Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Природа невоспроизводимости структуры и свойств материалов для микро- и наноэлектроники. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Зафиксируем некоторое малое и воспользуемся им в качестве меры для зондирования структуры аттрактора. Если последний представляет собой линию, то, очевидно, число пробных точек, расстояние от которых до заданной точки не превышает r, должно быть пропорционально r/ . Если же аттрактор представляет собой поверхность, то число таких точек должно быть пропорционально (r/ )2. В более общем случае, если аттрактор представляет собой D-мерное многообразие, то число точек должно быть пропорционально(r/ )D. Поэтому можно ожидать, что при сравнительно малых r функция С(r) должна изменяться как

С(r) = rD. (2.3)

Таким образом, корреляционная размерность может быть определена из наклона зависимости ln C(r) от ln r:

D = lim lim (d ln C(r,N) / d ln r). (2.4)

r 0 N

Таким образом, алгоритм для вычисления D можно сформулировать следующим образом:

1. Исходя из данной временной (пространственной) последова-

тельности строится корреляционная функция (2.2) при последовательно возрастающих значениях размерности фазового пространства n.

2. Получается наклон D вблизи начала координат согласно (2.4) и

рассматривается его зависимость от возрастающего значения n.

3. Если величина D в зависимости от n выходит на плато выше некоторого значения n, то представляемая данной временной (пространственной) последовательностью система должна иметь аттрактор. Величину D, определяемую по моменту насыщения, следует рассматривать как размерность аттрактора. Конечные, нецелые значения D означают, что в системе наблюдается динамический хаос. Значение n, после которого происходит насыщение, определяет минимальное число переменных, необходимых для моделирования поведения, соответствующего данному аттрактору. Следует отметить, что для последовательности в виде случайного шума тенденция к насыщению не наблюдается, следовательно, D неопределено [15].

В большинстве экспериментальных и численных исследований

хаотических систем исследуется зависимость тангенса наклона кривой f = ln C от величины ln r, т.е. D = d (ln C(r)) / d (ln r), типичный вид которой приведен на рис. 2.3. На ней можно выделить четыре области.

Область А. В этом интервале масштабов размеры ячеек слишком малы. В каждую ячейку попадает всего несколько точек, они не позволяют оценивать истинные вероятности pi того, что в некоторый мо-

мент времени точка на фазовой траектории находилась в ячейке с но-

Рис. 2.3. Типичная зависимость D = f (ln r)

ln r

мером i.

Область В. В этой области выборка недостаточна, чтобы передать канторову структуру аттрактора. Кроме того, в ней обычно существенна погрешность эксперимента или точность, с которой известны точки аттрактора.

Область С. Точки кривой в этом интервале характеризуют фрактальную размерность аттрактора. Чтобы расширить область С, можно увеличивать размер выборки, повышать точность эксперимента, наилучшим образом выбирать переменные, которые будут анализироваться.

Область D. Размеры ячеек стремятся к размерам аттрактора и не характеризуют его канторову структуру. Важным методическим вопросом при построении векторов Х является выбор времени задержки Т [20, 23]. От него зависит, будет ли обнаружена фрактальная структура того или иного аттрактора. Общепринятыми критериями выбора Т являются первый нуль автокорреляционной функции

N N

а (Т) = (1/N) X(t)X(t+T)dt -[(1/N) X(t) dt]2 (2.5)

0 0

или первый минимум средней взаимной информации I(T), определяемой следующим образом. Предположим, что наблюдаемая последовательность X(t) представляет собой множество А, а результаты измерения спустя время Т – X(t+T) – множество В. Средняя взаимная информация (СВИ) наблюдений в момент t и t+T, т.е. количество информации о X(t+T), которую можно получить имея X(t), равно:

I(T) = [P(X(t),X(t+T))log2[P(X(t),X(t+T))/(P(X(t))P(X(t+T))]], (2.6)

где P(X(t)) и P(X(t+T)) – вероятности получить соответственно значение а из множества А и в – из множества В. P(X(t),X(t+T)) - совместная вероятность получить а и в. Сумма берется по числу измерений. В большинстве работ предпочтение отдавалось СВИ, поскольку именно она, а не линейная корреляционная функция, являющаяся средним по квадратичной полиномиальной статистике, описывает корреляции в нелинейных системах [20].

