Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Природа невоспроизводимости структуры и свойств материалов для микро- и наноэлектроники. Учебное пособие
.pdf
4. ПРИРОДА НЕВОСПРОИЗВОДИМОСТИ СТРУКТУРЫ
И СВОЙСТВ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
4.1.Общие положения
Проблема неповторяемости выращиваемой структуры характерна
для технологий многих некристаллических полупроводниковых материалов [11]. Это явление серьезно ограничивает возможности практического использования материалов. В кристаллах невоспроизводимость проявляется на уровне дефектов структуры, что ограничивает коэффициент выхода годных микроэлектронных элементов и
устройств на их основе. Невоспроизводимость структуры и свойств обычное явление и для материалов, формирующихся в естественных
условиях. Формы снежинок, например, никогда не повторяются. Во
всех случаях изменение степени повторяемости непредсказуемо.
В технологиях под воспроизводимостью обычно понимают сте-
пень повторения определенных характеристик материала от одного
технологического процесса к другому при условии, что все регулируемые параметры этих процессов задаются одинаковыми с максимально возможной точностью [32].
Воспроизводимость обычно относится не ко всей совокупности
характеристик материала, а лишь к некоторым из них, имеющим практическую значимость. В численном виде она определяется вероятностью, с которой выращивается материал, у которого некая характеристика имеет значение, попадающее в определенный диапазон. Величина диапазона тоже определяется практическими соображениями. Однако на основе такого подхода невозможно сформулировать универсальное для всех технологий определение воспроизводимости.
Как правило, неповторяемость структуры материалов связывается
с неточностью задания технологических условий от процесса к процессу. Поэтому главным способом ее улучшения является увеличение
точности поддержания регулируемых параметров технологий. Сложность существующих технологических систем во многом обусловлена
именно этим подходом. Однако такой принцип решения проблемы
часто оказывается неэффективным и с его помощью невозможно реализовать современные требования, предъявляемые к материалам. Это
подтверждается многочисленными примерами технологий различных
материалов. С другой стороны, при таком подходе затраты на увеличение точности задания параметров процессов роста оказываются непропорционально велики по сравнению с положительным эффектом,
51
достигаемым за счет этого. Одной из причин этого является отсутствие
понимания причин невоспроизводимости и критериев, позволяющих
оценивать влияние на нее различных факторов.
Таким образом, можно сделать вывод, что проблема воспроизводимости не имеет удовлетворительного теоретического объяснения и
оказывается трудно решаемой на практике. Вообще говоря, она никогда не рассматривалась как фундаментальная научная проблема, а относилась к разряду чисто технических задач. Поэтому целью исследования было показать, что причины невоспроизводимости имеют отношение к фундаментальным физическим процессам межатомного взаимодействия, разработать критерии невоспроизводимости, инвариантные относительно конкретных технологий, а также определить принципы ее устранения.
4.2. Теоретический анализ
Предлагаемый подход к проблеме основан на рассмотрении вещества в процессе формирования твердотельной структуры как нелинейной самоорганизующейся системы, как это было показано в предыдущих параграфах. Предполагаем, что причины невоспроизводимости
связаны не только с неточностью задания технологических параметров, а, прежде всего, с особенностями динамики процессов роста. Соответственно критерии и способы улучшения воспроизводимости
должны быть разработаны исходя из этого.
Ранее было показано (см. рис. 3.2), что характерной особенностью
хаотической динамики являются неустойчивость и, как следствие, непредсказуемость и невоспроизводимость движения. Это означает, что
начальные отклонения с течением времени нарастают, и в итоге малые
причины приводят к большим последствиям. Предполагаем, что именно неустойчивость движения в сочетании с неточностью поддержания
параметров технологии и неустранимыми флуктуациями является
причиной невоспроизводимости структуры и свойств a-Si:Н и других
некристаллических полупроводников, а в некоторых случаях и кристаллических материалов.
