mU
ω
/2
mU
ω
/2
Рисунок 3.3 – Спектры колебаний до модуляции (а) и после модуляции (б)
При модуляции сложным сигналом, представляющим собой, например, сумму
гармонических составляющих, модулированное колебание записывается в виде:
33
1 1 2 2 3 3 0
( ) (1 cos cos cos ... cos )cos
АМ n n
u t U m t m t m t m t t
= + + + + +
Коэффициенты mj называются парциальными, или частичными,
коэффициентами модуляции. Для этих коэффициентов должно выполняться
неравенство:
1
j
j
m
.
Рассмотрим энергетические характеристики при модуляции одним
гармоническим сигналом. Усредним выражение (3.6) за период высокой частоты
ω, при этом учтем, что ω >> Ω, получим среднее значение мощности АМсигнала:
2 2 2
2
( ) (1 cos )
(1 cos )
22
ср
U t U m t
Р P m t
+
= = = +
При возведении в квадрат необходимо учитывать, что
2
11
cos cos2
22
=+
22
(1 2 cos cos2 )
22
ср
mm
Р P m t t
= + + +
(3.7)
где
2
2
U
P
=
- мощность колебания несущей частоты.
Как следует из выражения (3.7), мощность может меняться от 0, при Ωt=π и до
максимального выражения, равного
2
(1 )
макс
P P m
=+
при Ωt=0, 2π, если m≈1.
Таким образом, при стопроцентной модуляции (m=1) мощность может
изменяться в пределах
04
ср
PP
и передатчик должен развивать мощность,
вчетверо превышающую мощность Р
ω
на несущей частоте.
Среднее значение мощности Р
срΩ
за период низкой частоты, как следует из
выражения (3.7):
22
(1 )
22
ср
mm
Р P P P
= + = +
(3.8)
где
2
2
m
P
- мощность двух колебаний боковых частот.
Равенство (3.8) показывает, что при стопроцентной модуляции 66,6% всей
колебательной мощности передатчика затрачивается на передачу колебания
несущей частоты и только 33,3% мощности приходится на оба колебания
боковых частот.
3.2 Частотная модуляция
Частотной модуляцией называется такая модуляция, где мгновенная частота
гармонического сигнала изменяется по закону модулирующего сигнала.
Пусть высокочастотное колебание генератора представлено как:
00
cos( )
гг
u U t
=+
, (3.9)
34
где полная фаза колебаний ψ = ω0t + φ
0
линейно изменяется во времени.
Представим (3.9) как: u = Ucos[ψ(t)], где изменение фазы происходит в
результате модуляции мгновенной частоты сигналов S(t), то есть:
0
()kS t
=+
При модуляции моногармоническим сигналом
( ) cosS t U t
=
мгновенная частота:
0
coskU t
= +
Максимальное изменение частоты называется девиацией частоты и
обозначается как Δω:
kU
=
;
0
cos t
= +
. (3.10)
Так как частота есть скорость изменения фазы колебания, фаза находится
путем интегрирования (3.10). Таким образом, получаем:
00
( ) sint dt t t
= = + +
.
В последнем выражении φ0 – начальная фаза без потери общности, может
быть приравнена нулю.
Выражение для ЧМ при модуляции чистым тоном, таким образом, принимает
вид:
0
( ) cos sinu t U t t
= +
Здесь U – амплитуда немодулированного колебания; ω0 – несущая, а точнее,
центральная частота.
Максимальное отклонение фазы
называется индексом частотной
модуляции и обозначается символом М
ч
:
ч
М
=
Простейшее ЧМ-колебание, следовательно, записывается в виде:
( )
0
( ) cos sin
ч
u t U t Мt
= +
(3.11)
Рассмотрим спектральное представление ЧМ-сигнала. Перепишем
выражение (3.11), воспользовавшись равенством
cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β, в следующем виде:
( )
00
( ) cos sin cos( sin )cos
чч
u t U t М t U М t t
= + = −
0
sin( sin )sin
ч
U М t t
(3.12)
Пусть Мч<<1 . При этом имеют место следующие приближенные равенства
[8]:
Cos(M
ч
sinΩt) ≈ 1 и sin(Mч sinΩt) ≈ Mч sinΩt;
35
При подстановке в формулу (3.12) получаем:
00
( ) cos sin sin
ч
u t U t UM t t
= −
=
0 0 0
cos cos( ) cos( )
22
чч
UM UM
U t t t
− − + +
(3.13)
При малом индексе модуляции амплитудный спектр простейшего ЧМколебания практически не отличается от спектра простейшего АМ-колебания, то
есть при модуляции одним тоном спектр состоит из трех составляющих:
колебание несущей частоты и двух колебаний боковых частот.
Частотная модуляция при малых индексах модуляции обладает низкой
помехоустойчивостью и не применяется в радиотехнике. Наибольший интерес
вызывает частотная модуляция при больших индексах модуляции.