Во многих случаях результаты измерения размерности аттрактора могут существенно зависеть от количества экспериментальных точек N. Так, в работе [25] предлагается следующая оценка для N:

N > 42M,

(2.7)

где М - целая часть хаусдорфовой размерности аттрактора. Существуют и другие способы оценки N. При этом следует иметь в виду, что важно не столько количество точек, сколько число сегментов траектории, т.е. как много раз любая часть пространства посещается эволюционирующими траекториями, которые подсчитываются. Обычно выбирается 4 – 100 точек на среднее время Т, через которое измеряемая переменная принимает одно и то же значение, а временной интервал измерения выбирается в несколько сотен значений Т [23].

2.4. Особенности определения фрактальной размерности аттракторов распределенных систем

В пространственно-распределенных системах большинство сте-

пеней свободы неравновесной среды могут оказаться алгебраически не связанными друг с другом. Размерность хаотического режима такой системы, вычисленная как из временного ряда, так и из пространственной наблюдаемой величины, может быть весьма велика. Последние исследования показывают, что в таких системах размерность зачастую очень сильно зависит от пространственного масштаба (растет при увеличении размеров системы) или вовсе является бесконечной, и тогда можно вести речь лишь о плотности размерности [24-25].

На рис. 2.4, а показана типичная зависимость D от n и ln r для

мгновенного снимка, порожденного уравнением Гинзбурга – Ландау. Из графика видно, что при фиксированном r D растет линейно с увеличением n: D(n) - D(n-1) = D = const при достаточно больших n, а при фиксированном n линейно убывает с увеличением ln r в достаточ-

но широком диапазоне, т.е. d D (r,n) / d ln r = const. Как следует из рис.

2.4,a, дифференциальная размерность не насыщается при увеличении n. В этом заключается основное отличие детерминированного хаоса в распределенных системах от маломерного хаоса в сосредоточенных системах. Таким образом, как следует из эксперимента, функцию D можно представить в виде:

D (r,n) = - B ln r + n ℓ+ A, (2.8) где В и А - константы, - плотность размерности D, ℓ - размер системы. На рис. 2.4,б показана зависимость D от n и ln r для шума, равномерно распределенного по длине системы. В отличие от детерминированного хаоса на графике отсутствует участок линейной зависимости D от ln r при больших n, что приводит к отсутствию плато на графике

dD(r,n)/dlnr=f(lnr).

Таким образом, можно сформулировать следующие характерные

признаки детерминированного хаоса в распределенных системах:

- наличие линейного участка на зависимости D от ln r и, как следствие, наличие плато на зависимости dD(r,n)/dln r=f(ln r) в определенном интервале r;

- насыщение величины D = D(n) - D(n-1) при больших n.

Рассмотренные методы реконструкции позволяют получить качественные результаты. Они пока опробованы на узком классе моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, а об их практическом использовании для физических систем ничего неизвестно.

Это связано с недостаточной разработкой математического аппарата, а также с тем, что анализ пространственно-временных реализаций требует, как правило, значительно большего числа обрабатываемых точек и многие известные методы оказываются сложны в применении. В этой связи существует необходимость разработки новых инвариантов и алгоритмов их вычисления для пространственновременных систем. Одним из перспективных направлений является использование понятия -размерности [21].

Следует отметить, что предварительная информация о характере

Рис. 2.4. Типичная зависимость D = f (ln r) для мгновенного снимка процесса, описываемого уравнением Гинзбурга – Ландау (а) и равномерным распределением шума (б): n2>n1.

пространственного распределения может быть получена и из других характеристик изучаемого сигнала, в частности из соответствующей функции распределения. Наличие в ней особенностей в виде различных максимумов или асимметрии формы позволяет судить о некоторой упорядоченности. Например, если дисперсия будет того же порядка, что и квадрат среднего, то это означает, что флуктуации проявляются на макроскопическом уровне, а предпосылки центральной предельной теоремы не выполняются [15]. Так что переменная не может быть статистической суммой независимых случайных величин, что и отражает согласованность в поведении системы. Вместе с тем, статистические характеристики не позволяют выявлять природу и определять количественные параметры упорядоченности.