При увеличении точности задания управляющих параметров и
начальных условий выше некоторого уровня самой главной и причем
не устранимой причиной невоспроизводимости становятся флуктуации. К ним относятся неустранимые полностью ни при каких обстоятельствах тепловые и квантовомеханические флуктуации, а также различные внешние поля и потоки (электромагнитные, гравитационные,
52
нейтринные и др.), от воздействия которых нельзя полностью защитить растущий материал. Поскольку вещество в процессе отвердевания
неустойчиво, то оно становится усилителем этих флуктуации, т.е. по
существу генератором случайности. Сочетание двух указанных факторов - наличие неустранимых микрофлуктуаций, с одной стороны, и
неустойчивости процесса отвердевания – с другой – видимо следует
считать фундаментальной причиной невоспроизводимости.
Следует отметить, что невоспроизводимость возможна, потому
что у каждого вещества существует большое число вариантов структуры. Например, структура микрокристаллических и аморфных материалов никогда не повторяется, по крайней мере, на микроуровне. Для
них число вариантов структуры очень велико и сравнимо с числом составляющих ее атомов. Для многих веществ существуют различные
модификации кристаллической решетки. Кроме того, в зависимости от
условий роста в кристаллах возникают различные структурные неоднородности, а также меняется форма растущих кристаллов. Это означает, что существует большое число устойчивых модификаций структуры, которое с позиций динамики может рассматриваться как множественность аттракторов, к которым при тех или иных условиях роста
стремится структура вещества. То, какая структура из множества возможных вариантов будет "выбрана", определяется внешними условиями и различными флуктуациями.
Таким образом, физическую схему явления невоспроизводимости
можно представить следующим образом: флуктуации и неточность
задания параметров технологии через неустойчивость динамики роста
из-за наличия потенциала разнообразных вариантов структуры приво-
дит к невоспроизводимости.
Все эти обстоятельства свидетельствует о том, что случайность и
вероятность являются необходимыми атрибутами процесса выращивания неупорядоченных и кристаллических полупроводников, например
a-Si:Н. Необходимо принять как объективность, а не проявление нашего временного незнания и не учета каких-либо факторов следующие
обстоятельства:
- в точности воспроизвести структуру материала невозможно;
- появление той или иной структуры носит случайный, т.е. веро-
ятностный характер. В результате переход от ансамблей в фазовом
пространстве к индивидуальным траекториям становится невозможным. Статистические понятия перестают быть лишь приближениями к некоторой "объективной истине". Здесь происходит столкновение с весьма важным отклонением от классической теории: предсказуемы только вероятности, а не отдельные события [31].
53
Как отмечалось, воспроизводимость некоторой практически зна-
xx
xx
dxxfr
0
0
)(
чимой характеристики в классическом смысле определяется вероятностью выращивания материала, у которого эта характеристика имеет
величину, попадающую в определенный диапазон. Считается, что если
технология "отлажена" хорошо, то максимум в гистограмме распределения для этой характеристики совпадает с лучшей для практического использования ее величиной. Обозначим через r число процессов, в которых необходимая нам характеристика выращенного материала имеет приемлемое значение х, попадающее в интервал x0 ± Δx.
Здесь х0 – некоторое фиксированное значение, Δх – разброс, который
определяется практическими соображениями. Как правило, если технология "отлажена" хорошо, то х0 совпадает с наиболее вероятным
значением х и r можно определить следующим образом:
. (4.1)
Площадь гистограммы принимается равной единице. Воспроизводимость R можно определить по формуле:
R = r / N, (4.2)
где N - число процессов выращивания.
Воспроизводимость, измеренная таким образом, представляет собой вероятностную меру. Однако для анализа поведения нелинейной
системы, которой является вещество в процессе отвердевания, этот
вероятностный метод, основанный на сравнении таких величин, как
средние значения, дисперсии, плотность вероятности, не подходит. Он
не позволяет получить информацию о причинах невоспроизводимости
и методах ее устранения. Статистический анализ не дает информации
о динамике системы и факторах, определяющих степень воспроизводимости его движения. Например, было доказано, что у одномерного
отображения x
= f (xn), демонстрирующего сложное поведение, су-
n+1
ществует бесконечно много различных функций f, определяющих динамику системы, которым соответствует одна и та же плотность вероятности, т.е. статистическая характеристика.
Поэтому необходима разработка иных критериев, которые были
бы инвариантны относительно конкретных технологий и отражали бы
влияние на воспроизводимость различных факторов и позволяли определять способы ее улучшения. Рассмотрим некоторые возможные варианты таких критериев.
