Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие
.pdf
91
На рисунке 8.2 показана функция корреляции широкополосного сигнала типа
белого шума.
0
R(τ)
τ
1/2f
в
2/2f
в
-2/2f
в
-1/2f
в
τ0
Рисунок 8.2 – Функция корреляции белого шума, ограниченного частотой ωв
При данном виде графика функции корреляции (рисунок 8.2) за интервал
корреляции τ0 можно принять Δτ между двумя первыми нулями, а именно:
1
в
f
=
Из этого соотношения видно, что по мере сокращения полосы частот Δω = ωв,
интервал корреляции увеличивается. Таким образом, ограничение спектра
влечет за собой увеличение корреляции между мгновенными значениями
случайного процесса.
Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса для
равномерно распределенной спектральной плотности мощности по оси частот,
как показано на рисунке 8.3.
N
0
ω
н
ω
0
ω
в
0
ω
G(ω)
Рисунок 8.3 – Спектральная плотность мощности узкополосного случайного
процесса типа белого шума, ограниченного идеальным полосовым фильтром
Функция корреляции узкополосного случайного процесса с равномерной
спектральной плотностью мощности:
92
( )
0
1
( ) ( )cos sin sin
в
н
вн
N
R G d
= = − =
=
0
00
sin
2
cos 2 ( )cos
2
2
вн
N
PR
+
=
,
0
sin
2
()
2
R
=
,
0
2
вн
+
=
,
0
P N f=
На рисунке 8.4 показана корреляционная функция, построенная в соответствии
с приведенными выше выражениями.
B(τ)
τ
cosω
0
τ
R0(τ)
τ
0
τ
0k
Рисунок 8.4 – Функция корреляции узкополосного случайного процесса с
равномерной спектральной плотностью мощности
Для узкополосного случайного процесса характерен тот факт, что интервал
корреляции для него двоякий, для огибающей R0 (τ) и для заполнения вида
cos ω
0
τ. Таким образом, для огибающей τ
0
= 1/Δf и для заполнения τ0k =
(2k+1)/4f0.
93
8.3 Контрольные вопросы и задачи
8.3.1 Почему спектральная плотность случайного сигнала, определенная по
одной реализации, не характеризует весь ансамбль сигналов?
8.3.2 Дать определение теоремы Винера-Хинчина и пояснить на примере
связь спектральной плотности мощности с функцией корреляции случайного
процесса.
8.3.3 Показать, что значение спектральной плотности мощности на нулевой
частоте равно интегралу корреляционной функции.
8.3.4 Почему корреляционная функция случайного процесса не может иметь
прямоугольный характер?
8.3.5 Определить спектральную плотность мощности случайного процесса,
типа телеграфного сигнала, имеющего функцию корреляцию вида
( ) 1B
T
=−
, только для τ ≤ Т и B(τ) = 0 для τ > T.
8.3.6 Почему интервал корреляции служит для оценки скорости изменения
реализаций случайного процесса?
8.3.7 Определить функцию корреляции и интервал корреляции случайного
процесса, имеющего спектральную плотность мощности вида
2
1
()
9
G
=
+
.
8.3.8 Определить интервал корреляции широкополосного случайного
сигнала, имеющего равномерный спектр, ограниченного верхней частотой,
равной 10 МГц.
8.3.9 Определить среднюю мощность узкополосного случайного процесса,
имеющую ширину полосы сигнала, равную 100 МГц, и спектральную плотность
N = 1 mВт/Гц.
8.3.10 Определить интервал корреляции узкополосного случайного процесса
с центральной частотой, равной 20 МГц, и с шириной полосы, равной 100 кГц.
94
9 Прохождение случайных сигналов через радиотехнические цепи
9.1 Преобразование случайных сигналов в линейных инерционных
радиотехнических цепях
Из всего разнообразия линейных радиотехнических цепей остановимся на
цепях с сосредоточенными параметрами. Линейную инерционную цепь
охарактеризуем только коэффициентом передачи для простоты рассмотрения,
как показано на рисунке 9.1.
K(iω)
Воздействие Отклик
x(t) y(t)
Рисунок 9.1 – Линейная инерционная цепь
Задачи, которые решаются при прохождении случайных сигналов через
линейные инерционные цепи, – это нахождение числовых характеристик сигнала
y(t) на выходе цепи, а именно: матожидания m
y
, дисперсии σ
y
2
, cпектральной
плотности мощности Gy(ω), эффективной полосы частот Δω
yэфф
, функции
корреляции Ry(τ), интервала корреляции Δτ
y
кор
, при этом числовые
характеристики входного сигнала x(t) известны. Следует отметить, что
нахождение W(y) – очень сложная задача и требует особого рассмотрения.