Другой характеристикой для предварительной оценки сигнала может служить спектр Фурье. Для белого шума соответствующий спектр мощности “плоский”, т.е. амплитуда не зависит от частоты, так что его наиболее существенная характеристика в том, что он лишен какой бы то ни было гармоничности. Для апериодического распределения Фурье-спектр сплошной и, как правило, спадающий [16]. В этом его отличие от шума. Однако он не может быть прямым образом приписан низкоразмерному детерминированному сигналу, так как такой спектр может соответствовать квазипериодическому сигналу с очень большим (в пределе - бесконечным) числом частот. И в этом смысле

преобразования Фурье, выступающие обычно очень важным средством изучения линейных систем, не приносят достойных плодов (если, вообще, приносят какие-нибудь). В линейных системах они позволяют свести дифференциальные уравнения к алгебраической системе, которую легко разрешить методами матричного анализа. Фурье-анализ нелинейных систем преобразует временные дифференциальные уравнения в интегральные уравнения в частотной области со свернутыми в результате преобразования зависимыми переменными. Это редко приносит какую-либо пользу. Но как начальное окошко, через которое можно взглянуть на полученные данные, они вполне полезны.

2.5. Экспериментальное исследование поверхности материалов с помощью метода вложения

Мгновенным снимком динамической картины процессов роста

материалов, получаемых из газовой фазы, например a-Si:H, без учета релаксационных процессов, является их поверхность. Она представляет собой “замороженное” состояние промежуточного слоя между фазами: твердой и газообразной. Поэтому в распределении вещества по поверхности содержится информация о пространственно-временной динамике роста. Исходя из этих соображений были проведены экспериментальные исследования структуры поверхности различных материалов с помощью метода вложения Ф. Такенса. В качестве измеряемой переменной была выбрана высота профиля поверхности, отсчитываемая от некоторого уровня, принятого за нулевой, поскольку она однозначно характеризует распределение вещества по поверхности роста и, следовательно, отражает процессы пространственновременной эволюции.

Профиль поверхности исследовался методами сканирующей тун-

нельной микроскопии и атомной силовой микроскопии [26]. Измерения высоты профиля проводились вдоль поверхности через дискретные интервалы. Типичная форма сигнала, получаемая при сканировании, показана на рис. 2.5. В результате сканирования квадратных участков поверхности получилось трехмерное изображение. Полученные данные обрабатывались по алгоритму Грассбергера – Прокаччиа. Зависимости С(r) = f(n, ln r) и D= f(n, ln r) определялись по формулам (2.2) и (2.4) соответственно. Для подтверждения достоверности получаемых результатов были проведены контрольные измерения в различных областях одного образца, а также на различных образцах, полученных при одинаковых технологических условиях образца (изме-

ряемые площади были одинаковы). Во всех случаях отмечена хорошая

Рис. 2.5. Типичная форма сигнала, получаемая методом атомной

силовой микроскопии

Амплитуда сигнала

4 8 10 Отсчеты

воспроизводимость результатов.

Измерения высоты профиля проводились в 12 – 15 тысячах точек.

Число точек на период, т.е. на средний интервал, через который измеряемая характеристика принимает одно и то же значение, составляло для различных образцов от 5 до 60. Общая длина реализации содержа-

ла от 100 до 1000 периодов. Такие параметры соответствуют обще-

принятым нормам в экспериментах по исследованию динамики нелинейных систем [20, 23]. Кроме этого, были исследованы зависимости С= f (ln r) и D= f(ln r) при размерностях вложения 3, 6 и 9 и длинах реализации в 1000, 3000, 7000, 10000 и 12000 тысяч точек. Когда длина реализации приближается к 10000 точек, зависимость D = f(ln r) перестает меняться. Аналогичное насыщение имеет место и для функции распределения. Такая тенденция имеет место при различных начальных данных, которые изменялись простой сменой области измерения на одном образце. Аналогичные результаты были получены и для других материалов. Это дает основание полагать, что в фазовом пространстве системы существует инвариантная мера, которая опреде-

ляет статистические свойства всех траекторий, притягивающихся к аттрактору, и подтверждает, что число точек 12000 – 15000 является достаточным для выявления топологии этого аттрактора [23].