54
4.3. Критерии воспроизводимости
Основная идея состоит в том, что поскольку структура аморфных
материалов представляет собой "замороженный" динамический хаос,
то критерии воспроизводимости должны быть связаны с инвариантами
хаотической динамики. Наиболее привлекательными в этом смысле
являются показатели Ляпунова, которые являются мерой неустойчивости движения [20].
1. В качестве критерия можно использовать величину наибольше-
го положительного показателя Ляпунова или энтропию КолмогороваСиная (SKS), равную сумме положительных показателей Ляпунова. Эти
величины характеризуют среднюю скорость отклонения структуры
вещества от того состояния, которое было реализовано в предыдущих
технологических процессах.
2. Как уже говорилось, ляпуновские показатели характеризуют
эволюцию траекторий системы в фазовом пространстве и определяют
время корреляций в системе (с), но они мало, что могут свидетельствовать о том, какова воспроизводимость в конечном итоге. Для этого
необходим критерий, который связывал бы показатели Ляпунова и
характеристики процесса со степенью невоспроизводимости.
Его можно получить из сравнения времени нахождения вещества
в промежуточном слое (ПС), т.е. собственно времени эволюции вещества при отвердевании t
(время, в течение которого энергия атома от
IL
исходного состояния уменьшается до энергии атома в твердой фазе),
со временем T
, в течение которого система еще хранит память о
max
начальном состоянии, т.е. предсказуема или воспроизводима.
Время пребывания вещества в промежуточном слое можно оценить следующим образом:
tIL = dIL / vg, (4.3)
где d1L – толщина промежуточного слоя, vg – скорость роста. T
max
мож-
но представить в виде [21]:
T
= (ρD/ ρS ) ln(1/ε), (4.4)
max
где ρD – плотность фрактальной размерности, определяемой по алгоритму Грассбергера-Прокаччиа [20], ρs – плотность энтропии, ε – точность задания начального состояния, определяемая отклонениями от
нормы значений технологических параметров Δр и флуктуациями различной природы f:
ε = Δр + f. (4.5)
Если ε определяется только неточностью задания технологических параметров, то ее значение тоже можно определить экспериментально.
55
Формулу (4.4) можно записать иначе:
),
1
ln(
max
t
A
T
(4.6)
где А – константа, подлежащая вычислению, λt – наибольший временной показатель Ляпунова [21]. Эти величины также могут быть определены экспериментально. В зависимости от соотношения tIL и Т
mах
возможны три варианта:
1) если tIL < Т
, то структура вещества воспроизводится удовле-
mах
творительно;
2) если tIL ~ Т
3) если tIL > Т
Из формул (2.10) и (4.3) следует, что Т
, то – частично;
mах
, то – плохо.
mах
обратно пропорцио-
max
нальна vg. Это обосновывает интуитивно найденный способ увеличения воспроизводимости характеристик кристаллов через уменьшение
скоростей их выращивания. Наоборот, для аморфных материалов, в
технологиях которых скорости роста сравнительно большие, воспроизводимость значительно хуже. И очевидным способом ее увеличения
является уменьшение скорости роста.
Критерии 1 и 2 могут быть легко определены экспериментально
для a-Si:Н и других материалов, выращиваемых не из расплава, поскольку в этом случае несложно определить толщину промежуточного
слоя и скорость роста. Однако если исследуется переход расплав твердое тело, то требуется большой объем информации о пространственно-временной эволюции системы, которую получить весьма
трудно. Поэтому могут оказаться полезными другие, "более простые"
критерии.
3. Степень воспроизводимости можно охарактеризовать через
среднюю взаимную информацию [20]. Этот критерий оказывается по
смыслу близким к ляпуновским показателям, поскольку тоже используется для характеристики корреляций в нелинейных системах. Сущность его в следующем. Предположим, что в результате измерений
какой-либо характеристики по поверхности материала, произведенного в первом технологическом процессе, получено множество s(1), a во
втором процессе - s(2). (В качестве такой характеристики, например,
может быть взята высота профиля поверхности, отсчитываемая от некоторого уровня, принятого за нулевой.) Средняя взаимная информация (I(1, 2)) между множествами s(1) и s(2), а именно среднее количество информации о s(2), которое можно получить, имея s(1), равно:
I (1,2) = Σ [P (s(1), s(2)) · log2 [P (s(1), s(2)) / (P (s(1)) P(s(2))]], (4.7)
56
где P(s(1)) и P (s(2)) – функции вероятности для характеристик обоих
max
0
lim
lim TT
p
материалов; P(s(1), s(2)) -- совместная вероятность. Сумма берется по
числу измерений.