Основой получения числовых характеристик служит коэффициент передачи
цепи K(iω). Матожидание выходного сигнала определяется как:
m
y
= K(ω=0) mx,
Спектральная плотность мощности сигнала y(t):
G
y
(ω) = K2(iω)Gx (ω) (9.1)
Выражение (9.1) является основой для нахождения числовых характеристик
на выходе цепи. Функция корреляции:
1
( ) ( )
2
i
yy
R G e d
−
=
дисперсия выходного сигнала
σ
y
2
= R(0)
интервал корреляции выходного сигнала
1
()
(0)
кор
yy
y
r R d
R
−
=
Полоса сигнала на выходе цепи определяется полосой пропускания самой
линейной цепи:
95
2
max
0
..
2
max
()
2
()
эфф эфф эфф проп
Kd
f
K
= = =
Для узкополосных радиотехнических цепей существует утверждение, что при
любой плотности распределения вероятностей входного воздействия, но при
условии, что полоса пропускания цепи много меньше эффективной полосы
входного сигнала Ω
эфф. проп.
<< Δω
х эфф
, происходит нормализация выходного
сигнала, а именно, плотность распределения мгновенных значений подчиняется
нормальному закону:
2
2
1
( ) exp
22
y
Wy
=−
(9.2)
Выражение (9.2) хорошо согласуется с теоремой Ляпунова, где доказано, что
вероятностные характеристики входного процесса могут быть вообще любыми.
9.2 Прохождение случайного сигнала через нелинейные безынерционные
радиотехнические цепи
Анализ воздействия случайного сигнала на линейную систему представляет
трудную задачу, но для случая, когда выходной сигнал в данный момент
однозначно определяется входным сигналом, задача разрешимая.
Пусть задана характеристика нелинейного элемента y = f(x) и плотность
распределения вероятностей входного воздействия W(x). Необходимо
определить плотность распределения вероятностей мгновенных значений
выходного сигнала W(y).
Рассмотрим случай одномерной плотности распределения вероятностей
случайной величины. Плотность распределения вероятностей W(x) случайной
величины известна, функционал нелинейной цепи задан: y = f(x).
Предположим, что существует однозначная обратная функция x = φ(y).
Поскольку случайные величины x(t) и y(t) связаны однозначной функциональной
зависимостью, то из того, что x1 заключено в достаточно малом интервале (x1 , x1
+dx), следует, что и y1 будет находиться в интервале (y1 , y1 +dy), где y1=f(x1), а
сами вероятности равны произведению плотности вероятности на dx или dy, как
показано на рисунке 9.2.
96
dy
dx
x
1
y
1
0
y = f(x)
x
y = f(x)
x(t)
W(x)
y(t)
W(y)
Рисунок 9.2 – К определению плотности распределения вероятности W(y) на
выходе нелинейной цепи
Как следует из вышесказанного, W(x)dx = W(y)dy.
В результате получаем
()
( ) ( ) ( )
dx d y
W y W x W y
dy dy
==
(9.3)
Поскольку плотности вероятностей могут быть отрицательными, то в
формулу (9.3) следует поставить модуль производной.
1
()
( ) ( ) ( )
N
j
xj
j
dy
dx
W y W x W y
dy dy
=
==
Таким образом, при воздействии случайного процесса на нелинейную
систему изменяется спектр мощности процесса, законы распределения
вероятностей и все связанные с ними параметры (матожидание, дисперсия и
т.д.).
9.3 Контрольные вопросы и задачи
9.3.1 Определить матожидание случайного процесса на выходе RC-
интегратора, на вход которого поступает сигнал с матожиданием, равному 2.
9.3.2 Определить спектральную плотность мощности сигнала GRC на выходе
RC-интегратора, если на вход поступает сигнал типа «белого шума» со
спектральной плотностью N.
9.3.3 Определить функцию корреляции случайного процесса со спектральной
плотностью мощности, определенной в задаче 9.3.2.
9.3.4 Чем объяснить нормализацию случайного сигнала на выходе линейного
инерционного устройства при воздействии на его входе произвольного
случайного сигнала?
97
9.3.5 Как изменяются свойства случайного сигнала с нормальным законом
распределения в результате его преобразования в линейном устройстве?
9.3.6 Каким образом определяется одномерная плотность распределения
вероятностей случайного сигнала на выходе нелинейного безынерционного
устройства?
9.3.7 Случайный сигнал, корреляционная функция которого B(τ) = exp(-aτ),
воздействует на вход линейного инерционного устройства с АЧХ:
2
2
( ) 1K
a
=+
Определить и построить график корреляционной функции на выходе устройства.