Как отмечалось, важным параметром реконструкции является время задержки Т. Мы определяли Т по нулю автокорреляционной функции а(Т), вычисляемой по формуле (2.5), и по первому минимуму функции средней взаимной информации I(T), вычисляемой по формуле (2.6). Типичные графики для а(Т) и I(T) приведены на рис. 2.6. В случаях, когда значения Т, рассчитанные по этим критериям, различались, мы использовали результат, полученный с помощью СВИ. Было установлено, что для всех исследованных материалов спектры Фурье сплошные и имеют в высокочастотной области несколько пиков. Типичный вид спектра представлен также на рис. 2.6. Это свидетельствует о хаотическом характере распределения. Однако поскольку спектры Фурье не несут полезной информации об особенностях динамики, далее они не рассматриваются.

Ниже приводятся результаты измерения D = f(n, ln r), функции распределения, спектра Фурье, автокорреляционной функции и функции средней взаимной информации для a-Si:H, С, GaAs, W [13-14, 27]. В некоторых случаях исследовалась также зависимость этих характеристик от масштаба измерения. Следует отметить, что на зависимости D = f (n, ln r) в соответствии с рис. 2.5 и результатами исследований [21, 25] наибольший интерес вызывает область, которой соответствуют значения ln r от -3 до 0. Именно в ней точки кривой наиболее полно характеризуют фрактальную размерность аттрактора, и ей будет уделено главное внимание.

Аморфный гидрогенизированный кремний. Образцы a-Si:H получали методом низкочастотного тлеющего разряда из 100 % SiH4 при мощности разряда 50 мВт/см2, давлении 70 Па, скорости расхода си лана 200 см3/с и температурах подложки 40, 100, 170, 225, 275, 325

С [22]. Соответственно для этих образцов на рис. 2.7,а, б и в приведе-

ны изображения поверхностей образцов, полученных с помощью атомной силовой микроскопии, функции распределения, зависимость

D = f(n, ln r).

Из визуального изучения изображения поверхности видно, что при увеличении температуры подложки ее шероховатость уменьшается. При этом области выпуклостей увеличиваются, а остальная поверхность становится более гладкой. Соответствующий характер имеют изменения в функции распределения: дисперсия уменьшается, максимум смещается в область низких значений высоты профиля.

Зависимость D = f(n, ln r) от температуры подложки имеет сложный характер. Во всех случаях наблюдаются три различных участка в диапазонах: от -0,6 до 0, от -0,6 до -1,4, от -1,4 до -1,8.

На всех участках существуют области с линейным наклоном, который насыщается при размерности вложения n=8. Такое поведение находится в соответствии с поведением D, описываемым формулой (2.8) [21], и свидетельствует о том, что исследуемое распределение имеет детерминированный хаотический характер. При увеличении температуры подложки эти участки становятся более выраженными. По-видимому, их существование означает, что рост определяется тремя различными механизмами.

Суммируя изложенные экспериментальные результаты, можно сделать следующие выводы:

- распределение вещества по поверхности (a-Si:H), представляю-

щей собой “замороженный” мгновенный снимок процессов роста, структура поверхности материалов могут быть описаны, как «застывший» динамический хаос [14, 27]. Он проявляется как очень сложное нерегулярное поведение, внешне сходное с обычным тепловым хаосом, но принципиально отличающееся от него. В режиме динамического хаоса амплитуда отклонения от среднего сравнима с самим средним, но число пространственных и временных масштабов столь велико, что поведение системы кажется хаотическим. В тепловом хаосе все характерные масштабы микроскопического порядка, а флуктуации вокруг среднего чрезвычайно малы;

- различные обработки поверхности (GaAs, W) могут приводить

как к ее деградации, так и проявлению самоорганизующейся структуры [26].

Приведенные результаты носят в большей степени качественный характер. Но они соответствуют поставленной задаче, а именно определению топологии пространственного распределения вещества по поверхности с помощью метода вложения. При этом мы не ставили целью изучение влияния технологических условий на характер топологии поверхности и соответственно на динамику процессов роста. Однако даже на основе полученного экспериментального материала можно сделать вывод о том, что параметры С(n,r) и D(n,r) чувствительны к условиям приготовления (a-Si:H) и последующим обработкам (GaAs, W), к различным пространственным масштабам (GaAs) [26].

Взаимная информация (бит) 6

0 50 100 150 200 Шаг dT

Автокорреляция

0,75

0,5

0,25

-0,25

0 100 200 300 Cмещение

Амплитуда мощности

0 1000 2000 3000 Длина волны, Ǻ

Рис. 2.6. Типичные графики для a(T), I(T) и спектр Фурье

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]