Именно средняя взаимная информация, а не корреляционная
функция, являющаяся средним по квадратичной полиномиальной статистике, описывает корреляции в нашей нелинейной системе. Средняя
взаимная информация напрямую характеризует степень воспроизводимости и позволяет оценивать влияние на нее различных параметров.
Экспериментально средняя взаимная информация может быть определена по профилю поверхности материала, гистограммам функции радиального распределения, спектрам оптического поглощения. И в этом
смысле этот критерий можно достаточно просто вычислять для материалов, выращиваемых из расплава.
Критерии 1-3 могут быть рассчитаны с помощью методов и алгоритмов, используемых для определения характеристик нелинейных
систем [20]. Они инвариантны относительно конкретных технологий и
позволяют оценивать влияние на воспроизводимость различных факторов.
Возможны и другие критерии воспроизводимости. Однако все они
должны отражать неравновесность и чувствительность системы к
окружающей среде. В этом смысле перспективными, вероятно, являются статистико-динамический и теоретико-информационный подходы, а также критерии, основанные на сравнении с моделями.
Следствием динамической неустойчивости процессов роста является существование предельного времени воспроизводимого поведения Т
, которое определяет предел точности задания параметров тех-
lim
нологии, выше которого увеличение точности становится неэффективным. Т
в определенном смысле аналогично горизонту пред-
lim
сказуемости Дж. Лайтхилла, используемому в климатическом прогнозировании. Под предельным временем воспроизводимого поведения
будем понимать время предсказуемого поведения формирующейся в
промежуточном слое структуры, которое нельзя превзойти увеличением точности задания начальных условий роста и технологических параметров в процессе роста. Другими словами, Т
отвечает пределу
lim
неустранимых флуктуаций в процессах и может быть получено как
предельное значение T
при Δр 0
max
. (4.8)
Очевидно, что T
не может быть уменьшено. Оно эксперимен-
lim
тально определяется по зависимости T
T
перестает зависеть от Δр. Это означает, что f становится много
max
57
от Δр в тот момент, когда
max
больше Δр. По значению T
можно легко определить уровень не-
lim
устранимых флуктуаций.
По предельному времени воспроизводимого поведения можно
оценить предел точности задания управляющих параметров технологического процесса, выше которого увеличение точности становится
мало эффективным и дорогостоящим. Это позволяет экономить материальные и интеллектуальные ресурсы.
Ограничение времени воспроизводимости в некотором смысле
аналогично соотношению неопределенности Гейзенберга. И тот и другой в физическом смысле означают, что все процессы и формы материи носят вероятностный характер. Соотношение Гейзенберга определяет это для субатомного уровня, а предельное время воспроизводимости вводится на уровне коллектива атомов. Оба соотношения отражают два различных уровня проявления одного и того же фундаментального закона Природы – существования иерархии неопределенностей.
В работе [22] доказано, что для показателей Ляпунова справедлива следующая зависимость от размера системы V
λ = C/V, (4.9)
где С - константа. Под V можно понимать пространственный размер
системы или число составляющих ее элементов. Из этого следует, что
для меньших систем показатели Ляпунова и соответственно степень
воспроизводимости, определяемая по соотношению T
и tIL (крите-
max
рий 2), меньше, чем для больших систем той же природы.
Как показано в работе [6], в окрестности устойчивого состояния
амплитуды внутренних флуктуаций ведут себя как 1/V, а в критической точке они нарастают как величины порядка V
-1/2
[6]. Поэтому для
больших систем, у которых число образующих их элементов велико,
внутренние флуктуации чрезвычайно малы, а для малых систем они
играют существенную роль наряду с внешними и тоже являются причиной уменьшения воспроизводимости. Другими словами, чем меньше
рассматриваемый масштаб, тем больше влияние флуктуационных случайных сил. Если будем наблюдать поведение одного, двух, трех атомов, то вероятность определить по их поведению динамику системы
чрезвычайно мала. При этом они могут находиться в составе большого
ансамбля атомов, демонстрирующего когерентное упорядоченное
движение, описываемое небольшим числом независимых переменных.