Выражение (3.12) можно представить как два АМ-колебания:
1 0 2 0
( ) cos sinu t U t U t
=−
,
где огибающие U1 (t) и U2 (t) равны:
1
( ) cos( sin )
ч
U t U M t=
и
2
( ) sin( sin )
ч
U t U M t=
Так как эти огибающие являются периодическими функциями (с периодом
(ТΩ = 2π/Ω), то для получения их спектра, по которому далее уже не составляет
труда найти спектр высокочастотного ЧМ-колебания, следовало
воспользоваться известными формулами для разложения в ряд Фурье
0
2
, ( )(cos,sin)
T
nn
A B U t n tdt
T
=
Опуская дальнейшие выкладки по расчету спектра и ссылаясь на [4],
получаем выражение для ЧМ-сигнала:
0 0 1 1
( ) ( )cos ( )cos( ) ( )cos( )
ч ч ч
u t UJ M t UJ M t UJ M t
= − − + +
22
( )cos( 2 ) ( )cos( 2 ) .....
чч
UJ M t UJ M t
− − + +
где J
n(Mч
) – функция Бесселя первого рода n-го порядка от аргумента М
ч
(рисунок 3.4).
36
–0,4
–0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
5 10 15 20
J
0
(x)
J
1
(x)
J
2
(x)
М
ч
J
n
(М
ч
)
Рисунок 3.4 – Функции Бесселя для различных индексов частотной модуляции
Таким образом, спектр ЧМ-колебания состоит из несущего колебания с
частотой ω
0
и амплитудой UJ0 (Mч ) и бесконечного ряда боковых колебаний, с
частотами (ω
0
±nΩ) и амплитудами UJn(Mч ).
Следует отметить, что, в отличие от амплитудной модуляции, здесь
амплитуда колебания несущей частоты UJ0(Mч) может быть сколько малой, и при
значении М
ч
=2,405, может равняться нулю. Амплитуды колебаний боковых
частот могут быть больше амплитуды колебания несущей частоты; с каждой
стороны несущей имеет место один максимум, как показано на рисунке 3.5.
а)
б)
ω ω
ω
0
ω
0
Рисунок 3.5 – Спектры ЧМ сигнала при а) M ч< 1, б) Мч > 1
При модуляции полигармоническим сигналом спектр оказывается более
сложным. Кроме составляющих (ω
0
±nΩ), появляются комбинационные
колебания с частотами (ω0±nΩ1 ±nΩ2 ±nΩ3 ±nΩ4…..). Амплитуды составляющих
определяются произведением функций Бесселя от индекса модуляции
модулирующих сигналов. Например, амплитуда составляющей с частотой
[ω0±(nΩ1 ±mΩ2)] равна UJn(Mч1)Jm(Mч2), где M
ч1
= Δω/Ω1, а Mч2= Δω/Ω2.
Спектр ЧМ-сигнала теоретически безграничен, но на практике его
ограничивают исходя из-за того, что меньше поступает помех на вход приемного
устройства, но при этом происходит искажение сигнала. Таким образом,
37
лавируют между двумя противоречиями. Нормы искажений устанавливаются
экспериментально в зависимости от назначения системы связи и свойств
получателя сообщения (человек, измерительная аппаратура и т.п.). Эти нормы
выражают через амплитуды боковых составляющих, начиная с которых можно
ограничивать спектр. Таким образом, под шириной спектра ЧМ-сигнала условно
понимают полосу частот, ограниченную боковыми составляющими, амплитуды
которых не превосходят А% от амплитуды максимальной составляющей U
макс.
Обычно А% принимают равным 10%, 5% или 1%.
Следовательно, формула для расчета полосы пропускания представится как:
Δω* = 2рΩ,
где р – порядок бесселевской функции, соответствующей последней боковой,
сохранившейся в спектре. Приближенно полосу частот ЧМ-сигнала вычисляют
как Δω* = 2Мчм Ω.
3.3 Фазовая модуляция
Представим несущее колебание (переносчика информации) как
высокочастотный сигнал с постоянной амплитудой U0 , частотой ω0 и начальной
фазой φ0:
U(t) = U0 cos(ω0 t+φ0).
При фазовой модуляции необходимо, чтобы по закону низкочастотного
колебания изменялась начальная фаза, т.е. нужно получить сигнал вида:
u(t) = U cos[(ω0t+φ(u
Ω
)]. (3.14)
Здесь φ(uΩ) должна быть линейной функцией напряжения uΩ.
Пусть модулирующий сигнал представляет собой одно гармоническое
колебание: тогда закон изменения фазового сдвига запишется как
φ(u
Ω
) = φ0 +kU
Ω
sinΩt (3.15)
где k – коэффициент пропорциональности, а φ0 – начальная фаза ВЧ-колебания.