9.3.8 Задан сигнал вида у = Acos x, где случайная величина х распределена
равномерно в диапазоне -π от до +π. Найти плотность распределения
вероятностей величины у.
9.3.9 На вход безынерционного устройства, характеристики которого
приведены на рисунке 9.3, действует стационарный гауссовский шум x(t) с
нулевым математическим ожиданием. Определить плотность распределения
вероятностей W(y) шума y(t) на выходе устройства.
y
x
0
y
y
x x
Y=ax
Y=bx
a
b
a
b
Y=x
(1) (2) (3)
0 0
Рисунок 9.3 – Функциональные зависимости безынерционного устройства
9.3.10 Определить спектральную плотность мощности сигнала GRC на выходе
RC-дифференциатора, если на вход поступает сигнал типа «белого шума» со
спектральной плотностью N.
98
10 Огибающая и фаза узкополосного случайного сигнала
10.1 Аналитический сигнал
Детерминированные и случайные процессы обычно представляются
действительными функциями времени x(t). Вместе с тем, часто удобнее
представлять их векторами на комплексной плоскости в теории электрических
цепей символической записи синусоидальных колебаний. Практическое
значение комплексного представления случайных сигналов: оно позволяет
представить любой случайный процесс в виде гармонического колебания со
случайной амплитудой огибающей E(t) и фазой θ(t).
Действительная функция:
x(t) = E(t) cos(ω0t – φ0) = E(t) cos[Θ(t)] (10.1)
где Θ(t) – полная фаза, E(t) – огибающая амплитуда, ω
0
– мгновенная частота,
φ
0
– начальная фаза.
В символической форме выражение (10.1) может быть представлено
следующим образом:
00
()
/ ( ) *
( ) ( ) ( ) ( )cos ( ) ( )sin ( ) ( ) ( )
jt
jt
x t E t e E t e E t t jE t t x t jx t
−
= = = + = +
x(t)
t
E(t)
Рисунок 10.1 – Пример огибающей случайного процесса
Иначе говоря, символическое представление x(t) получается добавлением к
действительной части x(t)=E(t)cos θ(t) определенным образом подобранной
мнимой части x*(t)=E(t)sin θ(t).
Последняя выбирается так, чтобы проекция x/(t) на ось абсцисс соответствовала исходной действительной функции Re[x/(t)]=x(t)
99
Im[x
/
(t)]
Re[x
/
(t)]
x
/
(t)
Рисунок 10.2 – Разложение СП на ортогональные составляющие x/(t)
В нашем случае мнимая часть Im[x/(t)] = x*(t) колебания x/(t) находится в
квадратуре (сдвинута на угол π/2) с действительной частью x/(t).
Комплексный вектор
/ ( )
( ) ( )
jt
x t E t e
=
длиной E вращается с угловой
скоростью
0
()dt
dt
=
против часовой стрелки; конец вектора описывает окруж-
ность.
Функции x(t) и x*(t) называются сопряженными по Гильберту. Доказано, что
действительная и мнимая составляющая функции связаны между собой парой
взаимно однозначных интегральных преобразований Гильберта:
Прямое преобразование Гильберта [13]:
*
1 ( )
()
x
x t d
t
−
=
−
Обратное преобразование Гильберта
*
1 ( )
()
x
x t d
t
−
=−
−
Аналогично для функции sin ω0 t сопряженной является функция cos ω0 t, как
показано на рисунке 10.3.
x(t)
x*(t)
φ = 90°
Рисунок 10.3 – Получение сопряженного сигнала по Гильберту для
гармонического сигнала
100
K(f) = -jsign(f)
x(t)
x*(t)
Рисунок 10.4 – Преобразователь Гильберта для сигнала общего вида, где sign(f)
сигнальная функция, равная 1, если f > 0 и -1, если f < 0
Так как вещественная часть и мнимая сопряжены по Гильберту, то огибающая
и фаза сигнала определяется однозначно:
2 * 2
( ) [ ( )] [ ( )]E t x t x t=+
*
()
()
()
xt
t arctg
xt
=
Для узкополосного процесса справедливо представление рядом Фурье, если
мнимая часть получена с помощью преобразователя Гильберта, показанного на
рисунке 10.4:
( ) ( )
( ) cos( )
2
k k k k
j t j t
k
k k k
kk
a
x t a t e e
+ − +
= + = +
то сопряженный ему ряд:
( ) ( )
*
( ) cos( )
22
k k k k
j t j t
k
k k k
kk
a
x t a t e e
j
+ − +
= + − = −
Таким образом, простейшему сигналу в виде гармонического колебания
/
00
( ) cosx t A t
=
соответствует аналитический сигнал
0
/
0 0 0 0 0
( ) cos sin
jt
x t A t jA t A e
= + =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]