Поэтому чем меньше масштаб рассматриваемого процесса, тем меньше шансов построить динамический прогноз.
Воспроизводимость можно оценить как величину G, обратно пропорциональную скорости нарастания возмущения в структуре вещества в процессе отвердевания:
58
G = ε еxp (λtIL), (4.10)
где ε определяется по формуле (4.5). С учетом проведенных выше рассуждений для G справедлива следующая зависимость от V:
G = (Δр + A/V
1/2
) exp(CtIL/V). (4.11)
Таким образом, уменьшение размеров системы приводит к
уменьшению степени воспроизводимости.
Эта ситуация имеет отношение, например, к микроэлектронике,
когда области материала микро- и наномасштабов являются элементами (приборами) и выполняют самостоятельные функции. При этом они
интегрированы в единое целое, т.е. выполнены в едином объеме материала – подложке. Для таких структур проблема воспроизводимости
будет острой и не сможет быть решена "классическими методами".
Факт, что невоспроизводимость определяется неустойчивостью
хаотической динамики, заставляет весьма скептически оценивать возможности использования традиционных приемов увеличения воспроизводимости через ужесточение точности задания управляющих параметров. Так, в соответствии с формулами (4.5) и (4.6) T
может быть
max
увеличена, если уменьшать Δр. Однако если пренебречь флуктуациями
( f = 0), то уменьшение Δр на 5 порядков (практически очень трудно
осуществить) увеличивает T
флуктуации, то рост T
max
только в пять раз. Если учесть влияние
max
будет еще меньше.
4.4. Выводы к разделу 4
Проблема воспроизводимости не является чисто технической, а
носит в большей степени фундаментальный физический характер.
Физическая схема явления невоспроизводимости такова: флуктуации и неточность задания параметров технологии через неустойчивость движения из-за наличия потенциала разнообразных вариантов
структуры приводят к невоспроизводимости.
Вероятность и случайность – фундаментальные законы процессов
образования структуры твердотельных материалов.
Методы теории сложных систем позволяют сформулировать
адекватные, инвариантные критерии воспроизводимости, ввести понятие предельного времени воспроизводимого поведения, определить
зависимость воспроизводимости от размера системы.
59
5. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ РОСТА ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ
МАТЕРИАЛОВ С ПОЗИЦИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
5.1. Основные принципы управления сложными
нелинейными системами
Под управлением в технологиях материалов следует понимать
процесс воздействия на вещество с целью воспроизводимого получения материала с заранее предусмотренными или полезными свойствами. Поскольку, как было показано ранее, вещество в процессе отвердевания представляет собой сложную самоорганизующуюся систему,
то и управление им должно соответствовать принципам управления,
выработанным применительно к такого рода объектам. В их основе
должно лежать соответствие управляющих воздействий внутренним
свойствам вещества, возникающим при отвердевании. Ниже рассматриваются принципы построения технологических систем выращивания
материалов, основанных на этом подходе.
Следует отметить, что эффективное, осмысленное, целевое управление возможно именно по той причине, что для случая процессов
отвердевания управляемая система представляет собой вещество,
находящееся в сильнонеравновесном неустойчивом состоянии динамического хаоса и имеющее как инерциальное многообразие ограниченное число степеней свободы.
Принцип совместимости отражает необходимость соответствия
параметров управляющего воздействия внутренним свойствам вещества при отвердевании.
Управляющая система должна понимать и воспроизводить язык,
на котором «говорит» управляемая система. При этом достигается
максимальная эффективность управления. Важны не столько интенсивность и продолжительность воздействия, сколько соответствие
свойствам среды [22].
Следует иметь в виду, что достичь 100 % эффективности невозможно из-за всегда присутствующей неопределенности в поведении
сложной системы. Это фундаментальное свойство.
Из принципа совместимости следует три важных вывода:
1) для того чтобы система могла воспринимать управляющие воздействия как информацию, понятную для себя, и генерировать на
этой основе новую информацию, проявляющуюся в виде новых
свойств материала, необходимо создание первичных условий для реализации сложного поведения, т.е. необходимо поддержание в системе
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]