Введем обозначение
kUΩ = Δφ, (3.16)
где Δφ – максимальное изменение фазы, вызванное низкочастотным
модулирующим сигналом. Максимальное изменение фазы называется индексом
модуляции и обозначается Мф: Мф = Δφ.
Подставляя (3.15) и (3.16) в (3.14), получаем выражение ФМ-колебания:
u(t) = U cos[(ω
0
t+ М
ф
sinΩt + φ0],
где φ0 – без потерь общности можно принять равной нулю.
Сравнивая выражения для ЧМ-сигнала
( )
0
( ) cos sin
ч
u t U t Мt
= +
38
и выражение для ФМ-сигнала
u(t) = U cos[(ω0 t+ Мф sinΩt ],
можно заметить, что они не отличаются друг от друга. Общность структуры
выражений объясняется сходством физической природы модулируемых
параметров: при фазовой модуляции изменяется фаза колебания, а при частотной
– скорость изменения фазы, т.е. её первая производная.
Однако между сигналами ЧМ и ФМ есть существенные различия.
Определим ширину спектра для ЧМ-сигнала как:
2 2 2 2
чм чм
М
= = =
И для ФМ-сигнала:
2 2 2
фм фм
М
= =
Сравнивая выражения для ЧМ- и ФМ-сигнала, видно, что при частотной
модуляции ширина спектра определяется только девиацией частоты и не зависит
от частоты модулирующего сигнала; при фазовой модуляции ширина спектра
зависит как от девиации фазы, так и от частоты модулирующего сигнала.
Следовательно, ширина спектра для ЧМ-сигнала при постоянной амплитуде
модулирующего сигнала остается постоянной, а при ФМ ширина спектра
изменяется и при изменении частоты модулирующего сигнала. Этот недостаток
ФМ не приемлем для системы связи.
3.4 Контрольные вопросы и задачи
3.4.1 Как определяется глубина модуляции по временной диаграмме АМ-
колебаний? Приведите примеры.
3.4.2 Определите глубину модуляции АМ-сигналов для модулированного
сигнала амплитудой 4 В при модулирующим сигнале амплитудой 2 В.
3.4.3 Построить спектр АМ-колебания для модулированного сигнала
cos
o
At
и модулирующих сигналов
1
1
cosAt
и
2
2
cosAt
, где
0 1 2
,
и сумма амплитуд модулирующих сигналов не противоречит
условию
1
j
j
m
.
3.4.4 Как по спектрограмме АМ-колебания определить, присутствует ли
перемодуляция АМ-колебания, представленного на рисунке 3.6.
39
S(ω)
0
ω
0
ω – Ω
1
ω – 2Ω
1
ω + Ω
1
ω + 2Ω
1
ω
10 В
4В
1 В
4 В
1 В
Рисунок 3.6 – Пример спектра АМ-колебания
3.4.5 АМ-колебание представлено выражением
1 2 3 0
( ) 10(1 0,1cos 0,4cos 0,5cos )cos
АМ
u t t t t t
= + + +
,
определить его спектральный состав.
3.4.6 Рассчитать среднюю мощность АМ-колебания, если мощность
несущего сигнала равна 10 Вт, а глубина модуляции равна 0,5.
3.4.7 Определить мощность АМ-колебания, промодулированного одним
тоном, если мощность несущего сигнала равна 100 Вт, а Ωt = 0, π/2, π, а глубина
модуляции равна 0,5.
3.4.8 Определить ширину спектра ЧМ-колебания, заданного выражением
S(t) = 10cos(105t + 5cos103t).
3.4.9 Построить спектр для ЧМ-колебания для сигнала
S(t) = 10cos(105t + 10cos103t).
3.4.10 Определить ширину спектра ЧМ-колебания, заданного выражением
S(t) = 10cos(105t + 0,5cos103t).
3.4.11 Дайте развернутый сравнительный анализ ЧМ- и ФМ-колебаний и
перспективы их использования в системе передачи информации.
3.4.12 Задано колебание S(t) = 10cos(105t + 12cos102t). Определить величину
девиации частоты.
40
4 Модулированные дискретные сигналы
4.1. Бинарные сигналы с дискретной модуляцией
Если сообщение может принимать ряд дискретных значений, то параметры
переносчика при модуляции изменяются скачком. Такое скачкообразное
изменение параметров называется дискретной модуляцией. На рисунке 4.1
представлены временные характеристики с дискретной амплитудной (ДАМ),
частотной (ДЧМ) и фазовой модуляцией (ДФМ) [10].
S(t)
t
τ
U
нес
(t)
U
ДАМ
(t)
U
ДЧМ
(t)
U
ДФМ
(t)
1
0
1
0 1
0
1
T
t
t
t
t
0
0
0
0
0
Рисунок 4.1 – Временные зависимости сигналов с дискретной
амплитудной, частотной и фазовой модуляцией со скважностью
2
T
q==
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]